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1、预备知识一、数1、自然数：用来表示物体个数的1、2、3、4、5 叫做自然数，1是自然数的基本组成单位。最小的一位数是1。2、一个物体都没有用0表示，0也是自然数，但最小的一位数是1。3、整数：正整数、0、负整数统称整数.正整数和0也叫做自然数。4、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或者几份的数，叫做分数。（分数还表示把一个数平均分成若干份，表示其中一份的数。分数分为真分数和假分数。）5、小数：把一个整体平均分成10份、100份、1000份这样的1份或几分幅度数是十分之几、百分之几、千分之几用来表示十分之几、百分之几、千分之几的数就叫小数。注：根据小数部分的位数，小数可分成“有限小数
2、”和“无限小数”两 类；有限小数按整数部分分类可分为纯小数和带小数两类，纯小数指整数部分是0的小数，如：0.2 5、0.3、0.4 8、0.56等，纯小数都比1小；带小数指整数部分不为0的小数，如：2.5 1、3.4、5.9 1、49.8等，带小数都比1大。无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。循环节从小数部分第一位开始的叫做纯循环小数，不从第一位开始的叫做混循环小数。写循环节时，只在首位和末位数字上各点一个小圆点。6、倍 数（约数）：整数a除以整数b（b#0）,除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。其中a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。7、质数：一个数，如果只有1和它本身
3、两个约数，这个数就叫做质数。（最小的质数是2）8、合数：个数，如果除了 1和它本身，还有别的约数，这个数就叫做合数。最小的合数是4）9、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。10、公倍数：几个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。几个数没有最大的公倍数。11、公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。12、互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。*互质数不是一种数，是两个数之间的一种关系。13、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫百分数
4、。它的分数的一种特殊形式。14、倒数：乘 积 是I的两个数互为倒数。0没有倒数。*倒数不是-种数，是关系。15、奇数：不能被2整除的整数叫奇数。（包括正负奇数）16、偶数：能被2整除的整数叫偶数。0也是偶数。（也包括正负偶数）17、正数：大于0的数叫做正数。18、负数：在正数前面加上“一”（读 作“负”）号的数，叫做负数。负数都小于0。19、有理数：整数和分数统称有理数。注：有理数按符号分为正有理数（简称正数）、0、负有理数（简称负数）,初一所说的数就是有理数的简称。有理数的正确译法应该是“比数”,任何一个有理数都可以表示成两个整数的比，因此有理数按形式还可以分为整数和分数两种。不能表示成两个
5、整数的比的数，肯定不是有理数。分数是标准的有理数。20、相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。*不是一种数，是关系。二、运算方法1、加法：把两个或多个数合并成一个数的方法叫做加法。（加数、和）2、减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，要求另个加数的方法叫做减法。（被减数、减数、差）3、乘法：求多个相同加数的和的简便运算方法叫做乘法。（因数、积）4、除法：已知两个因数的积与其中的一个因数，要求另一个因数的方法叫做除法。（被除数、除数、商、余数）三、运 算 律（只对加法和乘法而言）1、加法交换律：m +n=n+m2、加法结合律：m +n+k=m+（n+k）3、乘法交换律：=4、
6、乘法结合律：2“女=m（nk）5、乘 法（对加法的）分配律：?（+4）=/”+永四、运算顺序先算三级运算乘方、开方，再算二级运算乘除，最后算一级运算加减,如果有括号，按照小、中、大的顺序进行运算，同级运算必须从左到右依次进行。五、100以内质数表（共2 5个）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97六、常见的运算结果2 5 x 4 =1 0 02 5 x 8 =2 0 0-=0.3 3 3 3 1 2 5 x 8 =1 0 0 00.5-=0.2 5-=0.223450.1 2 53-=0.7
7、584I I2=1 2 11 22=1 4 4 1 32：=1 6 9 1 42=1 9 61 52=2 2 51 62=2 5 61 72=2 8 91 82=3 2 4 1 92=3 6 1 I I3=1 3 3 1七、闰年的来历关于公历闰年是这样规定的：地球绕太阳公转一周 叫 做 一回归年，一回归年不是整365天而是365日5 时 48分 46秒。因此，公历规定有平年和闰年，平年一年有365日，比回归年短0.2422日，四年共短0.9688日，故每四年增加一日，这一年有366日，就是闰年。但四年增加一日比四个回归年又多0,0312日,400年后将多3.12日，故在400年中少设3 个闰年
8、，也就是在 400年中只设97个闰年，这样公历年的平均长度与回归年就相近似了。由此规定:年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年，例 如 1900年、2100年就不是闰年。基础知识之一 有理数及其运算1 71.3.1415926是不是有理数？和,呢？3 3引出有理数的概念即有理数的范围，回忆分数的有关概念，明确小数的本质是分数，分为真分数和假分数，以及假分数化带分数的方法。有理数包括整数和分数，正整数和0 统称为自然数。2.x 减 x 的结果是正还是负？如果两个数互为倒数，那么它们的乘积可能为多少？引出相反数的概念：只有符号不同的两个数叫互为相反数，两个相反数相加一定为0,而且这两个数可能同时
9、为0,因为0 的相反数是0。顺便提出倒数的重要运用，即乘积一定为1,而且若互为倒数，肯定都不为0,而且肯定同号03.已知有理数a,b满足a 0vb,且|a|b|.判定A=(a+b+ab)2004值的符号 为()。引入非负数的概念：非负数就是0 和正数的合称。注意0 既不是正数，又不是负数，而是个中性数。绝时值和偶次毒以及后来学的算术平方根都是非负数。非负数相加为0 或者互为相反数都表示这两个非负数同时为0。4.已知：a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的 绝 对 值 等 于 1,那么a+b+x2-cdx=已知a 的绝对值是它本身，Ml是它的相反数,那么1。+4 一1”母一运用刚复习的知识
10、，并引出下一个问题：绝对值。最重要的是不要仅仅把代数定义中的a 看成是一个数,应该把绝对值符号内的式子看成一个整体。5.当-1 Y Y O 时，1 +。（）l-o（填大于或小于符号）已知一1 Y x Y 0,把 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 起 来。x凶有理数的大小比较：般理论（数轴法、差值法和商值法）和解题时的特殊值法。知识点：当 0 Y O Y 1 时，a YL就是商值法的运用，自己推导a IY O YO时的结果，巧用商值法。6.若 a 和 b 在数轴上的位置如图所示，请化简：,+4 卜同Q 0 b到数轴上的点-3 的距离为3 的点有 个。加强绝对值的理解，把绝对值符号内的式子看
11、成一个整体。运用刚才讲过的判别方法，判别绝对值符号内是正还是负，根据绝对值的定义把绝对值符号打开，复习添、去括号法则，并做适当练习。7.-2843+3169+2842-3269=复习有理数的加法交换律、结合律、有理数的减法法则、加减混合运算。8.把 32 个（一5）、33 个（一5）、33 个（一6）、32 个（-6）按从小到大的顺序排列起来。加强有理数的比较的认识，明确32个（一5）等于3 2 x（-5）,引出有理数的乘法，重点是判别结果的符号，小学的乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律同样适用于有理数。9.计算（一2 5）x 3 +0.1 2 5+1 2 5）有理数除法法则及结果符号
12、判别，统成乘法,强 调 0不能做除数，及 9题除号直接倒号，乘倒数即可。不要被代数式中出现多个除号吓倒，在一个只有乘除法的代数式中，统一成乘法后，每个数只不过是其中的个因数，运用交换律和结合律，式中的随便哪一个数都可以放到任意位置。1 0.aXa与 2 a 谁更大？求多个相同加数的和的运算方法叫。求多个相同因数的积的运算叫，它的结果叫。5 个 a 相乘得多少？回忆乘法的概念，引出有理数的乘方的概念，指出a X a 不等于2 a,（-2）2 与一2?是完全不同的意思。提出偶次幕的概念。指出非零数的零次嘉才为1。0的零次暴无意义。1 1 .用科学记数法表示2 5 4 6 5 0 0 0 0 0 0
13、 0=用乘方的形式，表示较大或者较小的数。a X 1 0 （l。Y 1 0,n 为正整数或负整数），1 0 的 n次暴，在 1 的后面有n个 0,1 0 的指数比原来的整数位少 l o1 2 .有理数的混合运算，先算，再算乘除，最后算；同级运算，按照从 至 的顺序进行；如果有括号，就先算 括号里的，再算 括 号 里 的，然 后 算 括 号 里 的。1 3 .3 2 4 7 0 0 0 保留两个有效数字的近似数是答案为3 2 万。有效数字的概念：从左边起第一个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字总和叫这个数的有效数字。整式的加减1 ,1.”是常数还是字母？士是不是单项式？ab的系数是几？的
14、次XX数是几？土是不是单项式？口，的系数和次数各是几？3首先明确代数式的概念：用加、减、乘、除、乘方、开方等数学符号，把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式；用给定数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值；由数字与字母的乘积组成的代数式叫单项式，即没有加减符号连接的代数式；注意圆周率n是常数而不是字母；单项式的系数为1或一1时，通常省略不写；单项式的系数为带分数时.，通常写成假分数；单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。Y Z X2.二叫什么式？是整式吗？请指出2/+4 x-3 V 的项数与次71 3 7
15、1数；-与上的系数及次数各是多少？x3-2/y2+3y2是几次几项式？多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式：（明确减法的本质也是加法,单项式的差也是多项式，只不过系数为负数而已）在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式，就叫有几项；不含字母的项叫常数项（回忆单独的一个数或字母也是单项式）；多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；请注意多项式的次数不是所有项的次数之和，每一项都包括它前面的符号；单项式与多项式统称为整式。（整式属于代数式的一种）3.5/+4-2/+,%与-2/+5/+!犬+4 是否相等？依据是什3 3么？x 的 0 次幕和1次幕各是多少？（假设x 不等于0）把
16、多项式按某二个字母的指数从大到小的顺序排列叫这个多项式按某字母的降幕排列；反之叫升嘉排列：除了美观还会为今后的计算带来方便；注意重新排列时一定要把每一项连同它的符号一起移动；含两个或以上字母的多项式常按其中某字母的升鼎或降某排列。2 Y2 14.一 和 x2是同类项吗？X 和上是同类项吗？6 和谁会是同类项呢？63万x有同类项吗？如果单项式-3*4M丫 2与;xyb是同类项，那么这两个单项式的积是（）。同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的单项式叫同类项；所有的常数项都是同类项；5.当 x=-2,y=-3,z=l 时，求代数式 3x?y-2x2y-（2xy-x2z）-4x2z-
17、xyz 的值。合并同类项的法则：把同类项的系数相加，结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。,1 (c 2 2)/3 1 2、甘h 1 16.x-2x y+x+y 其中 x=,y=2 L 3 j 的值。若a=3555=4444,。=5 3 3 3 ,试比较c的大小。你能确定2565 x625i的位数吗？2.3a2 2a3=-3xy2z(x2y)=单项式与单项式相乘：系数相乘作为系数，相同字母的某分别相乘，只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。3.(一2。2)(3帅 2 _ 5 3)=化 简x(x2-1)+2x2(x+l)-3 x(2 x-5)单项式与多项式相乘，将单项
18、式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。注意多项式各项应该包括符号。4.(x-3)；Xx+7y)=(a+Z?)(c+d)(e+/)=多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加；结合小学的多位数的乘法的列竖式计算来理解。5.(2 a+3 8 2 a -3b)=(b+a a-h)-1998x2002=19992=99.82=两数和乘以它们的差，等于这两数的平方差；两数和的平方。练习：一个二项式与三项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是。尽可能多地写出两个整式，使 它 们 的 积 为12x2y2(x-y)。已知M=987654321 X 123456
19、789,N=987654322 X 123456788，比较 M、N的大小。(用字母代替数和差值比较法)计算(-X-2 y)2若 n 满足(2004)2+(2005 “丫 =1 ,贝 ij(2005-n n -2004)的 值 是()。(x-y)(_ y _ x)=因式分解1.4。3+24。-8a2=4。()4a 叫做这三项的()回忆小学的因数的概念，提出因式的概念。一个单项式一般会含有常数因数和字母因数。在几个单项式或多项式中，各项所共有的因数或因式叫公因式，会提公因式是一项基本功。2.因式分解的概念：将多项式化为整式的乘积的形式，注意分式不是多项式，数与字母的积叫单项式，几个单项式的和叫多
20、项式，因式分解是对整式而言。结果不能是部分乘积形式，必须是全部是整式的乘积形式，也就是说不能有和的形式。还有就是不能与方程的同解变形混为一谈，因式分解的过程是恒等变形。最后的结果要不能继续分解才算结束。因式分解是整式乘法的逆运算。一般在有理数范围内分解。3.因式分解的方法口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘排第三，分组分得要合适，若是二次三项式，可用求根公式试，儿法若都行不通，拆项添项试一试。4.完全平方公式口诀：首平方，尾平方，首尾二倍在中央。5.常用公式:i2+2ab+b2=(a+b)2i2-b2=(a+b)(a-b)aaa3+3a2b+3ab24-b3=(a+b)3a3+b3=
21、(a+b)(a2-ab+b2)a2-2ab+b2=(a-b)2a3-3 a2b+3ab2-b3=(a-b)3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)6.已 知。c+bd+be+ad=13,且a,b,c,d均 为 非 负 整 数，求a+/?+c+d=()分组分解法的运用。回忆质数和合数的概念。a2-b2+l b-=提示：可以把后三项分为一组，构成完全平方式。a2-ab+h c-c2=提示：首尾为一组，中间为一组。7.二次三项式的因式分解：首先用一元二次方程根的判别式判断能否分解，然后用求根公式来分解。若判别式小于零，则在初中范围内无法分解；若判别式等于零，则能够分解成一个完全平方式；若判别式大
22、于零，用求根公式来分解。8.十字相乘法：对二次三项式可将二次项系数和常数项分别拆成两个数的乘积，再交叉相乘得到一次项系数的方法。例如，9/+1 8 X +8要进行因式分解，把二次项系数9拆成两个数3和3的乘积，把常数项8拆成两个数2和4的乘积，有a l X a 2=9,c l X c 2=8 ,a 1=3 c l=2 a l Xc 2 +a 2 X d =1 8,a 2=3 c 2=4既 9/+1 8 x+8 =(3 x+2)(3 x+4)因式分解的几种其它方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具 有 一 定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，再补充介绍二次
23、项系数不为1的十字相乘法、添项、拆项法、换元法等有关内容和方法。1、十字相乘法a x c二次项 常数项b x d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _a d x+b c x=(a d+b c)x 一次项例2、把多项式5 x2 6 xy8 y2分解因式。x-2 y5 xz XK4 y解：原式=(x-2 y)(5 x+4 y)双十字相乘法：实际上就是分组分解法中的二次六项式的分组方法：所有的二次项为一组，一次项为一组，常数项为一组，即：“三二一”式。例3分解因式(1 )X2+3 X Y+2Y2 2X Y 3 X+2 Y 3解：原式=(x2+3 X Y+2 Y?)2 X-Y 3=(X+2Y
24、)(X+Y)2 X-Y 3 X+Y=(X+2Y)(X+Y)+(X+2Y)-3(X+Y)-3=(X+2Y-3)(X+Y+1)(2)6X2+6Y2+1 3 X Y+X 6Y 1 2解：（略）2、添项、拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.例 4、分解因式 x4+3x2,+4y4(2)X4+4解：(1)原式=(x+4x2y2+4y4)-x2y2=(x2+2y2)2-(xy)2=(x2+2y2+xy)(x2+2y2-xy)(2)原式=(X4+4X2+4)-4X2=(X2+2)2-(2X)2=(X2+2+2X)(X2+2-2X)3.换元法例 5
25、、分 解 因 式(X2+3X+2)(X2+7X+1 2)-1 2 0.解 原式=(x+2)(x+l)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+l)(x+4)-l 20=(X2+5X+6)(X2+5X+4)-1 20令x2+5x=m,代入上式，得原式=(m+6)(m+4)-120=m2+1 Om-96=(m+l 6)(m-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-l)练习：把下列多项式分解因式：1、3x2+17x+10 2、6X2-7X-5 3、5x2+6xy-8y24 x2xy2 +2x7y36、x4+x2-2ax+1-a28、x2-2xy
26、-3y2+3x-5y+210(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)5 X3-3X+27、x2+7xy-18y2-5x+43y-249、(X2+X+1)(X2+X+2)-1 2分式1.填 空：(”丫 (a4/?5-r a3b-3 5)=(-a)7-x6 4-(-x)4=(a +b)6+仅+4=(2 4-1 2/+4 x)+(-2 x)=同底数的痔相除，底数不变，只对指数作减法运算，即=a f（aWO,m、n 都是正整数，并 且 mn）,必须注意：法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是数，也可以是式（单项式或多项式），指数都是正整数;对于含有三个或三个以上的同底数基相除，法则仍然成立。练习及典型
27、错误：3 a 7匕+7。2+7 2 =3 aJbl=3 ab6 x3y3-1 8 x3y2-6 x3y2(3-y)=6 x3y3 t 1 8/-6 x3y3 6 x3y2(3-y)=1 y-0,同时必须考虑分母不为零。7.(2一|g)的 值()；1.2X10”用 小 数 表 示 为)；I厂 公引入零指数基与负整指数嘉的概念：非零数的零次箱等于1,非零数的一n(n为正整数)次幕等于这个数的n次幕的倒数。现在慕的运算可以归纳为三条：(1)指数 加 法 律 优 优=+；(2)指数乘法律(屋)=a ；(3)指数分配律(a。=anb8.科学记数法是把一个数A写成a x 10的形式，其中1同Y 10,n是
28、整数。(1)当|A 210|时，n为|山 的 整 数 部 分 的 位 数 减1。如：38 000=3.8 X104;-47 5 000=-4.7 5 x 105(2)当 1|A|Y10 时，n=0,例如：4.8 =4.8 x10=4.8 x1-1.25 =-1.25 x10=-1.25 x1(3)当|A|Y1时，n为|A|中从左起第一个不为零的数字前的零的个数(包 括 整 数 部 分 的 零)的 相 反 数。例 如：0.00007 8 3=7.8 3 x 10-5-0.0000042=-4.2 x 10*5。Y练习：把 分 式 二 一 的X和y都扩大3倍，那么分式的值会怎样变化？x+y解方程1
29、一 +一2x+1 x-14x2-1数的开方1.正 方 形 的 面 积 为2 5平 方 厘 米，边 长 是 多 少？(y=3 6;(y=2 7引入平方根的概念：如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a的平方根，正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作读作“根号a”，求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，每一个正实数必定有两个互为相反数的平方根。练习：闻的平方根是3()；1的立方根是 1()；V i =1()；-后 是5的平方根的相反数()。2.如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a的立方根，注意，一个正数有两个平方根，一个实数只有 个立方根，记作，读作 三次根号a”,a称为被开方数
30、，3称为根指数。练习：求下列各数的平方根：；0.36；3248 127立方根：0.125;-;133164二次根式1.(V 8)2=;病 =；要使有意义，X必须满足什么条件？形如(a 2 0)的式子叫作二次根式。&表 示a的算术平方根。二次根式的性质：(1)4a 0-(0)(2)=a-(a 0)(3)2.73 x 7 6=_ _ _ _;x 1 1 5a-;7 40+#=;V 14+V 28 =二次根式的乘法法则：或 北=疝-(0;/?0)除法法财a（a Q;b 0）,分母有理化指将分母中的根号去掉，如:1 _ V 57 T T3.3-/-25/3,3/-2;V 2+yfi 最简二次根式包含两
31、层意思：（1）被开方数中的因数是整数，因式是整式;（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式。同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫作同类二次根式，它可以合并。练习：+y4是不是最简二次根式?比较3及 与2J J的大小。比较i与 1V6-V5 V7-V6的 大 小（倒 数 法）厂I尸有 理 化 分 母 后 得V 2+V 34.在对二次根式进行化简和计算时，有时在题目已知条件中带有根号的项在分母上，用倒数法较简便。常用的互为有理化因式有：后 方 与yja+b；。土 与 午后：ajb c4d a4b+c4d练习：（1）若b =一 求 土+4的值。3-2V 2 3+2V 2 y x
32、基 础 知 识 之 二 一元一次方程1.关于x的方程2（x 1）。=0的根是3,则a的值是（）。解 方 程;（y +1）+；（y +2）=3-；（y +3）只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。2.等式的基本性质：（1）对 称 性（2）传 递 性（3）等式两边同时加减一个数或一个整式，或者同时乘除一个不为零的数，等式同样成立。依据等式的基本性质，我们可以对-元一次方程进行同解变形。移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程一边移到另一边，依据是等式的基本性质。练习：生丑=1 ；关 于x的方程二+。=一,一6）无2 3 3 2 6解，则a的值
33、是二元一次方程组1.7 的解是.一 x +y =5使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。x+y-7 3x-5y/4 x +5 y =1 32.b,那么b b 且 bc,那 么 ac,这个性质叫不等关系的传递性。（4）两边同时加减同一个数或整式，不等号不变向。（5）两边乘除同一个正数，不等号不变向；两边乘除同一个负数，不等号要变向。补 充（6）如果 ab,cb,cd,并且a、b、c、d 都是正数，那么acbd（8）如果ab,且 a、b 都是正数，那么（9）如果a b,a bc d 都是正数，那么 A；（10）如果a b，且 a、bc d都是正数，n
34、 是自然数，那么 A b （11）如果ab,且 a、b 都是正数，n 是大于1 的整数，那 么 我x+3 x A 93.解不等式组：2，并把它的解集在数轴上表示出来。4x-34 96-9x解一元一次不等式的步骤：去 分 母（后分子应加上括号）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。解一元一次不等式组时，先求出各个不等式的解集，然后按不等式组解集的四种类型所反映的规律，写出不等式组x Y a的解集：不等式组解集的确定方法，若a b，则 有（1）1 的解集是x Y bx a（2）的解集是X A b ，即“大大取大”（都是大于，则取大于大的x b一个）x a（3）的解集是“YxYb，即“大小小大取中
35、间”（大于小的一个,x b小于大的一个）（4）的解集是空集，即“大大小小取不了”（大于大的一个，小于b小的一个）4.若a b （或a x v b）（。0）的形式的解集：当 a 0 时，x （或 r Y2）；当 a 0 时，x（或.当 a=0a a a a时、若。NO,不等式无解（或为一切实数），若b a一元二次方程1 .方程/+6 x-1 1 =0的根是一元二次方程的一般形式为ax2+b x +c =0 （a、b、c是已知数，a W 0 ）,正确理解二次项系数、一次项系数、常数项的概念。2.解 方 程 （3x +2）2 =4 9 /+3%6=03x2+x -1 0 =0一元二次方程的四种解法：
36、（1）直接开平方法：形如（a x +b）2 =00）的方程，根据平方根的定义，可采用直接开平方法求解。（2）配方法:两边同除以二次项系数，移项，配 方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方），直接开平方。（3）公式法：将方程化为一般形式，确定a、b、c的数值，在a不等于零的情 况 下（如果a=0 ,则谈不上求根公式），对判 别 式 进 行 求 值（或化简），若判别式大于或等于零，代入求根公式x -b-4 a C-。（4）因式分解法；对于一边是零，另一边易于2a分解成两个一次因式的元二次方程，可采用因式分解法来解，-一 般步骤是：先将方程右边化为零，再把左边分解成两个一次因式的积，然后令每个因式
37、分别为零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解。3 .不解方程，判别方程工2+x +1 =0的根的情况。b2-4 a c叫做一元二次方程的根的判别式，当 A 0时，方程有两个不相等的实根；当 =（）时，方程有两个相等的实根；当AY0时，方程没有实根。4 .不解方程，判别方程/+2 x-4 =0的二根之和与二根之积。韦达定理：如果一元二次 方 程+b x +c =O（Q H O）的 两 根 为x2,m b c则 X +工？=-，X 1 2 =一a a可化为一元二次方程的分式方程X2 11 .方程=一的增根是X 1 X 1解分式方程，主要有两种方法：换元法和去分母法，体
38、现了由分式方程化为整式方程的思想。根据方程的特点选用适当的方法，切记验根步骤。（去分母后只要验根就可以了，不要与不等式两边同乘以一个负数，不等号要变 向 搞 混 了）练习：解 方 程%2+-3 x +-+4 =0 x 70 -x2.关于x的方程士-一竺一=机有实数根，求m的取值范围。（运用根的x%-1判别式，须使二次项系数不为零）由方程的增根、失根或无解的情况，求字母的值或取值范围，一般地，都是将原方程化为整式方程，再根据根的情况，解决相应问题。若有增根，将增根代入整式方程，求出字母的值，若无解，则方程有增根，同时要考虑化成的整式方程无实根。练习：若关于x的 方 程 竺 里 一1 =0有增根，
39、则a的值为x-1若关于X的 方 程 匕=竺+2无解，则m的值是x -3 x 3简单的二元二次方程组简单的二元二次方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，或由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次的方程组成的,一般可用代入法解。解方程组的基本思想是消元和降次，降次一般采用换元或因式分解，经常与根的判别式及韦达定理相结合。2.解方程组x+y=6孙=81 1 7I=x y 12xy 1 2根据方程组的特点，利用一元二次方程根与系数的关系求解。*1 4/-），2=0 片 +）,2 =1 3 1 j x +2 +J y-1 =5练习：4 ,i孙+4 =0 x +y =l x +y =1
40、 2X-X,X-X设方程组 ，求+和 必 乃-1=为 匹 x2的 值。基础知识之三 平面直角坐标系、函数概念1 .在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。若有两个变量X、y ,对 于 每 一 个X ,都有一个 唯 一 的y值和它对应，则 把X叫做自变量，y叫做因变量，也 称y是x的函数。取值始终不变的量叫常量。2 .已 知 点M（l-a,a+2）在第二象限，则a的取值范围是在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上的点的位置，因此，平面上两条原点重合，互相垂直且具有相同单位长度的数轴，构成了平面直角 坐 标 系（又叫笛卡儿直角坐标系）。注意横坐标、纵坐标、坐 标、象限的概 念，以及坐
41、标轴上的点不属于任何一个象限。3 .坐标平面内各象限点的特征、平行于两坐标轴的直线上点的坐标特点、关于对称点的坐标特征。4 .求自变量的取值范围：函 数 =三 中 自 变 量x的取值范围是x+1一次函数1.（1）y=x是不是一次函数？如 果 尸kx+b（k,b是常数，k/）,那 么y叫 做x的 一 次 函 数.特 别 地，当b=0时，一 次 函 数 产kx （常 数k M）也叫做正比例函数。（2）不 描 点 判 断），=3 x-4经过哪几个象限？正 比 例 函 数y=kx （常 数k#0）是 经 过 原 点（0,0）,（1,k）两点的一条直线。一次函数 y=kx+b（k,b 是常数，k#）是
42、经 过（0,b）,0）k两点的一条直线。一 次 函 数 尸kx+b（k,b是常数，k W）中k、b与直线位置之间的关系。当上0时，图像经过一、三象限，当女Y0时，图像经过二、四象限；当匕0时，图 像 交y轴 于 正 半 轴，当0Y0时，图 像 交y轴 于 负 半 轴。图 像 概 略 如F：2 .对 一 次 函 数%=k X +仇 与%=七X+。2 ，当1=%2时，月乃当 占 h 七，优=当 时，它 们 在y轴上有一个交点（0,b）,当kx k2,4=2时，两条直线重合。3 .已知：一条直线经过点A （0,4）、点B （2,0）,如图所示，将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、
43、点D ,使D B=D C ,求：以直线C D为图像的函数的解析式。用待定系数法确定一次函数的解析式，通常已知一点便可求出正比例函数的解析式，已知两点便可求出一次函数的解析式。练习：求直线y =-2 x-3与x轴和y轴的交点。反比例函数1.已知y是x的反比例函数，且当x=3忖，y=8 ,求y和x的函数关系式。一般地，函数 =七（%是 常 数，且女H 0）叫做反比例函数，反比例函数Xy =A中的8是一个分式，自变量X H 0 ,函 数 与X轴、y轴无交点，X Xy=A也可写成了=区-1伍*0）,注意自变量X的指数为一1 ,在解决X有关自变量指数问题时应特别注意系数女*0这一限制条件。2 .当k 0
44、时，图 像（双曲线）的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内分别是y随x的增大而减小；当k 0时，抛物线开口向上；当a 时，抛物线与y轴交于正半轴；当c 0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，顶点是它的最低点，当x =-二h 时，函数有最小值 4cic b；la 4a当a 0,则 抛 物 线 与x轴 交 于 两 点A (x”0),B (x2,0)注 意：X i ,x2是 方 程ax2+0X+C=0（Q N0,AA0）的 两 根。这两点间的距离AB=|x2-x =J(%2-x J=7(-1+2)2-4X,X24c _ VAa a（3）若 =（
45、）,则抛物线与x轴只有一个交点 一（,0）（4）若A Y 0 ,则抛物线与x轴没有交点。5.二次函数+bx+c（a、b、c为常数且a W 0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程a x?+bx+c=O的根。6.特别地当（1）a +b +c0时，抛物线与直线x=1的交点在x轴上方。（2）a +b +c =以2平 移_L个 单 位（一_ L 0时向右，反之向左），再|2a l 2a4ctc h2 4ac b2上下移动 个单位,0时向上，反之向下，得抛物线4a 4ay=ax2+以+c基础知识之四 平均数、众数、中位数1.某省7 万名学生参加初中毕业会考，想了解这7 万名学生的数学成绩,从中抽取
46、了 1000名考生的数学成绩进行分析，以下说法正确的是A .这 1000名考生是总体的一个样本：B .每位考生的数学成绩是个体；C.7 万名考生是总体；D .1000名考生是样本容量。在统计中，我们把所要考察的时象的全体叫做（总体），其中每一个考察对象叫做（个 体）,从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个（样本），样本中个体的数目叫作（样本容量）2.如 果 有 n 个数X,x2,X3,X4，xs.xn，那 么1X=（X +2 +X 3+X 4+X 5+.x“）叫 做 这 n个数的平均数。n（读做x拔）。当估计到给出的一组数据都在某一常数a的上下波动时，一 般 选 用 简 化 平 均 数 公 式
47、：x=x+a,其中-1 nx=Y ,x.=x,-a（i =1,2,3,.）。当所给一组数据中有多次重复出现的数据，常选用加权平均数公式。若 在 n个数中，x i 出现f|次，X 2出现今次，X k 出现fk 次，且rm-Xf-卜 *卜%!+，+Xk=9 贝4 X =-=-,这n-1 A个平均数叫做加权平均数,其中6,%f k叫做权。x=-Y xifi,总体中所有个体的平均数叫总体平均数，样本中所有个体的平均数叫样本平均数。（通常用样本平均数去估计总体平均数，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确）3.（1）在一组数据中，出现次数最多的数叫做这组数据的众数（一组数据的众数有时
48、有几个）。（2）将一组数据按照大小依次排列，把处在最中间的一个数据（或者最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。（3）平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数据的波动都会引起平均数的波动特别是一组数据中个别数据太高或太低时，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适；中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没有影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。方差与频率分布1.一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.如果代表总体，则叫总体方差，如果是样本，则叫样本方差.当 一 组 数 据 较 大 且 相 互 比 较 接 近，可使用简
49、化方差公式、1/,2.2,2、一 之52=-%1+x2+-+x -nx；当一组数据较小，较“整”n 11_ 2-时一般选用公式：S2=-(x,2+x22+-x 2)-n x 。方差的算术n 1平方根，叫做标准差.如果一组数据X”X2 Xn 的方差是S2,则一组新数据Xi+a ,x2+a .xn+a的方差仍是S?,而一组新数据a x】，a x2a x。的 方 差 是 a 2 s2,标准差是|S (a 是常数).比较两组数据的波动大小的前提是平均数相同或接近，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动性就越大，稳定性就越差.2 .频率分布应用问题：(1)当一组数据有n个数据时，频数之和=n,频率=频
50、数/n ,频率之和=1,各小长方形面积=相应各组的频率，各小长方形的面积之和=1,小长方形的高与频数成正比。(2)得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是：计算最大值与最小值的差；决定组距与组数；决定分点；列频率分布表；绘频率分布直方图。经常听老师说，如果规定向东为正，那么向西走5米就是一5米；如果规定向上为正，那么向下8米就是一8米；也许还有同学不太清楚，究竟哪里有负数呢？举个例子，你身上的钱用光了，你又急需要买文具，于是你向同学借了 5 元钱买了一支5 元钱的钢笔，问你身上现在有多少钱，也许你会回答，我身上一分钱也没有了啊，不对！再好好想想，哦，想起来