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1、微专题5.巧用坐标法破解翻折问题和动态问题 专题知识：一、点在线上运动的坐标表示1.基本问题：在P。上 存 在 点 求 直 线4 W的有关问题.2基本方法：建立空间直角坐标系，写 出 向 量 说 的 坐 标。法 一（求坐标）：设点M的坐标为（a,b,c）,根据条件,先求点M的坐标，再求 说；法 二（回路法）：A M =A P+P M =A P +A P Q二、点在面上运动的坐标表示1.基本问题：面A BC上 存 在 点 求 用 的有关问题.2基本方法：建立空间直角坐标系，写出点A BC与设出M的坐标。法 一（求坐标）（求坐标）：设点M的坐标为（x,y,z）,根据4BC与共面，找两个相同的面，法
2、向量相等计算点M中x，%z的联系法 二（基本定理）：共面向量定理与向量四点共面定理三、点在空间运动的坐标表示设出点的坐标为（x,y,z）,根据题意找关系列方程找等量关系，消元求解四、翻折运动1.坐标表示：翻折运动一般以折痕建系，设翻折夹角为。，则A =,其中|AB|=a,|A Q|=|A4,|=c,体对角线则c 的最大值是.答案：0解 析 1:坐标法+配方以 A 为原点建立空间坐标系，则 4（0,0,0）,8（4,0,0）,0（0也 0）,C（a,6,0）,设 A（x,y,z）则|A q=(x _ a/+(y-%)2+(2 _ 域=l=(a_ g c)+匕一；。)+y =1，由于（4 万。）N
3、O,（匕 5。）NO,所以解 得-拒 W c w a.，所以C 的最大值是0,当且仅当4 =8 =；C=时取等号.2 （2 0 1 5 浙江第1 5 题）已知不，是空间单位向量，4石=；，若空间向量E 满足几家=2,石 G=|，且对于任意的x,y e R,|-（痴 +应）*-（+%斓=1 （x。,%e R）,则 与 =,%=,忖=答案玉）=1,%=2,W=2也解 析 1：坐 标 法（空间建系）以o 为原点，。&为 x 轴对应地建立空间直角坐标系，则 耳=（i,o,o）,E2=g,与0,设0 从 1 =2 a =2则 由 5=,6，O Be,=-b=3-2B（a,b,c）,且石 一（痣 +丫 动
4、=2-x-,y/3-y,c,则由 一。%-2且在,题 二 取等，则冏=，4 +3 +1=2 夜%=2 考查点二：点线面位置关系相关动态问题例 2：1.（2 0 1 2 浙 江 理 1 0）已知矩形438,AB,BC=应.将 A8 D 沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A.存在某个位置，使得直线A C 与直线8。垂直B.存在某个位置，使得直线A B 与直线C D 垂直C.存在某个位置，使得直线A D与直线B C 垂直D.对于任意位置，三对 直 线“A C 与 BD”,“A 8 与 C D ，“A D与 B C”均不垂直答案：B解 析 1:坐标法y如图所示建立空间直角坐标系，
5、则 8（0,0,0）,C（也 0,0）,（72,1,0）,A（x,y,z）,由 A5=l,A)=&得：*AB2=x2+y2+z2=iAD2=(x-V 2)2+(y-l)2+z2=l对于A 选项:AC-BD=V2(V 2-x)-y =0AB2=x2+y2+z2=1,计算可得无解，故直线AC与 a)不垂直AD2=(x-V 2)2+(y-l)2+z2=l对于8 选项:.Y _AB-CD=0+y+0=0 2AB2=x2+y2+z2=1=,y=0,故 3 选项正确AD2=(x-V 2)2+(y-l)2+z2=1 2=变AD-B C =V2（A/2-X）=0对于C 选项：，AB2=x2+y2+z2=,计算
6、可得无解，故直线4）与 8 C 不垂直AD2=（x-V 2）2+（y-l）2+z2=1对于。选项，由上对其他选项的分析可得，。选项错误2.如图1,在矩形A 8 8 中，已知/W=2,AD=4,ED=3A,BF=3 F C,现将四边形ABFE沿 E F 折起，得到如图2 的几何图形（要求3 点不在平面CDEF上），则下列说法中不正确的 是（）B.在翻折过程中，无论5 在什么位置，4 B、D、E 四点不共面C.在翻折过程中，无论3 在什么位置,3 点在平面CDEF的上射影都不可能是 点D.在翻折过程中，无论8 在什么位置,8。都不可能垂直CZ）解 析1:坐标法如图所示，建立直角坐标系，计算可得对应
7、边长，B H =H F=喙,E H咚但C2故E-冬0,0 ,尸（孚0，。，C 20岑,0 ,D应当,0GG f0U,四 -,U翻折模型建系未知量一般设夹角，设面筋/芯旋转的夹角为e,则旋转后 2 27/n 7 2 .夜.小A 0,-co s”,s i n t/2 2 /DB L0,-3-夜-co s0”,-3-五-s.i n小e/,则始终 有 加=3 A百，故隹 BF,故有A E4平面B C F成立，即选项A正确;（注:也可求得面BCF的法向量，通过法向量与他 垂直来证明）对于8选项：若A、B、D、E四点共面，则面4）与面8/无 的法向量可以为同一个n-DE=0（n-DE=0（n-BE=0 _
8、即 _ _ _ _,_ _ _ _ _ 同时成立，显然需 _ _ _ _ 同时成立，又A E与 相 交 不 平 行，n-AE=0 n-BE=0 n-AE=0故显然矛盾，故A、B、D、E四点不共面（3应 、对 于C选 项：8点 在 平 面C D E尸 的 上 射 影 点 坐 标 为：B 0,-co s 0,O ,显然与 /（3,、D，后一,。不可能重合，故C选项正确，排除法选。（对于。，只需B万=0有解 7即可）选题意图：空间中点线面的位置关系问题一般涉及到需要判断线面之间的平行垂直，以及共面异面等等问题，一般可以通过几何法，平行垂直的判定和性质以及基本公理解决问题，当动态问题用儿何法解决较难或
9、者繁时可以建立坐标系，求出点的坐标或者线的方向向量以及面的法向量定量计算，从而解决问题。相似题：1.（2 0 1 9学年三钉教育模拟卷（三）第8题）如图，在直角梯形AB C 中，B C r C D,AB=B C =2,CD=4,E为 8 的中点，M、N分别为相 、3C的中点，将“。后沿/石折起，使点。到A，M到 在 翻 折 过 程 中，有下列命题：|M|N|的最小值为1；平面C%E；存在某个位置，使；无 论 弧 位 于 何 位 置，均有其中正确的命题的个数为()A.1 B.2答案：D解 析 1：坐标法如图所示，建立坐标系，设面9 4 E 旋转的夹角为0,则。（-2cos0,0,2sin。），弧
10、 为 A R 中点，A（0,2,0）,故 M（-cos6,l,sine）,其他点坐标如下:E（0,0,0）,C（2,0,0）,N（2,0）,5(2,2,0)对于：|=J(2+cos。)2+sin6?=-74+cos02+4cos0+sin02=j5 +4cos。1当仅当cosO=T,即M (I，。)时取到等号，故正确对于：K N =（2+cos6,0,-sin6）,显然平面他，故平面C R E 的一个法向量为（0,2,0）（也可正常计算法向量），故 初.荏=0 成立，即 A/平面C Q E正确对于：乖=（cos6,-l,-sine）,DE=（2,0,0）,则 乖 诙=2cos，=0 n e =
11、,故只需?1运动到垂直于底面即可，故正确对于：M N =（2+cosaO,-sin6）,荏=（0,-2,0）故 而?.荏=0 恒成立，故正确2.如图，在三棱锥P ABC中，A B B C,AB=B C =k P A,点、O,。分别是AC,P C 的中点，。尸，底面A B C,当&取何值时，O 在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心答案：k=l解 析 1：坐标法易知3*_1_面 43。，X OA=O C ,AB=B C,从而。4,O3,OC,OP两两垂直，以O 为原点,射线。尸为非负x 轴，建立空间直角坐标系，设 A8=a,曰0,0,B 0,当“,0,（y c 一 方 0,0,设 OP=，则 P
12、（O,O,/z）,心。的重心为GXR+2 +为，%+汽+力 力+二 +%333，得G-存7故 诙=-当凡号O C 面 P 8 C,故oG_L而 故I 6 6 3)OG PB=-a2-h2=0=h=a,故 PA=，。片+层=a，即么=1 考查点三：距离相关动态问题例 3：1.（2011,福 建 理20）如图，四棱锥P ABC。中，P4L底面ABCD,四边形ABCD中，ABAD中，E=CDcos45=l,CE=CZsin45=l,设 AB=AP=.,则 B&0,0）,P（0,0j）,由 AB+AD=4,得 AD=4，所以E（0,3-r,0）,C（l,3-r,0）,D（0,4-r,0）,假设在线段A
13、D上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,。的距离都相等，设G（0,m,0）（其中0这-r）则 面=（I,3 T-m,0）,GD=（O,4-r-/7?,O）,GP=（O,-m,f）,由|觉 卜|前得（4-t-m）2=m2+t2,（2）由（1）、（2）消去，化简得，_3；+4=0（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AO上不存在一个点G,使得点G到点尸，C,D的距离都相等.从而，在线段AO上不存在一个点G,使得点G到点尸，B，C,。的距离都相等.2.（2 0 1 3,北 京 理14）如图，在棱长为2的正方体A8CD A 5 c A中，E为BC的中点，点P在线段 E上，点尸到直线C G的 距
14、离 的 最 小 值 为.答 案.2石5解 析1（坐标法：转化为两点间距离公式）如 图 所 示 建 系，可 得 点 坐 标：A（0,0,2）,仪2,1,0）,点P在上，故可设印=2印=2（2,1,-2）,故 P（2A,A,2-22）,设 PQ _ L CG 并交 CG 于 Q 点，可得：Q（2,0,%）则 由 所 不=0=（2 2/1b0+（/10+卜2 2+2/）-2=0=20=2 2/1,故|所 卜7（2-2 2/+（-/1）2+0=，5宏-82+4 2 正,故点P到直线C G的距离的最小值为正5 5解 析2（坐标法：直接运用点到直线的距离公式）如图所示建系，可得点坐标：。（0,0,2）,仪
15、2,0）,点 在。舌上，故可设取=4率=4（2,1,-2）,故尸（2九4 2-2彳），取CG上的点C（2,0,0）,则CP=（22-2,2,2-22）,=（0,0,2）,贝ljd=|既 sin（c户,CC；）=J（2 2-2）2+22,+（2-2 2）2-1-1 4-4 2=A/5A2-8Z+4N 7（2 2-2/+22+（2-2 2/J 53.边长为2 的正A B C,点 A在平面。内，点、B,C 在平面a 同侧，M 是 BC的中点，正ABC在 a 上的射影是以A 为直角顶点的44G ,则 用 到 平 面 a 的距离的最小值是解 析 1（坐标法）如图所示建系，设 8片=，CC、=b,则投影三
16、角形两直角边分别为故 B 点坐标为（石二/,0,a）,C 点坐标为（日二5,0,耳，故 BC中点M 的坐标为（叵乎H E,o,竽），故A”=3亘卢E j+（审=1又投影三角形为直角三角形，故在底面的投影M 满足A M=1B G，即叵?硬:=7 7 ；L ,联 立 可 得 他=2,故 7MM,=l f a +-Y由对勾函数单调性，且a 2,b,0）,又|P Q|42,所 以 陷=血-1）2+/+14 2,即（x-l）2+y2 43.XA M=AP +P M=AP +1 p g =f|（x-l）,1,-1 L 故最小值：|AAf|=，4（x-1）-+）a +1 之 j 4x0 +0 +l ,x=当
17、仅当,、取等y=0最 大 值：国=14（X-1）2+/+1=1 4（3-/）+/+l =g J-3 y2+1 3 4 平，当仅当，（T）=3 取 等,故 选B,y=2.正方体A B C。-A 4 G A 的棱长为1,M、N 分别在线段A C与 BO匕 求 MN 的最小值答案：1解 析 1（坐标法）如图所示建系，设 W=/w,=n,贝 lj N（z co s45 ,i si n45 ,（）,即2 2M（l-/i co s45 ,si n45 ,1）,即“1-芋”,芋（注:坐标也可通过知识点中归纳的点在线上运动的向量坐标公式求解），故 也 r叵甘V 22 2 1 2 1（2 2 J故当仅当相=立时
18、，MN取最小值124.（2 0 1 5,福建文理2 0）如图，A 8是圆。的直径,_ 夜（7”+）+2 =（机-+1点C是圆。上异于A,8的点，PO垂直于圆。所在的平面，且P0=03=1.（H1）若BC=0，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.y答案：近 丁解析一：坐标法如图所示建立坐标系，由B C二 五，易得A C =0，故Z A B C =45可得 0（0,0,。），8（1,0,0）,C（0,l,0）,E在 B C E 可 设 丽=BP=2(-1,0,1)=(-2,0,2),故 E(1 -X,0,2),故/-；-(一、乃丫 _、/7丫/z-y4-0 +A（仞一变/内一吁丫+区*+变、2
19、）1 2 八1 2 J 2）（闵可夫斯基不等式），当仅当K 2 1 2 /（注：也可看几何意义：立2C E +O E =仞用+（考*，告 与 点（应Z。）的距离加上2 2 J 2 2=0n 2 取等2I）+/&曰 +孝、表在平面中点点，*）与点（04 0）的距离之和，画出对应图像,显然最小值为亚+立）2 2 考查点四：角度相关动态问题例 4：（2 0 1 5,四川理1 4）如图，四边形A BCD和 A DPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段P。上，,尸分 别 为 的 中 点.设 异 面 直 线 E”与 A 尸所成的角为。，则co s。的最大值为2答案：y解析：如 图 所 示
20、建 系，设 45 =1,则.设 M（0,y,l）（034 1）,则E M =2(1 -y)_ 1 1(2-2y)2石，4y2+5 x/5 V 4)，+58 y+l _ 1 6、1令8 y +l =f/W/9,则/了？=,8 1 当i+-z当 y =o时，取到最大值2.（2 01 7,浙 江 9）如图，已知正四面体。一 A B C （所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、B Q CR-R分别为,、鹿、C4上的点，A P=P B，友=痴=2,分别记二面角。一球一。D-P Q-R,力一QR-尸的平面角为a、p、y,则A.y a /3 B.a y (3 C.a /3y D.(3y a答案：B解析一：坐标法
21、如图所示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系.设 底 面A 6 C的中心为。.不 妨 设OP=3.则0（0,0,0）,P（0,-3,0）,C（0,6,0）,（0,0,6 0）,8（3百3,0）,。（百,3,0）,R（-2代,0,0）,师=（-2 6,3,0）,丽=（0,3,6 0）,而=（0,6,0）,宓=（-3百,-3,0）,丽=卜5-3,6 .,、n-PR=Q 1-2 氐+3y=0设平面POR的法向量为五=（x,y,z）,则 一 ，可得 L,aP D =0 3y+6 v lz =0可得，2&,1）,取平面A3C的法向量沅=（0,0,1）,_ _ m-n-1 1贝 故 c o s a=k.|
22、叫|V15 V153/n同理可得：C O S /3-,-.C O S /=.V681 V953：.a y/2c o s a =V 2c o s y =|c o s 0|=-故c o s/?=|c o s q =g =/?=2,故错误，正确，故答案选2.（2020,黑龙江牡丹江一中高三理）如图，在正方体A SC O A A G，中，0 为线段A C中点，点P在线段A G上，若直线O P与平面4 8 G所成的角为。，则sin。的取值范围是A 成 百 B 1 1lT T 勺2C.fV3 6T5Ti 1,D.4 3答案：A解 析1：坐标法如图，设正方体边长为1,笠=4（0 4/1 4 1）,以。为原点
23、，分别以ZMQC,。所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则鸣所以在 正 方 体ABCO-ABIG A中，可证平面A 8 G，所 以 丽=（_ 1,T,T）是平面A B G的一个法向量.所以sin 9=k0s（而,而 卜,故4=工时，sin。取 得 最 大 值 为 ,2 3当4 =0或1时，sin 9取得最小值为33.（2020年5月宁波高三二模第10题）在正四面体S A B C中，点P在线段S 4上 运 动（不含端点）.设Q 4与平面P B C所成角为耳，依 与平面S 4 c所成角为4，P C与平面A B C所成角为名，则（）A.。2 4。3 B.。2 4 4 c.33 6t 02 D.
24、。3。2 4答案：DB解析：如图建系，A(l,0,0),5(0,1,0),C(0,0,1),S(l,1,=A AS,0 2 1.则 s i n q =6,s i n 夕=,s i n q=&-4 4 +3。3力-32+3 ,3川-34 +3所以。3。2-%)+。卜-4)=0盘 点B是否在面C G 4上)对于选项3：显 然 丽=2相，而平面ABCD的一个法向量为。=（0,0,1）,有福 函 =0,故B正确.UUU UUU UUUU UUU UUIMB _ _ U L 1 U u u u对于 C选项：C M =CA,+AtM =CAt+AAtCt=（l-z,A-U）B。=（一1,一1,0）,故由
25、8。.CM=o可得 8_LCM对于选项D,由于DOW N的面积为定值,点B到平面C W的距离等价于点B到平面6 G的距离为定值，故三棱锥3-。口 的体积为定值，故D正确.（也可坐标法算出具体的B到平面C AG的距离，略）综合上述，选BCD；故选：BCD；2.（2022届肥城市高三上学期第一次摸底考解析第12题）【多选】已知正方体的棱长为1,点P是线段B q的中点，点 用、N是线段耳。上的动点，则下列结论正确的是（）A.A A与 平 面 所 成 角 为7 B.点A到平面A B Q的距离为迈C.A P/平面ACR D.三棱柱A 4 Q-8与G的外接球半径为立答案：A C解析：以。为原点，4。,|为
26、乂2轴建系；4（1,0,0）出（0,0,1）,通 =（-1,0,1）,平面 的法向量为五=（1,-1,0）,|他|加|1 71sin 8=_A正确；卜 1 .“2 6由 等 体 积 法 得:的=以“.（同.=依B错误；（也可由坐标法距离公式计算，略）,面 A C D的法向量为=A户，=。且 A P u平面ACD,C正确；三棱柱A 4Q -B B 的外接球即为正方体A B C D-A.B D,的外接球，其半径为3,D错误；故选AC.23.（2021年9月南京市金陵中学数学测试第12题）【多选】如图，在正方体A B C D-A B C R中，朋=3,点M,N分别在饭夕含端点），若下列命题正确的是（
27、）ADiA.MN A.B.M?V_L平面 RMC3C.线段BN长度的最大值为z D.三棱锥G-A R M 体积不变答案：ACD解析：在正方体ABC。-A M G 中，以点。为原点，射线。4 DC,DDi分别为x,y,z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：4(3,0,3),01(0,0,3).C(0,3,0),B(3,3,0),设 M(3,y,0),N(3,3,z),y,ze(0,3),丽=(3,y,-3),丽=(0,3-y,z),而 RM_LMN,则 RM.胸=y(3-y)_3z=0 n z =gy(3_y),对于A 选项：硕=(0,y,-3),则 硕 丽=y(3-y)-3z=0 n 丽 J
28、L丽，A 正确；X对于 B：两=(3,y-3,0),CM-MN=(y-3)(3-y)=-(3-y)2 0,即 CM 与 MN 不垂直，从而MN与平面DiMC不垂直，B不正确；_ 1 3 9 3 3对于 C：丽=(0,0,z),BN BN=z=-(y-)2+-,当且仅当 y 时取3 2 4 4 2C正确；对于D：不论点M 如何移动，点 M 到平面4D 1G 的距离均为3,而 一.附=%一 61 Q=鼠 3-5*,=彳为定值，即。正确.综合得选A S4.(2021届海南省高三第一次模拟考试天一大联考第11题)【多选】如图所示，在三棱锥丫 ABC中，AB=B C,且 NE48=NV4C=NABC=9
29、0,P 为线段VC的中点，则()A.PB与AC垂直B.PB与VA平行C.点 P 到点A 氏C V 的距离相等D.W3与平面ABC,PB与平面AfiC所成的角可能相等答案：AC解 析 1：(坐标法)如图建立空间直角坐标系B-xyz,设 AB=3C=2,0!=,则 8(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),V(0,2,2b),P(l,l,b)则 BP=(1,1,6),AC=(2,-2,0)AV=(0,0,2b)8 月43=0=82_14。,8 尸与4 丫不平行，所以A正确，5错误.-.P A =(-1,1,-b),P B =(-1,-1,-b),PC =(1,-1,-b),P A=P
30、B=P C=P V,C正确.平面 ABC 的一个法向量为 =(0,0,1),BV=(0,2,2b),BP=(1,1,/?),2b h .-hs i n g=|c os|=产-=)-,s i n&=|c os|=J 4 +4/-,2 +6所以两个角不可能相等，。错误.故选A C.解析2：几何法过点作尸/_ 1 4(7,垂 足 为 ，连接8”,可得”为 4(7 中点，因为4 5 =3。,所以8/，4。,所以AC,面PM,所以 C P 3,从而A正确.由条件可知P”A L而产”与 P B 有交点，所 以 心 与 侬 不 平 行，8错误.点P是 R T A A B C 的外心，所以尸点到ARC的距离相
31、等，所以点P到 A B,C,V 四点的距离相等,C正确.V B 与平面4 3 c 所成的角即Z.VBA,与平面A B C 所成的角即N P 3”,L 4t a n N V B A =,t a n /P B H =-=-产=7=6 =-)将 4 3。绕边48翻转至2 4 放，使面/1 8 尸，面 4 3。，。是BC的中点，设。是线段抬上的动点，则当PC与。Q所成角取得最小值时，线段AQ的长度为()所以两个角不可能相等，DA.2答案：B解 析 1：建系找关系如图建立空间直角坐标系,B.-C.D.5 5 z 3/l易得0(0,0,0),4(1,0,0),P(0,0,2)C(0,2,0),B(2,0/
32、)i-3(1,1,0),设 而=X而，DQ =/2-4/1,cos P C,D O)=/,-FJ 5片+1-24 优、=D A +AQ=(-2,-1,2 2),P C =(0,-2,-2)2-4/1 3 7 5 /厂所-20得”管取等又网=6.邛0|=竽6.已 知 二 面 角 的 大 小 为 60,动点P，。分别在平面。，夕内，尸到平面尸的距离为 G，。到平面。的距离为2 K，则 P，。两点之间距离的最小值为A.1 B.2 C.20 D.4答案：C解 析（坐标法）：如图所示分别作出矩形面夕与矩形面,并作于点P,作 P O J_/于点O；作力 于 Q，,作 QA，/于点 A.连接 OP 与 AQ
33、,则 ZPOP=ZQAQ,=60,则由 QQ，=2&,P产=6 可得PO=2,OP=x AQ=2,AQ=4.如图所示建立空间直角坐标系，无关系的 双 动 点 问 题 固 定 一 个，故 不 妨 令 P 在 x 轴 上，则 P（2,0,0）,Q（2,y,2 g）,故间|=Jo+V+Q 可=正+口 交 行,选 C7（2 0 1 4,湖北理19）如图，在棱长为2的正方体A 5 8 A 4C。中，E,F,M,N分别是棱的中点，点 P,Q 分别在棱阴上 移 动，且OP=BQ=4（04 P y B.a y 0 C./3ay D.0 y a答案：A解析：设正方体的棱长为4,CF=x,CE=y,由8F=2C
34、E,得 4-x =2 y,即x+2y=4,由基本不等式得，xy=-x-2 y 当且仅当 =2y=2,即x=2,y=l 时等号2 2 41 2 4成立，而当三棱锥C C防的体积取得最大值6 3 3时，CF=2,CE=1.下比较么,7 的大小关系.解 法 1：坐标法如图，建立空间直角坐标系，则 4（4,0,4）（0,4,4）,用 0,3,0）,尸（2,4,0）.处理1：因为则朋=（2,-4,4）,南=|,1,4）,由解法2知 夕=物,同，则cos岭0 网,叼右.；=反OC 阿FA=存1275正 后.则a nn 忑4,而2tana=2石,tany，所以 tan a tan/?ta n/,即 方?.答
35、案 A处理 2：E F=（2,1,0）,E C7=（0,1,4）,E 4Z=（2,-4,4）,可求得平面 A E F法向量a=（2,-4,-5）,平面 O 法 向 量 9=（2,-4,1）,平 面 ABCD的法向量为 =（0,0,1）,则万 ci-b 15 石 c b 1 1 c-a 5 加8s.嗣=而有争 丽=百=而，,=随kF，则 cosavcos6 c c o s y,所以0 7.答案 A2:（2020年 3 月某中学周练试题第16题）在矩形ABCD中，AB2,BC=,E,N 分别是边AB,BC的中点，沿 上 将 A W E折起，点A 折至A，（与A 不重合）处，若 M,K 分别是线段A
36、。,4 c的中点，则在AAOE折起的过程中，直线A C 与平面BCDE所成的角0 的 最 大 正 弦 值 为，直线B K 与平面8 a 组所成的角0 的 最 大 正 弦 值 为.答案:屈-6 Vio；-10AR解析：过 A 作尸，易知4 万，又A c A =F，所以。EJ_面 A E 4,所 以 小 _L4G,又 A G L A b,DEc A F=F ,所以 4 G，面 AED.如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 NA户G=a,TT当0 a 一时,2AG=sina,GF=c o s a,所以 AG=A F-G F=立-正 cose,2222TT当一v a K 万时,2AG =sn
37、(-)=sin a ,G/7=乎 cos(4 一 a),一 正正/、叵 6A G =A F +G F =-cos(7r-a)=-一 cosa2 2 v J 2 21则 4 5 一1 1一cosa,-costz,2 2 2 sina,2C(l,2,0),所 以 而=1cos a +1 ,3 +1cos a,-sin a2 2 2 2 2,面 8C。石的法向量为3=(0,0,1),则sin0=|cosn,/4，C|设 r=6+4cosa G 2,1 0),则sin6=16 41875-12V24l l，当f=2遥,cosa=3 l 叵 时，取等号，所以直线A C 与平屈 近 2面 8cD E 所成的角0的最大正弦值为巫243 1 5 1乎 sina,8(0,2,0),解 析:因为K 为 A,C中点，所以K 厂 泮 sa,厂产a,_ _ _，3 3 1 所以 8/=-c o s a,-cosa,sina,面 BCDE1的法向量为4 4 4 4 4H=(O,O,1),则sin0=|cosn,5 A=夜 sinacos a +423 1-cos a4 42I+及 sina、24)10而Io，当a=g 时，取等号，直线8 K 与平面3CDE所成的角。的最大正弦值为画2 10