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1、普通高中课程标准实验教科书一 数 学 人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座30)一数列求和及数列实际问题一.课标要求：1 .探索并掌握一些基本地数列求前n项和地方法；2 .能在具体地问题情境中，发现数列地数列地通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应地实际问题.二.命题走向数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要地地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题地能力，它们都属于中、高档题目.有关命题趋势
2、：1 .数列是一种特殊地函数，而不等式则是深刻认识函数和数列地有效工具，三者地综合题是对基础和能力地双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考地重点；2 .数列推理题是将继续成为数列命题地一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生地逻辑思维能力，能区分学生思维地严谨性、灵敏程度、灵活程度；3 .数列与新地章节知识结合地特点有可能加强，如与解析几何地结合等；4 .有关数列地应用问题也一直备受关注.预测2 0 0 7年高考对本将地考察为：1 .可能为一道考察关于数列地推导能力或解决生产、生活中地实际问题地解答题；2 .也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系
3、地综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合.三.要点精讲1 .数列求通项与和(1)数列前n项和S”与通项a。地关系式：力 一.=1(2)求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列；累差叠加法.最基本地形式是：a n=(a n a n-i)+(a n-i+a n-2)+(a 2 a 1)+a i；归纳、猜想法.(3)数列前n项和重要公式：l+2+-+n=n(n+l)；2l2+22+,+n2=n(n+l)(2 n+l)；6l3+23+,+n3=(l +2+n)2=n2(n+1)2；4等差数列中，S m+产S m+S n+m n d；等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmS n；裂项求和
4、将数列地通项分成两个式子地代数和，即 a n=f(n+l)f(n),然后累加抵消掉中间地许多项，这种先裂后消地求和法叫裂项求和法.用裂项法求和，需要掌握一些常见地裂项，,1 I 1 x 1 1 1如：a=-=-(-)、-、n f !n(A +B)(A +C)C-B A n+B A n+C (+l)n n+l=(n+l)!n!Cn/CnrCn,r -5+1)!1/?!1等.(+1)!错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成地数列地前n项和，常用错项相消法.an=bn-cn,其 中 也 是 等 差 数 列，c“是 等 比 数 列，记5”=q+b2c2+.+bn_1cn_l+bncn,则q
5、S=b f2+也/的 以 并项求和把数列地某些项放在一起先求和，然后再求S n.数列求通项及和地方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.通项分解法：an=bn+cn2.递归数列数列地连续若干项满足地等量关系a n+k=f(a n+kr,%+L 2,a j 称为数列地递归关系.由递归关系及k 个初始值可以确定地一个数列叫做递归数列.如由a e=2 a n+l,及 山=1,确定地数列 2 -1 即为递归数列.递归数列地通项地求法一般说来有以下几种：(1)归纳、猜想、数学归纳法证明.(2)迭代法.(3)代换法.包括代数代换，对数代数，三角代数.(4)作新数列法.最常见地是作成等差数列或等比数列来解决
6、问题.四.典例解析题 型 1:裂项求和n 1例 1.已知数列上“为等差数列，且公差不为o,首项也不为o,求和：y解 析 1 n 1 1 1首先考虑京(丁惠)则点评：已知数列 4 为等差数列，且 公 差 不 为 0,首 项 也 不 为 0,下列求和n|n=i=i亚 也可用裂项求和法.d例 2.求l+L +1+2 1+2+3 1+2+3+4解析：1 +2+.+攵 k(0,a w l,数 列 4 是 首 项 为 a,公 比 也 为 a 地等比数列，令bn-an-1ga”(e N),求数列bn地前 n 项和 Sn.解析：an-d,bn=n-a Iga,/.Sn=(a+2a2+3a3+na)ga.aSn
7、=(a2+2/+3/+na+)1g a.-得：(1a)S=(+a2 H-an n/!+l)lga,S“=1-(1+n-nd)a.(1-a)点评：设数列 4 地等比数列，数列%,是等差数列，则数列。,化 地前项和5“求解，均可用错位相减法.题型3：倒序相加例 5.求 s“=3 c +6C；+3 y.解析：s=0 +3C；+6C；+-+3nC；.又 5=3 y +3(一 DC；+3&+0 d 所以 S”=3 2-.点评：S”表示从第一项依次到第n项地和，然后又将S”表示成第n项依次反序到第一项地和，将所得两式相加，由此得到S”地一种求和方法.例6.设数列 4 是公差为d,且首项为4 =地等差数列，
8、求和：S“+|=a()C：+qC：+a“C：解析：因为S用=+a“C：,S n+i =a.C；+4曰=a,C +a“_ C +%(；,2s.+i=(4 +a”)C；+(q+%)；+(a+a()C：=&+a“)(+C：+C；)=(4+a“)2 S“+i =(%+a”)2 I点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列 4 地前项和5“=(-1)2 +1,是否存在等差数列也 使 得%=用；+4 C；+C：对一切自然数n都成立.题型4：其他方法例 7.求数列 1,3+5,7+9+1 1,1 3+1 5+1 7+1 9,前 n 项和.解析:本题实质是求一个奇数列地和.在该数列地前n项中共有1 +2 +=
9、峋土2l +l +(-(n +1)-l)X 2 2/N个奇数，故 S“=亚2-2-9上2 2 4例 8.求数列1,3+-,32+-V.3 +-地各项地和.3 32 31 1 1 3向-1 1-3一 1解析：其和为(1+3+3n)+(-+)=-+-=-(3n+1-3 32 31 2 2 231).题型5：数列综合问题例 9.(2 0 0 6 年浙江卷)已知函数/(X)=x 3+x 2,数 列|X (X n 0)地第一项X 1=1,以后各项按如下方式取定：曲线y=/(x)在(x“+/(x 向)处地切线与经过(0,0)和(xn,f (xn)两点地直线平行(如图).求证：当 n e N*时：+xn=3
10、xn_,2+2 xn+l；(I I)(-)1 xn解析：(I)因为f(x)=3 f+2 x,所以曲线y=/(x)在(X,T)处地切线斜率加 =因为过(0,0)和(x,J(x,)两点地直线斜率是片+天，所以七+X =3 x；+i+2 x”+(I I)因为函数(x)=f+x当x()时单调递增，而 xn+X =3片+1+2 xn+1 +2 xn+1=(2 4+1 )2 +2 x+1X 所以山 即因 此 七,=工&Xn-Xn-2 X 2又 因 为 片+%2 2(匕+x向)，令=片+当，则 电X.2因为 y=片+%=2,所 以 (g)T%=(；广2.因此当 无：+毛 (5 -2,故(；)一七七弓 厂2.
11、点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列地通项与线段地长度、点地坐标建立起联系.例1 0.(2 0 0 6年辽宁卷)已知/)(x)=父，(x)=五 久 也,其 中 W Z e 乂),-i 设尸(x)=4(x 2)+C%(f)+.+c (x 2)+.+C ，),x -i.(I)写出人；(I I)证明：对 任 意 地 方，wT,l，恒 有|F(A1)-F(x2)|0时,尸(x)0,所以/(幻在 0,1 上为增函数.因函数F(x)为偶函数所以/(x)在-1,0 上为减函数，所以对任意地内,马 一 1,1|F()-F(x,)|.+(n-k+1)C：+2c7=n C l；+(一 DC；?+(一4+1)C
12、；T+2C：+C；(一Z+1)C；*=5 Q C l+C”=nC+Ck=1,2,3 n-1)F(l)-F(0)=(C3+B)+(C；+C.+C：-)+c；=n(2n-1-l)+2,-l=2n-(n +2)-n-l因此结论成立.证法2：当一 1 4 x 4 1时，尸(x)=/+(-1)2 2 5-2).+(一4+1)&炉(*)+.+2C；X2+1当x 0时，F(x)0,所以尸(x)在 0,1 上为增函数.因函数F(x)为偶函数所以尸(x)在-1,0 上为减函数所以对任意地石,9 w-1,1|F(A)-F(X,)|0时,k(x)0,所以尸(无)在 0,1 上为增函数.因为函数F(x)为偶函数所以尸
13、。)在-1,0 上为减函数.所以对任意地工，W G-1,1|F()-F(A2)|0,所以 b.猜测：当且仅当4 b,且 的=幺 心 时，每年年初鱼群地总量保持不变.C(III)若 b 地值使得x/0，nWN*由 x“+i=x”(3 b-x j n 6 N*,知 0 力,3 b,n 6 N*,特别地，有 0 a l 3 b.即 0 b 0.又因为 A+i =X k(2 一丸)=一(4 一1 尸+1 W 1 an.2 时，a”=an.|an.2 3)；当 an.|an.2 时，an=an.2 an.|3),即 a n地值要么比a i 至少小1,要么比a 2 至少小1.尽。2 )，.,令金=，n=l
14、,2,3).，则 0 CnWc i 1 (n=2,3,4.).由于a是确定地正整数，这样减少下去，必然存在某项c,O(n=l,2,3)矛盾.从而 an必有零项.若第一次出现地零项为第n项，记a。一 尸A (A#0),则自第n项开始，没三个相邻地an+3k-项周期地取值 0,A,A,即 1对任何正整数m、都成立分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由由、a?、a 3求出si、s2 S 3代入关系式,即求出A、B；第二问利用凡=s“一公式，推导得证数列 a j为等差数列.解 答:(1)由已知，得 S i=a i=l,S 2=a i+a 2=7,S 3=a i+a 2+a 3=1 8.由(5n8)S
15、 n+i(5n+2)S n=A n+B 知：35,-7S=A+B,A+B=28.又 a3-a2=a2-ai=5,所以数列 “为等差数列.方法2.由已知，Si=a=l,又(5n8)Sn+(5n+2)Sn=-20n-8,且 5n8W 0,所以数列 s 是 惟 一 确 定 的 因而数歹I1%是惟一确定地.设 b,=5n-4,则数列 勿 为等差数列，前 n 项和Tn=;3),十 日 (+1)(5/?+2)c、(5-3)_ _于是(5n-8)Tn+i-(5n+2)Tn=(5n-8)-(5 +2)-=20 8,2 2由惟一性得by a,即数列仅 为等差数列.(I I I)由(I I)可 知,an=l+5(
16、n-1)=5n-4.要证了 VXT-XA.t只要证 5amn 1 +aman+2/a a 因为 amn=5mn-4,an1a=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证 5(5mn-4)1 +25mn-20(m+n)+16+2yaman,因为 2 ja,a“am+an-5m+5n-8 5w+5n-8+(15m+15/?-29)=2Om+20n-37,所以命题得证.点评：本题主要考查了等差数列地有关知识，不等式地证明方法，考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等.五.思 维总结1.数列求和地常用方法(1)公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列地数列；(2
17、)裂项相消法：适用于J其中凡 是各项不为0 地等差数列，c 为常数;部分无理数列、含阶乘地数列等；(3)错位相减法：适用于。,也,其中 4“是等差数列，%“是各项不为0 地等比数列.(4)倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式地推导方法.(5)分组求和法(6)累加(乘)法等.2.常用结论，、白，(+1)(1)l+2+3+.+n=-4=12(2)2(2 左 一 1)=1+3+5+(2n-l)=2k=(3)*3=+2 3+.+/=+k=2n1(4)l2=l2+22+32+-+n2=(+1)(2 +1)M6_1n n+1(5)1n(n+1)pq q-p p q3.数学思想(pq)I 1(1 _1n
18、(n+2)2 n n+2(1)迭加累加(等差数列地通项公式地推导方法)则(2)迭乘累乘(等比数列地通项公式地推导方法)若3(3)逆序相加(等差数列求和公式地推导方法)；(4)错位相减(等比数列求和公式地推导方法).=g()(N2),则.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts,including text,pictures,and design.Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同
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