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1、第一步 楮 卷本 章 学 习 重 点 与 难 点重点一-、弹性力学的内容:弹性力学的研究对象、内容和施国注意与其它力学在任务、研究对象和研究方法上的相同点及不同点.二、弹性力学的基本假定、基本任和坐标系1.为简化计算.弹性力学假定所研究的物体处于连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、小变形的状态。2.各种基本量的正负号规定。注意弹性力学中应力分量的正负号规定与材料力学中的正负号规定有何相同点和不同点。外力（体力、面力）均以沿坐标轴正向为正，面力的正负号与所处的面无关（只与坐标系有关），注意与应力分量正面正向、负面负向约定的区别.3.五个基本假定在建立弹力力学基本方程时的用途.难点建立正面、负
2、面的概念.确立弹性力学中应力分量的正负号规定。典 型 例 题 讲 解例 1 1 试分别根据在材料力学中.和弹性力学中符号的规定确定图中所示的切应力ri.r2.r3 r1的符号。O：例1 7图2科 帔 力 学 箱 明 数 梭（第 三 瓶）金 极 导 弊 及 习 会 金M【解答】（D在材料力学中规定,凡企图使单元或其局部顺时针转动的切应力为正，反之为负.所以J.FB为正,r z，口为负.（2）在弹性力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以正坐标轴方向为正作用于负坐标面L的切应力以负坐标轴方向为正，相反的方向均为负。所以.“2.r3 T 4均为负0习 题 全 解1-1试举例说明,什么是均匀的各向异性体
3、，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体.【解答】木材、竹材是均匀的各向异性体;混合材料通常称为非均匀的各向同性体如沙石混凝土构件，为非均匀的各向同性体;有生物组织如长骨为非均匀的各向异性体。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【解答】一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体而钢舫混凝土构件不可以作为理想的弹性体，般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作为理想的弹性体.1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？【解答】（1）连续性假定:引用这一假定以后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连
4、续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。（2）完全弹性假定:引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克定律从而使物理方程成为线性的方程。（3）均匀性假定:在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模垃E和泊松比等）就不随位置坐怀而变化.（4）各向同性假定:所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说.就是物体的弹性常数也不随方向而变化。（5）小变形假定:我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺
5、寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时可以将它们的二次骞或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程.在上述这些假定下,弹性力学问题都化为线性问题从而可以应用叠加原理。1-4应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向.*纬论【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时）.这个面上的应力（不论是正应力或切应力）以沿坐标轴的正方向为正.沿坐标轴的负方向为负.与此相反,当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）.这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负.面力的符号规定是：当面力的指向
6、沿坐标轴的正方向时为正.沿坐标轴的负方向时为负.解1 4图1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定.【解答】在弹性力学和材料力学中切应力的符号规定不尽相同：材料力学中规定，凡企图使微段顺时针转动的切应力为正；在弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴正方向为正，作 用F负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正,相反的方向均为负.1-6试举例说明正的应力对应于正的形变.【解答】如梁受拉伸时.其形状发生改变,正的应力（拉应力）对应于正的形变.1-7试画出题1-7图中的矩形薄板的正的体力.面力和应力的方向.注意：（1）无论在哪一 个位置的体力，在哪个边界面上的面力，均以沿坐标轴正
7、方向为正，反之为负.（2边界面上的应力应是以在正坐标面上方向沿坐标轴tE方向为正反4好性力学简明欣程.（第三何）金桢导学及习全解体力和面力Mb）体力和应力之为负，在负坐标面上方向沿坐标轴负方向为正反之为负。1-8 试 画 出 题 1 -8 图中的三角形萌板的正的面力和体力的方向。03 1*8 00第二步 年面冏题的基滓理卷本 章 学 习 重 点 与 难 点重点一,两类平面问题的概念名称平面应力问期平面应变向期未知量已知量未知量已知量位移uwOu vw=0应变w/=r*=，=%，TT,t=r =0,a,=（力+%）外力体力、面 力 的 作 用 面 平 行 于 反 平面,外力沿板厚均匀分布.体力、
8、面 力 的 作 用 面 平 行 于 平面,外力沿Z轴无变化.形状物体在一个方向的几何尺寸远小于其它两个方向的几何尺寸（等厚度薄板八沿一个方向（通常取为N轴）很长的等低面棱柱体（等截面长柱体）.二、平面问题的基本方程平面问题的基本方程共有八个，见下表.其中，E.,G 分别是弹性模量、泊松F比和切变模量,G=皆消名称基本方程表达式应用基本假定平衡微分方程养+普+”。，型+软+/,=。.连续性，小变形,均匀性几何方程du dv 2u tdve，=5 P e，=石，”=石+石 连续性，小变形均匀性6“使 力 学 避 明 收 桎（第三 号）余 枚 导 学 及 习 题 金“续表名称基本方程表达式应用基本假
9、定物理方程*平面应力问翘1,、x=后（。，1,、,=后（力-W，），y=L平面应变问题室（。,一 件），%=&r连续性小变形均匀性，完全弹性，各向同性三、平面向腮的边界条件弹性力学平面向超的边界条件有三类如下表.其中S.S.分别表示面力、位移已知的边界，/和，则是边界面的方向余弦.位移边界条件应力边界条件混合边界条件(iS.上1V=1).S+m r,=7 s 上l/r -h w,=/,.u=u v t/.S._E尸 +m r”=7,5 上=/y四、平面问题的两条求解途径1.处理平面问题时常用按位移求解和接应力求解这两条途径.在满足相应的求解方程和边界条件之后，前者先求出位移再用几何方程、物理方
10、程分别求出应变和应力，后者先求出应力再由物理方程、几何方程分别求出应变和位移.2.按位移求解平面问题归结为在给定边界条件卜，求解以位移表示的平衡微分方程（平面应力情况）：言?佛+宁fg+*悬3.按应力求解平面问题，除运用平衡微分方程外，还需补充应变相容方程，该方程可用应变或应力分量表示.用应力表示的相容方程：一般情况下：V。+%）=-（】+）（差 +37）,+。，）=一（七）（当+软）平面应力问题。平面应变问题第 二*平 面 间 题 的 修 本m论 7常体力情况下V%+%）=0.用应变表示的相容方程：,匕4乜=dy2 dx2 dxdy,按应力求解常体力情况下的两类平面问题归结为在给定边界条件下
11、求解如下的偏微分方程组，若是多连通（开孔）物体相应的位移分量需满足位移单值条件：养+需+/,=。,/+黑+/，=。,V2（7,+力）=0.五、关于位移解法、应力解法及应变相容方程1 .弹性力学问题按位移求解（或按位移、应变、应力同时求解）时,应变相容方程能自行满足。按应力求解时为保证从几何方程求得连续的位移分量，需补充应变相容方程，是保证物体（单连体）连续的充分和必要条件.对于多连体,只有在加上位移单值条件才能使物体变形后仍保持为连续体.2 .按位移求解时需联立求解二阶偏微分方程.虽在理论上讲适用于各类边界条件，但实际运用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解.因此，使其在寻找精确解时受到了限
12、制。然而这方法在数值解法中得到了广泛应用。3 .应力解法通常适用于应力边界条件或仅在局部给定位移的混合边界条件.由于可引入应力函数求解故在寻找平面问题的解析解时 用此法求解比按位移求解容易.4 .在按应力解法求解的方程组中并不隐含弹性常数，因此，按应力求解单连通平面弹性体的应力边界问题时,其应力解答与E.G 无关（但应变、位移分量与弹性常数有关），即应力与材料性质无关,这意味着不同弹性材料的物体（不论是属于平面应力问题，还是属于平面应变问题）只要在Q 平面内具有相同的形状、约束和荷载,那么历，的分布情况就相同（不考虑体力）.可 以 证 明：对于多连通（开孔）物体,若作用在同一边界上外力的主矢为
13、零，上述结论也成立.难点一、两类平面问题的异同点。二、圣维南原理的适用范围，对其定义的把握。在利用圣维南原理在小边界（次要边界）上局部放松,使应力边界条件近似满足时，注意主矢（主矩）的正负号规定:应力合成的主矢（主矩）与外力主矢（主矩）方向一致时取正号,反之取负号.三、列出应力边界条件.85*力学端叫做收(第三版)金桂导学及习及全解典 型 例 题 讲 解例21已知薄板有F列形变关系:一=Ary,j=妩/,y”=。一。/式中A,B.C,D皆为常数试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式.【解】(D相容条件：将形变分量代入形变协调方程(相容方程)九,I九y =-%万 钎 57
14、五 其中=。，*f =。，=0.dx dxdy所以满足相容方程，符合连续性条件.(2)在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为%=E q Q*+厚y)=2 +2 9 3),1 ,1 -pt%=i E (,+)=E-?C/iAxy+B y l，1 -fl 1 -f J Lr“=Gy”=G(CD2).Q)平衡微分方程其中柒 +黎+f.=。.伟+黑+/,=。=老?卷=干7 3 即+“),黑=。，甯=-G D y.若满足平衡微分方程,必须有罟1y-2G D y+/,=()(3By2+4)+八=0.分析:用形变分城表示的应力分量,满足了相容方程和平衡微分方程条件,若要求出常数A，B.C,D还需应力边
15、界条件.例2-2如图所示为一矩形截面水坝其右侧面受好水压力(水的密度为P),顶部受集中力P作用.第 二 拿 平 面 河 网 的 事 本 理 论 9试写出水城的应力边界条件.【解】根据在边界上应力与面力的关系左侧面：4%）=了.丁）=。，2）*=/,（y）=0，右侧面：Q,）.A=3（丁）=-p g y，=7（y）=。上下端面为小边界面,应用圣维南原理,可列出三个积分的应力边界条件。上端面的面力向截面形心。简化，得面力的主矢量和主矩分别为FN.FS.M”F、=Psina Fs=-Pcosa.M）=守 sin a.y=0 坐标面,应力主矢量符号与面力主矢量符号相反，应力主矩与面力主矩的转向相反。所
16、以L ）y=o也=一 F、Psina,|%）,=jrdLr M,）=odx=-F0=Pcosa.下端面的面力向截面形心D 简化,得到主矢员和主矩为/2FN=Psin a Fs=P cosa-qpg,MD=Pl cos a 一g sin a-y=/坐标面，应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同.所以J A（%）,cLr=F、=Psina,J A（%）y iz d r=Pl cos a P/isina gpg.L（&=Poos a 一多明分析：（D 与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式而且与边界平行的应力分量不会出现.如在左、右侧面.不要加人（*）,=0 或（*）,=t =0。（2）
17、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精确满足时可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化.应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者方向一致时取正号,反之取负号。习 题 全 解2-1 如果某一1 问题中%=r“=ry=0,只存在平面应力分量o,%,r“且它们不沿之方向变化，仅为工的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题I，105MfX力 学 端 明 敦 根（第 三 版）全 根 导 学 及。期 余 解【解答】平面应力问题.就是作用在物体上的外力，约束 沿z向均不变化，只有平面应力分量（,，%1,）,且仅为工小的函数的弹性
18、力学问题所以此问胭是平面应力问题。2-2如果某一问题中，3=y”=y。=0,只存在平面应变分量小.一.且它们不沿z方向变化仅为1.y的函数试考虑此问题是否就是平面应变问题？【解答】平面应变问题.就是物体截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，只有平面应变分垃（却，3，九,），且仅为”.丁的函数的弹性力学向的，所以此问题是平面应变问题。2-3试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中2 3图，其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中可以认为在该薄层的上下表面都无面力.且在薄层内所有各点都有*=rM=r.y=0,只存在平面应 力 分 酸 且 它
19、 们 不 沿z向变化.仅为上 的函数。可认定此问题是平面应力问题。2-4试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，题2 7图，当板上只受向的面力或约束且不沿厚度变化时其应力状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时J=0,且不受切向面力作用则y =y r =o（相应r =rt y=0）i板边上只受才,y向的而力或约束所以仅存在f，.一,且不沿厚度变化,所以其应变状态接近于平面应变的情况。2-5在题2 -5图的微分体中,若将对形心的力矩平衡条件2 M c =0.改为对第二 皋 平 面 同 区 的 基 本 在 论11角点的力矩平衡条件试问将导出什么形式的方程？
20、题2-5图【解】将对形心的力矩平衡条件EM,=0,改为分别对四个角点A,B,D,E的平衡条件,为计算方便,在z方向的尺寸取为一个单位。MA=0力 dr X IX 竽 +（。,）力 乂1*孚 一（下 口 4-d z jdy X I X dr十（。0+力）dr X 1 Xdy-（分+争dy X I X华一%dy X I X y（a）4-A drdjrX l X学 一/,d rd y X l X y =0.2MH=0,（rr+d r）dj X 1 X 学+卜尸+g d j）dr X 1 Xdy+（外-b-d j）ir X I r7,dy X 1 X dr%dy X 1 X当 （b）*dr XI X华
21、+/,&d y XI X当 +/加 的 X I X竽=0.ZMn=0,（力+/dy）dr X I-r.?dy X 1 X dr+%dy XI X宠+r d r X 1 Xdy 一力&X 1 X与 一 （%+-cLr）dy X 1 X当 一（c）/,cLrdy X lX -F/,X l X y-0.EM*：=0,一（%+费 力），下 X 1 X 孚+%dy X 1 X 当+r,dr X 1 Xdy+%dr X IX12弹 性 力 学 猛 明 敷 楹（第 三 版）全 程 导 学 及 习H全 解华（%+器dz）dy X 1 X 学 一（r0+d r）dy X 1 X dz /,cLrdy X IX学
22、 十 九 业 力X 1 X华 工0。（d）略去式（a）、（b）、（c）和式（d）中三阶小矮（亦即才工右,山：天y 都趋于零），并将各式都除以dzd后合并同类项，分别得到r”=t 2-6在题2 5图的微分体中,若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的,试问将导出什么形式的平衡微分方程？【解】激分单元体ABCD的边长d r,d y都是微量.因此可以假设在单元体各面上所受的应力如图（a）示忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的如图（b）示.为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位.各点正应力；BB(ra9众L三二二二F=J(rUUMlMM(T,OB解2-6图(%)A =Ga，(%B=%+符d
23、y,(7,)D ffj 十 dx.(J,C =+养&+翁 dy.各点切应力：(ro)x=r”(ry)B =T xy+Jdy，(r )D =丁+”，(r r B=第 二*平 面 问 题 的 遥 本 建 论 13 +全 业 +警”.由微分单元体的平衡条件2 F.=O.S F,=0得 一 知,+（。,+粉 电）型+信（%+黄d r）+（%+菱 业+粉d y）d y-固Q+（j +业）辰+（l（r +符 力）+（r +警 力）网 +/,d z d y=0,卜珏,+卜,+含&）辰+圉（。,+徐 力）+（1,+需 d r +整）&-e卜+（J +晟 刈 W+/&“+若 乙）+&”+警力+若d r）D t
24、y+/,d r d y=0.以上二式分别展开并约简，再分别除以d z d y就得到平面问题中的平衡微分方程售+符+（=%+符+“。2-7在导出平面问题的三套基本方程时分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是:物体的连续性.小变形和均匀性.在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中,平衡微分方程和几何方程都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性完全弹性,均匀性，小变形和各向同性,即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中的物理方程不一样如果将平面应力问题的物理
25、方程中的E换为/7，换为2 就得到平面应变问题的物理方程。2-8试列出题2-8图（a）题2-8图（b）所示问题的仝部边界条件.在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（M l （I）对于图（a）的问题14弹 性 力 学 尚 明 敷 枉.（第 三 版）金 枚 导 学 及 习 题 仝*在主要边界r =0i -b上.应精确满足下列边界条件:（%）,=。=-pgy、）,二。=0：=-pgy.（r）=0.在小边界（次要边界）N=0 上能精确满足卜列边界条件:（%）,-。=一陷脑，r）=0.在小边界（次要边界）y 九 上花位移边界条件：（“）A”=0,（G,-与=0.这两个位移边界条件可
26、以应用圣维南原理改用三个积分的应力边界条件来代替.当板厚3=1时.I h-b.题28图（2）对于图（b）所示问题在主要边界、=土”2 上.应精确满足下列边界条件：（%），_ 5=0.r=-9i i（力）,-*/：=g.rA）,=T2 H o.在次要边界i=0 上应用圣维南原理列出三个枳分的应力边界条件，当板厚S=1 时.J（%）dy=F、,在次饕边界I =/上.有位移边界条件：（）,-=0.（G y,=0 这两个位移边界条件可以改用三个枳分的应力边界条件来代替罪 二*平 面 问 我 的！1本 理 论15J (rQ id y 二一q l-Fs,2-9试应用圣维南原理列出题2-9 图所示的两个问题
27、中QA边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的而力是否静力等效？图 2 9 图【解】(1)对于图(a),上端面的面力向截面形心简化,得主矢和主矩分别为FN=q b/2.Fq=O,M=J-x)d r =q b?/12.应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件节板厚5 =1 时.(%)L o d r 二-q b/2、J a j-e l r =0。(2)对于图(b),应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件,当板厚a=1 时，(。,二 0 d r =一矽/2,J o/=/62/12*J oJ (t y r )y 0(l r =O o所以.在小边界(加边上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同.这两
28、个问16弹 性 力 学 蔺 叫 数 枝（第 三 发）金 栈 导 不 及 习 题 全 解题为静力等效的.2-1 0检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（D用位移表示的平衡微分方程件（券+宁券+*悬）+“。，与+与奈+空悬）（2）用位移表示的应力边界条件JWH，噌+给+皿 慑+知 九1V 当 M需+晦）+，亍,（居+得）力（在S上）（3）位移边界条件（u）,=a.（V）,=v.（在 s.上,）2-1 1检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（1）平衡微分方程肉+符+/，=。，言+黑+/=（2）相容方程V，,+%）=-1+）铝+若卜（3）应力边界条件（假定全
29、部为应力边界条件=$.）a+2=,在 上）I wy+/r”）.=J,.（4）若为多连体还须满足位移单值条件.2-1 2检验平面问题中的应力函数0是否为正确解答的条件是什么？【解】应力函数须满足以下条件（1）相容方程V =0.（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件.s=5）（在一，上）（3）若为多连体，还须满足位移雅值条件.求出应力函数6后,可以按下式求出应力分量，*=万一匚*=5?fy,r”=蓟a/第 二 零 平 面 间 通 的a本 理 论172-1 3检验下列应力分量是否是图示问题的解答：（a）8 2-13 图（a）,0*qtr,=r“=。（b）题213图（b）,由 材 料 力 学 公
30、式,%=%,r=带（取梁的厚度b=1）,得出所示问题的解答：%-2 q京，ro-篝一4九又根据平衡微分方程和边界条件得出_ 3q xy xy3 qx%2 Ih Q 12 21。试导出上述公式,并检验解答的正确性。【解】按应力求解时（本题体力不计），在单连体中应力分量七,力，1”必须满足:平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设s=）（1）8 2-13 图（a）=营 口，。=r”=。相容条件:将应力分量代入相容方程.教材中式（2-23）（券+台）+%）=,*0,不满足相容方程.平衡条件:将应力分fit代人平衡微分方程言+普”一+警=。显然满足.应力边界条件:在工=a边界上,yz/（%）,=%=
31、（1*,）*=如=在y=6边界上，满足应力边界条件。题2-13图（b）,由材料力学公式0=%心=等（取梁的厚度b=D,得出所示问题的解答，=-2 q#,T”=一 学 东 一4户.又 根 据 平 衡 微 分方程和边界条件得出力=券 条-2 q噌 一 品.试 导 出 上 述 公 式,并 检 验 解 答 的4 C*l Ifl*正确性。18弹 性 力 学 福 明 效 栈（第 三 版）全 棋 导 学 及 习 理 全Mq g推导公式：在分布简载的作用下,梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为人的矩形.其 对Z轴（中性轴）的惯性矩为/.,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为M S =-版得（
32、工 =一 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为“竽一谏，一 条）-苧*小_4户根据平衡微分方程的第二式（体力不计）得到*=根据边界条件（%），=得所以%=相容条件：将应力分员代入相容方程（/+微不满足相容方程.平衡条件：符+”=2ih-?qi+A-0,A =_三A 2 I,四U_2”空 一三2 lh 而 2/,7）（“，+%）=-2：片#0.聚 二 皋 平 面 网 题 的a本OL论19将应力分量代入平衡微分方程显然满足.应力边界条件，在主要边界y=A/2上应精确满足卜列边界条件：q r（力）y=T/2=，（T封），T/2=O（0 y）y i/Z =,，=A/2=0.自然满足e在工=0的次要边
33、界上，外力的主矢量主矩都为零。有三个积分的应力边界在=/次要边界上=0,=0.这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替.J t z Q,）r./d y =j二-2 q 济dv=0,=匕,一 为 奈 必 Jt GJ d y .J二 一了:一5电=一 所以满足应力的边界条件.虽然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件但都不满足相容方程,所以两题的解答都不是问题的解.2-1 4试证明:在发生最大与最小切应力的面上.正应力的数值都等于两个主应力的平均值.【证明】任意斜截面上的切应力为r=/m（s-G），其 中 6.为两个主应力.用关系式，/+巾2=1消去小，得r,=*/八一公
34、（-为）=I 八（6 -6）=y-1-（4 -?）-6）由 上 式 可 见.当 土=0时”.为最大和最小于是得2=上&而（7.=八（。1 -s +s，得到 a =，y，2-1 5设已求得一点处的应力分量试求G:.a n（a）%=100,a,=50,I*,=10/5 0 ;（b）（yx=200,d,=0,Tx y=-4 0 0 12 0舞 M 力 学M明 效 植（草 三 版）金 榄 导 学 及 习 W会 解(c)=-2 0 0 0,力=1 0 0 0,ro=-4 0 0 i(d)*=1 0 0 0,%=1 5 0 0,rx,=5 0 0.【解】根据教材中式（2 3和,皆 可 分 别 求 出 主
35、应 力 和 主 应 力 的方向：（a）of=1 0 0 O y=5 0 r Xy=1 0 J5 0 1:卜 i o o i 5 o 土 j(i p y+(i o F,得tan a 1(b).g -=1 5 0 1 0 0一 _1 0 /5 0:1 5 0 “=0，o =2 0 0,力=0,r”=0.7 0 7.3 5 1 6=4 0 0 ；咿土小专町+,tana 1 0 5 2 4-2 0 0 0 7 Q 2-40b =7.3 8.1 0 5 2,6=-2 0 5 2,a =-8 2*3 2，,-1 0 0 0,一1 5 0 0 r 0 =5 0 0；-1 0 0 0 1 5 0 0土&-10
36、00.+.1500y+(2tana i得-6 9 1.=一1 8 0 9,ai=3 1*4 3 2-16 设有任意形状的等厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q.试 证%=%=7及=。能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件也能满足位移物值条件，因而就是正确的解答。革 二*平 面 同 盟 的，本 理 论21解2-16图【证明】(1)将应力分量勿=%=一/r“=0和/,-A =0分别代入平衡微分方程、相容方程色+笨+/=.=一(1+乂 爹 +智)i 显然式(a)、(b)是满足的.(2)对于微小的三角板A,d z,力都为正值，斜边上的方向余弦/=C O 8.N).m
37、=8 S(,y),将%=%=q,T=0代入平面问题的应力边界条件的表达式/(二)，、=-geos 村,工),*cos(n,y)=q cos所以 a,=-q,%=g。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件.(3)对于多连体应校核位移单值条件是否满足.该题为平面应力的情况,首先，将 应 力 分 量%=0=及*=0代入物理方程，教材中式(212),得形变分量(1)(一】)八 ，八一=上 百 一 如 一=上 三 一 小7”=0(d)然后，将式(d)的形变分量代入几何方程.教材中式(2-8),得S五u=%勺 -1)g,耳dv=上(-广 1)幻adv Jk 苏8u 一A /=。能满足.在次要边界/=0
38、 上列出三个积分的应力边界条件：,r*.iJ-*/（%4-odv=0.,卡2 L,（Q,7 d y =0,J （r”）,Aody=0满足应力边界条件。在次要边界I=/上列出三个积分的应力边界条件，f12F（%）,0 力=-f“dy=0,|J T，3 J-A2 nif*12,、.”12 F 2户b -也J 二 JR-山一匚|f（T ）=T满足应力边界条件.因此,它们是该问题的正确解答。2-1 8 试证明,如果体力虽然不是常砧.但却是有势的力,即体力分量可以表示为 二一五八=一 斤.其中v 是势函数则应力分量亦可以表示为24弹 4 力 学 超 一 做 极（第 三M）金 极 导 学 及 习 制 金
39、解试导出相应的相容方程。【解】（1）将 A.A 代人平衡微分方程,教材中式（2-2）.得*。，-6+笨=%*力-V）+磐=。为了满足式门）,可以取v力一v 一_ a歹2一_一 谢%=5a247+,vv%=万+匕,v r=一a踞y.（2）对体力、应力分量%求偏导数,得n,#v一 万，后=一 万，小。-V .a2v万 斤 十石寿一石7+5 7 了。,azv 济%一。.axv寿十千寿=5 P 5 7+歹将式（b）代人教材中式（2-21）得平面应力情况下的相容方程，君+2瑞/y,t =a T/o+3。将原点的坐标X=0 =0 代入上式.得（U ）a s 0,=0 -14 0*（，）*-C.a 0-所以
40、刚体位移分St“0.S 是弹性体中坐标原点的位移分量.图中，P 为P 点至Z 轴的垂直距离，合成位移斗的方向与径向线段OP垂直，也就是沿着切向。3 P 线上的所有各点移动的方向都是沿着切向，而且移动的距离第 二 皋 平 面 问 题 的a 4理 论25等于径向距离p乘以3,3 代表物体绕Z轴的刚体转动，各点转动的角度相同,所以也是坐标原点的转动角度。第三章 平而冏翅的直角要森斛答本 章 学 习 重 点 与 难 点重点一、按应力函数0 G，y）求解平面问题用应力函数表示的应力分M通解,J%，d2（p r 中。，=行一/-%=万一 F 一问同时应力函数仪”y）需满足双蠲和方程,即相容方程：衣+2上虹
41、+=0打1 十、/a y a y Ua二、逆解法、半逆解法的基本步骤1.逆解法:首先设定各种形式的应力函数少（1）,使之满足相容方程；然后.再求出应力分量;最后来考察这些应力分发适用于何种边界问题，从而得知该应力函数能解决什么问题c逆解法的另一种含义是通过材料力学或其它途径得知某些问期的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边界条件.2.半逆解法:根据弹性力学的具体几何形状和受力特征或某种问题的解答凑出应力函数6 G r,W的形式然后再根据基本方程和边界条件确定该函数.若不能满足或出现矛盾则须修改试选的函数，并重新检杳.直到满足为止.三、多项式解答1.一次式。（/,y）=a+必 +c y不论系
42、数取任何值.相容方程总能满足，且对应的应力均为零.线性应力函数对应于无面力、无应力状态,多项式的应力函数加上或减去一个线性应力函数，不影响应力的大小.2.二次式+cy2.上式恒能满足相容方程,且可得到“，=2八%=2 f。=-6.这一结果代表均匀应力状套.3.三次式 0（.r,）=o x3 hbx2y+c.ry2-dyz.上式恒能满足相容方程,旦可得到：%=2cl%=6atr +26y,*2（&r 十ey）这是一个复杂应力状态.又能由叠加原理分解为简单应力状态.若。=6=c=0#0,则%=6 d y%=r,=0能解决矩形截面梁的纯弯曲第 三 零 平 面 问 题 的JL向 生 椅 解 答27问I
43、S（注意坐标系变换，所能解决的问题也要变化）。4.四次或四次以上的多项式.其各项系数之间需满足一定的关系时,才能满足相容方程，各项代表的应力分布呈-种曲线分布.四、设置应力函数L由多项式叠加凑出。当物体受力情况并不复杂时可用此法。2.从量纲分析法得出。此法适用于楔形体、三角形悬臂梁等以无量纲的角度来描述几何形状的物体。3.由材料力学解答导出。此法可适用于已知该物体的材料力学解答的情况.但用此方法得到的应力函数往往不能满足双调合方程,必须加以修正才得以满足，有时需经过多次试算才能使应力函数定型。4.根据边界上的受力性质推得解题所用应力函数。难点一、应用逆解法、半逆解法求解平面问题。二如何设置应力
44、函数。典 型 例 题 讲 解例3-1如图示矩形截面筒支梁受三角形分布荷载作用试取应力函数中=A z，+BIV+C r）+n z y +E N+FQ,求简支梁的应力分量（体力不计】例3 1图【解】（】）相容条件：万+2万 万 十 万 一，代人应力函数得72Azy+120Bx=0.由此得A 一件于是,应力函数可以改写为中=+R ry，4-Gr3jr H-Dxy3+E r，+E ry 28弹 恬 力 学 蔺 明 数 植(第 三 版)金 桎&学 及 习 同 全M(2)应力分量表达式-10Bx3,y+2OBxy3+6Dxy一 lOBxy3+6Czy+6Er 二 1 5 H x-5 B/3Cr23Dy2-
45、F.(3)考察边界条件:确定应力分局中的各系数牛h,得于-3ch+6E=一华；(a)(r“),_ i =O,得(3C一学 跳，)/+(得 跳，+日 前+F)=0；(b)%),i=0，得一-3 O i+6 E =th(c)(r“),=)=。，得 侬 一 竽 氏 力 一 信 跳 春M+F)=00(d)若式(b)恒成立必须满足3C-rBA2=0；(e)4白 跳 尚丽+F u O.(f)10 4联立求解以上各式，得AA zsz q”R 。r q 一 尸”3 8 5/1，C-g E l 2/.再根据简支梁的端面条件确定常数D,F.由圣维南原理,得J 二 L=o,可 得D=一 盆+第,再 代 人 式 )得
46、 尸=一 照+需。(4)应力分量表达式*=簿，(2弥 一 +一 劫),力=景广一4丁 一八3),=jS?(4y T)3*一丁 一/，+勃.分析:在工=0处,能精确满足由此可得右在筒支梁左端为精确解;应力函数含有四阶或四阶以上的项时费满足相容方程是有条件的，如式“)、(。例32图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为】右端固定、左端自由，荷栽分布在自右端上，其合力为P(不计体力)求梁的应力分量,第 三 京 平 面 向 发 的 五 段 里 标 解 誉29例3-2图【解】这是一个平面应力问题,采用半逆解法求解.(D选取应力函数5由材料力学可知，悬 臂 梁 任 一 截 面 上 的 弯 矩 方 程)与截
47、面位置坐标成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标丁成正比，因此可设力=。1刊，(a)式中的4为待定常数。将式(。)对y积分两次，得(b)式中的力(工)，A”)为/的待定函数可由相容方程确定。将式(b)代入相容方程V40 =0.才 人(工),cT/：C x)得上式是J的次方程，梁内所有的j值都应满足它，可见它的系数和自由项都必须为零,即F8-=o,CT/2(X)=0.积分上二式，得/1 X)=a2XS+。41+5，ft(x)ao式中a,-a9为待定的积分常数。将/i x),/2(/)代入式(b),得应力函数为 P =号灯3 +(a?/+&，+d*+&)+x 4-2(a3.y-f-a7).
48、1:,2 9(d)r”=一 彳5，-3a2 1-2a3x-a.(3)考察应力边界条件:以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P,得边界条件(.ffg=0 自然满足；(r*y=0,得 一。1必/2 3a”-一ad=。；30 强 帔 力 学 简 明 数 根(第 三 版)拿 板 导 学 反 专 题 全 加上式对上的任何值均应满足因此得%=0=0 a /2 -5=。.即.,一 ai/i2.(e)(a,-iA=0,得 6口小+2a7 n 0$x取任何值均应满足，因此得=。：=0.L d)-o d1y=J&(y t f ij2-a Jdy=P i将式(c)代入上式枳分，得j (y
49、a,_4)dy=P。计算得 a尸一张=-3%=-a M=十；尸其 中ft-i x(2 h尸/12=2/173,横截面对z轴的惯性矩.最后得应力分量为p。，=一7 丫，*=0,分析：(1)半逆解法是针对实际问题来求解的，根据弹性体受力情况和边界条件 假设应力分量的函数形式;由应力推出应力函数中的形式.(2)本 题 中 风 为 应 力 函 数 中 线 件 项 的 系 数 对 应 无 体 力、无面力、无应力的状态,所以对应力的分布没有影响不需求出。习 题 全 解解3-1图3-1试考察应力函数=”歹 在题什么问题(体力不计).1-一-/超3-r*。1、_ _ _ _ k l-/-Ja1图所示的矩形板和
50、坐标系中能解决 rhx_L1图7 h，(1 )平 面 闻 足 的JL角 生 标 制 答31【解】（1）相容条件：不论系数。取何值应力函数中=0 总能满足相容方程，（2）当体力不计时，将。代人应力分量公式.得当a 0 时,考察左右两端的。，分布情况左（。，），=-“,*=。（。r）,-A 6%*（r”）,二。右（%）,=/.v=0=（%）r-7 ：6ah （T fy）g 3=/0.应力分布如解3 1 图（a）所示，当/人时应用圣维南原理可以解决各种偏心拉伸的问题“因为在八点的应力为零。设板宽为从集中荷囊P 的偏心距为”.-赢=所以e=/6,如解3 1 图（b）所示.同理可知.当a V 0 时.可