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1、 人教版九年级上册全书教案第二十一章二次根式教材内容1 .本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减：二次根式的乘除；最简二次根式.2 .本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章 反比例正函数、第十八章 勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理 解 石(a2 0)是一个非负数，(及)2=a(a O),VoT=a(a2 0).(3)掌握&J b s ab(a2 0,b2 0),4ah =y/a,-J b；y/a _ a7b(a2 0,b 0),l a _ s f a b
2、 4b(a2 0,b 0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算利化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情 感、
3、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1 .二次根式，？(a2 0)的内涵.a(a0)是一个非负数；()2=a(a5：0)；J=a(a 2 0)及其运用.2 .二次根式乘除法的规定及其运用.3 .最简二次根式的概念.4 .二次根式的加减运算.教学难点1.对&(aN O)是一个非负数的理解；对 等 式(T a)2=a(a0)及(a0)的理解及应用.2 .二次根式的乘法、除法的条件限制.3 .利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地
4、培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需1 1课时，具体分配如下:2 1.1二次根式 3课时2 1.2二次根式的乘法 3课时2 1.3二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用G（a0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1 .重点：形 如 （aN O）的式子叫做二次根式的概念；2 .难点与关键：利 用“J Z（a0）”解
5、决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问题1：已知反比例函数产巳，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标x是.问题2：如图，在直角三角形A B C中，A C=3,B C=1,Z C=90 ,那么A B边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即*=丫，所以X2=3.因为点在第一象限，所以X=J J,所以所求点的坐标（百，V3）.问题2：山勾股定理得A B=J I U问题3：由方差的概念得$=4二、探索新知很明显G、丽、?，都是一些正数的算术平方根
6、.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我 们 把 形 如&（a）0）的式子叫做二次根式，称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a 0）、XC、痣、-V 2 s !y l x+y（x 20,y 2 0）.x+y分析：二次根式应满足两个条件：第,有二次根号“、厂 ：第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：、万、4x（x 0）、e、-亚、y j x+y（x 20,y N O）；不是二次根式的有：密、正、一.x x+y例2.当x是多少时，病 二I在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等
7、于0,所以3x-l 20,J 3x 1才能有意义.1.W（a 2 0）是一个非负数;2.（y a）2=a （a 2 0）.教学目标理 解&（a 2 0）是一个非负数和（右）2=a（a o）,并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用 逻 辑 推 理 的 方 法 推 出&（a 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（&）2=a（a 0）；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1 .重点：y/a（a 2 0）是一个非负数；（、5）2=a （a O）及其运用.2.难点、关键：用 分 类 思 想 的 方 法 导 出（a 2 0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a （a 2
8、0）.教学过程一、复习引入（学生活动）口答1 .什 么 叫二次根式？2.当a 2 0 时，叫什么？当 a 0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（a 2 0）是一个非负数.做一做：根据算术平方根的意义填空：（V 4 ）2=；（V 2 尹=；（V 9 尹=；（也）2=；（R）2=-；（左）2=-；（屈）2=-老师点评：、后 是 4的算术平方根，根据算术平方根的意义，、”是一个平方等于4的非负数，因 此 有（V 4 ）2=4.同理可得：(V 2 )2=2,(V 9 )2=9,(G )2=3,(J-)2=-,(J-)2=2,(#)V3 3 V2 22=0,所以(4a)2
9、=a(a O)例 1计算分析：我们可以直接利用（&）2=a（a 2 0）的结论解题.解：(.)2=，(3 V5)2=32,(yf5)W?5=45,V2 2三、巩固练习计算下列各式的值:（V T s）2（J）2（V o）2(42(3 2一(5 扬2四、应用拓展例 2计算1.(V x+T)2(x0)2.(尹 3.(Va2+2a+l)24.(A/4X2-1 2X+9)2分析：(1)因为 x 2 0,所以 x+l0；(2)a2 0；(3)a2+2a+l=(a+1)2 0；(4)4X2-12X+9=(2X)2-2 2x 3+32=(2x-3)20.所以上面的4 题都可以运用（J Z）2=a（a0）的重要
10、结论解题.解：（1）因为x N O,所以x+l0（yjx+l）2=x+1(2)Va2 0,二(V?)2=a2(3)Va2+2a+l=(a+1)2又,:(a+1)2，0,；.a2+2a+1 0,；.4 a1+2a+=a2+2a+1(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2 2x-3+32=(2x-3)2又：(2x-3)204x2-12x+920,(V4x2-12x+9)2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3 (2)X4-4 2X2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1.4a(a 2 0)是一个非负数；2.(y/a)2=a (a 2 0);反之:a=(4a)2(a
11、 2 0).六、布置作业1 .教材P s复习巩固2.(1)、(2)P9 7.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题1 .下 列 各 式 中 后、扃、“2-1、荷+、2+2 0、J-1 4 4 ,二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.12 .数a没有算术平方根，则a的取值范围是().A.a 0 B.a 2 0 C.a /3 )(x-0)略2 1.1 二次根式(3)第三课时教学内容V?=a (a 2 0)教学目标理解J/=a (a N O)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探 究 疗=a (a 2 0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点
12、关键1 .重点：J =a(aO).2 .难点：探究结论.3 .关键：讲清a N O时，=2才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1.形 如&(a 2 0)的式子叫做二次根式；2.sfa(a 2 0)是一个非负数；3.(V o )2=a (a 2 0).那么，我们猜想当a0时，J户=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：V =；Jo.o r =；A/()*=；因此，一般地：|必=2(a0)例1化简(1)V 9 (2)J(-4(3)V 2 5 (4)了分析：因 为(I)9=-32,(2)(-4)2=4?,(3)2 5=5 2,(4)(-3)
13、2=32,所 以 都 可 运 用 必=2 (a 0)去化简.解：(1)V =A/=3(2)J(-4卢=V =4(3)V 2 5 =5(4)3 =3三、巩固练习教材P 7练习2.四、应用拓展例2填空：当a 2 0时，_ _ _ _ _；当a a,则 a 可以是什么数？分析：J/=a（a 2 0）,.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当 a/户=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a 0.解：（1）因为J/=a,所以a 2 0；（2）因为 J/=-a,所以 a a 所以a不存在；当 a a,即使-a a,a 0 综上，a 2,化-
14、J（X 2）2-J（1 _ 2X）2 .分析：（略）五、归纳小结本节课应掌握：J/=a（a 2 0）及其运用，同时理解当a /（-a）2 -4aC.7?7（-）2 7?=A/（-）2二、填空题1.-V o.0 0 0 4=_ _ _ _ _ _ _.2.若J 2 O 2 是一个正整数，则正整数m的最小值是.三、综合提高题1 .先化简再求值：当 a=9 时，求 a+J l 2 a +Y的值,甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式=a+J(l_ q)2 =a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+J(l_ a =a+(a-1)=2 a-l=1 7.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.2 .若|
15、1 9 9 5-a|+Ja-2 0 0 0 =a,求 a T 9 9 5 z 的值.(提示：先由a-2 0 0 0 2 0,判 断 1 9 9 5-a 的值是正数还是负数，去掉绝对值)3.若-3W x W 2 时，试化简|x-2|+J(X+3)2 +正-1 0 犬 +2 5。答案：一、1.C 2.A二、1.-0.0 2 2.5三、1.甲 甲 没 有 先 判 定 a是正数还是负数2 .由已知得 a-2 0 0 0 2 0,a 2 2 0 0 0所以 a-1 9 9 5+J 2 0 0 0 =a,y/a-2 000=1 9 9 5,a-2 0 0 0=1 9 9 52,所以 a T 9 9 5 2
16、=2 0 0 0.3.1 0-x21.2二次根式的乘除第一课时教学内容y/a 4b=4ab(a 2 0,b 2 0),反之/F=，i,4b(a)0,b 2 0)及其运用.教学目标理 解 ,y b y ah(a 0,b 2 0),y/ah =4 a ,4b(a 0,b N O),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导 出 五 =而(a 0,b 0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得 出 痴=6 4b(a 0,b 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键重点：y/a y/b=ab(a 2 0,b 2 0),ah =y j a -J b(a 2 0,b N O)及它们的运用.难点：发现规
17、律，导出6,4b ab(a 2 0,b 2 0).关 键：要 讲 清 族 (a O,b /9=-4 x 9 =；(2)V1 6 x V2 5 =,J1 6 x 2 5 =.(3)7100X736=，7100 x36=.参考上面的结果，用“、0,b 3 0)计算即可.解：(1)V5 x V7=V3 5(3)V9 X V 2 7=V 9X2 7=V 92X3=9 V3(1)V9 x l 6 (2)7 1 6 x 8 1 (3)7 8 1 x 1 0 0(4)9x2y2(5)V5 4分析：利 用 疯=夜 4b(a 2 0,b O)直接化简即可.解：(1)V9 x 1 6 =-/9 X V1 6 =3
18、 X 4=1 2(2)7 1 6 x 8 1=7 1 6 X 7 8 1=4 X 9=3 6(3)7 8 1 x 1 0 0=V H X V1 0 0=9 X 1 0=9 0(4)y)9x2y2=4 X 1 x2y2 X X =3 x y(5)V5 4 =9 x 6 =V?X V6 =3 V6三、巩固练习(1)计算(学生练习，老师点评)V1 6 X Vs 3 V6 X 2 V1 0 ,J ay(2)化简：V 2 0；V1 8;V 2 4；V5 4;“2 a2 b2教材P u练习全部四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)J(-4)x(-9)=口x(2)4 1|x V2
19、 5 =4 X 1|x V 2 5 =4|X 7 2 5=4 7 1 2=8 7 3解：(1)不正确.改正：7(-4)x(-9)=V4 9 =V?X V9 =2 X 3=6(2)不正确.改正:x V 2 5=J -X V 2 5=x 2 5=V H 2=V 1 6 7 =4 7 7五、归纳小结本节课应掌握：(1)4a,&-s ab=(a NO,b 2 0),4ab=4a,4b(a 2 0,b2 0)及其运用.六、布置作业1.课 本8 5 1,4,5,6.(1)(2).2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计、选择题1 .若直角三角形两条直角边的边长分别为J I?c m和
20、在cm,那么此直角三角形斜边 长 是().A.3y H em B.3百c m C.9 c m D.2 7 c m).A.J a B.C.-J a D.3 .等式JT T T GZ=J 7二！成立的条件是()A.xl B.x N T4 .F列各等式成立的是(C.T W x W l).D.x 2 1 或 xWTA.4A/5 X2A/5=8 V5 B.5百 X 4收=2 0后C.4也 X 3 6=7亚 D.5A/3 X4A/2=2 0 7 6二、填空题1.7 1 0 1 4=2.自由落体的公式为S=ggt2（g为重力加速度，它 的 值 为lOm/s?）,若物体下落的高度 为7 2 0 m,则下落的时
21、间是.三、综合提高题1 .一 个底面为30cmX 30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高 为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 2 0 cm,铁桶的底面边长是多少厘米？2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.验证:ISx3332-1388 3 +3；3(32-1)+3_ B-l),3 _V 32-1 -V 32-1 32-1 V 8通过上述探究你能猜测出:(a0)，并验证你的结论.答案：一、1.B 2.C 3.A 4.D二、1.13 V6 2.12s三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,贝4x2x 10=30X30X20,x2=30X30X2,
22、x=4 3 0 x 3 0 X y/2=3 0 V 2.21.2二次根式的乘除第二课时教学内容(a，0,b 0),反过来教学目标la _a(a 20,b 0)及利用它们进行计算和化简.理解y/a(a 20,b 0)和a _ sa(a 0,b 0)及利用它们进行运算.a利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点:理解(a 20,b 0),la _ y/aN厂存(a O,b 0)及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题：1
23、.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2.填空(4)(3)规律：4=V 1 61 6 V?3 623 68?3.利用计算器计算填空:7TV3.，*V5，(4)V7 _状=规律：a言E.V23 ；7 5区.V75 ：V 8叵.也4 1垂）7每组推荐一名学生上台阐述运算结果.（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到:一般地,对二次根式的除法规定:4a一(a20,b0),h反过来,厂访（a。，b0）卜面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例 1.计算：（1）十（2）分析：上面4小题利用而4aK（a 20,b 0）便可直接得出答案.
24、解：V 1 2_ 1 2 _ n正=什=2后8 V 2 8x 8 =J3 x 4 =8 X =2y/3分析：直接利用(4)5x1 6 9 y 2巴=%(a 0,b 0)就可以达到化简之目的.b 4b解:三、巩固练习教材P 14练 习I.四、应用拓展例3.已知宁二，且X为偶数，求(1+X)7x 6x2 5x +4 ,.5-的值.x2-l分析：式子1聆只有心。，b。时才能成立.因此得到9-x 2 0且x-60,即6x W 9,又因为x为偶数，所以x=8.解：由题意得9-x 0,即4x-6 0 x6.6 0)喊呼（aO,b 0）及其运用六、布置作业1.教材 P i 5 习题 2 1.2 2、7、8、
25、9.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题1.计算旧+旧+同的结果是().2/7 2 rr V2A.-V 5 B.-C.V 2 D.7 7 72.阅读下列运算过程：1 G 6 2 275 275V3-73x73 3 V5-75x75-5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简：2 的结果是).A.2 B.6 C.-V 6 D.V 63二、填空题1 .分母有理化：(1)7=；(2)3=;(3)少=3V2 V12 2V52 .已知x=3,y=4,z=5,那么J五+新 的 最 后 结 果 是.三、综合提高题1.有一种房梁的截面积是 个矩形，且
26、矩形的长与宽之比为百：1,现用直径为其中错误的有（）.A.3个 B.2 个 C.1 个 D.0个二、填空题1 .在 次、-V 7 5o ,乙回、V 1 2 5.26/、3屈、-2、口 中,与 技 是 同3 3 a V8类二次根式的有.2 .计 算二次根式5 G-3 -7&+9的 最 后 结 果 是.三、综合提高题1.已 知 道 弋 2.2 3 6,求（胸-旧）-（拈.）的值.（结果精确到0.0 1）2.先化简，再求值.答案：一 1.C 2.A二、1.-y/1 5a 2,3/2.64b-2 4a3 a三、1.原式二 4 -y f s y/5 y f 5 /s=y 5 X 2.2 3 6g0.4
27、52.y xy+3y xy -d y/xy +6y f xy)=C 6+3-4-6)-J x y =xy当 x=3,y=2 7 忖，原式=-、3X27=-2 啦2 V2 22 1.3二次根式的加减（2）第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并
28、，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例 1.如图所示的R t A B C 中，Z B=9 0 ,点 P从点B开始沿B A 边 以 1 厘米/秒的速度向点A移动；同时，点 Q也从点B开始沿B C 边以2 厘米/秒的速度向点C移 动.几 秒后 的 面 积 为 3 5 平方厘米？P Q 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）A P分析：设 x 秒后a P E Q 的面积为3 5 平方厘米，那么P B=x,B Q=2 x,根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设 x后P B Q 的面积为3 5 平方厘米.则有 P B=x,B Q=2 x依题意，得:x 2 x=3 52X2=35X=V35
29、所 以 后 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘米.P Q=y l P B2+BQ2=V x2+4 x2=V s%7=J5 x 3 5 =5 5答：后 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘米，P Q 的距离为5 5 厘米.例 2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1 m）?分析：此框架是由A B、B C、B D、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.解：山勾股定理，得A B=J AD2+BD2=V 42+22=a=2 后B O BD2+CD2=A/22+12=V 5所需钢材长度为A B+B C+A C+B I)=2 -/5+V 5 +5+2=3 5/
30、5+7 3 X 2.2 4+7=1 3.7 （m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要1 3.7 m 的钢材.三、巩固练习教材P19练习3四、应用拓展例 3.若最简根式3。田4 a+3 匕与根式，2”从 一/+6/是同类二次根式，求 a、b 的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上,根 式1 2 ab2 -及+6廿不 是 最 简 二 次 根 式，因 此 把 l 2 ab2+6b2化 筒 成b,1 2 a-b +6，才由同类二次根式的定义得3 a-b=2,2 a-b+6=4 a+3 b.解：首先把根式而+6
31、从 化为最简二次根式:!l ab2-by+6b2=y b2(2 a-1 +6)=Ib i 4 2 a-b +6由题意得4 a+3 b=2 a-b+63a-b=22。+4 b=6 3a-b=2；.a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业1 .教 材 为 习 题 2 1.3 7.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练作业设计一、选择题1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二次根式）A.5 7 2 B.V 5 0 C.2 7 5 1）.以上都不对2.小明想自己钉一个长与宽分别为3 0 c m
32、 和 2 0 c m 的长方形的木框，为了增加其稳定性,他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.137100 B.71300 C.10V13 D.55/13二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，己知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1 6 0 0 0?,鱼塘的宽是 m.（结果用最简二次根式）2 .已知等腰直角三角形的直角边的边长为、历，那么这个等腰直角三角形的周长是.（结果用最简二次根式）三、综合提高题1.若最简二次根式一J3正 二 与 M 必 府 二10是同类二次根式，求m、n的值.32 .同学们，我们以前学过完全平方公式a 2 2 a b+b?=（a
33、 土b）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（V3）2.5=（右）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（V2-1）2=（V 2 ）2-2 1 V 2 +12=2-2 V 2 +1=3-2 V 2反之，3-2A/2=2-2A/2+1=（V2-1）23_2 V 2 =（5/2 _1）2A 7 3-2 7 2 =V2-1求：43+2及；(2)4 +2 6 ；（3）你 会 算 在 二 吗？（4）若yja2&=V n ,则 m、n与 a、b 的关系是什么？并说明理由.答案：一、1.A 2.C二、1.2 0A/2 2.2+2 0
34、三、1 .依 题 意，得3/-2 =4 加2 1 0/_1=2m=2 /2n=g所以m=2 V 2n=V Jm=-2 V 2或J1 二百m=2 /2或 Ln=-V 3m=-2A/2n=-A/3或2.(1)5/3 +2 V 2 =7(V 2+1)2=V 2 +1(2)J4 +2G=J(百+1)2 二百+1(3)7 4-7 1 2 =7 4-2 7 3 =7(3-I)2=V 3 -1 I +=Q 1-f(4)理由：两边平方得a 2 Jb=m+n 2/n=h所以a=m+nb=mn2 1.3二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多
35、项式相乘、相除；乘法公式的应用.教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题：1 .计算(1)(2 x+y)z x (2)(2 x2y+3 x y2)4-x y2 .计算(1)(2 x+3 y)(2 x-3 y)(2)(2 x+l)2+(2 x T)2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X 单项式;(2)单项式X 多项
36、式；(3)多项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.例 L计算：(1)(V 6 +V 8 )X y/3(2)(4 /6 -3 V 2 )4-2 5/2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(V 6 +V s )x V 3 -x y/3+V s x V 3-V i 8 +J2 4 =3 5/2 +2 V 6解
37、：(4A/6 _3A/2)-r 2 V 2 =4 V 6 4-2 5/2 _3 5/2 4-2 V 2=26-32例 2.计算(1)(V 5+6)(3-V 5 )(2)(V 1 0+V 7 )(V 1 0-V 7 )分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(V 5+6)(3-V 5 )=3 亚-(V 5 )2+1 8-6 6=1 3-3 后(2)(V 1 0+V 7 )(V 1 0-V 7 )=(V 1 0 )-(V 7 )2=1 0-7=3三、巩固练习课本P2 0 练 习 1、2.四、应用拓展Y h X n例 3.已知二-土 里，其中a、b 是实
38、数，月.a+bW O,a b一的 J x+l Jx +1 +竹七宿化简,/-r=+，/-7=,并求值.v x +l 4-V X V X +1 -J X分析：由 于(J 77T+4)(4T T-4)=i,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可.解:用式_(x+l-4)1 2_+_(1x+l+)，_ _ _ _ _ _1.(-+)2 的计算结果(用最简根式表示)是2 22.(1-2 百)(1+2 /3 )-(2A/3-1)2 的计算结果(用最简二次根式表示)是3.若 x=V5T,贝 lj x?+2 x+l n _.(V X 4-1+V
39、%)(V X 4-1 -/x)(V X 4-1-A/X)(V X+1 +5/%)(V X 4-1 Vx)+(V X+1 +y/xY(x+l)-x (x+l)-x=(x+1)+x-2 y/x(x+1)+x+2 6(x+1)=4 x+2.x-b x-a.-二L-a bA b (x-b)=2 a b-a (x-a)/.bx-b2=2 a b-a x+a2/.(a+b)x=a2+2 a b+b2/.(a+b)x=(a+b)2a+b W O/.x =a+b,原式=4 x+2=4 (a+b)+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1 .教材P 2 1 习题2 1.3 1、8、
40、9.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练作业设计一、选择题1 .(后-3 岳+2 1X&的 值 是().A./3 3-/30 B.3/30 _ V33 3C.2 7 3 0-V3 D.V3-V303 32 .计 算(4 +J x-l )(y f x-y/x-l)的 值 是().A.2 B.3 C.4 D.1二、填空题4.已知 a=3+2收，b=3-2啦，贝lj a?b-a b2=三、综合提高题1.化简Vio+Vi4+Vi5+Vn 1 ,qX+l+JV+x X2.当 x=-T时，求-=+-V2-1 x+1 -W+x x+i-J 二 的值.(结果用最简二次根式表示)课外知识1 .同类二
41、次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是().A.岳与而 B.J%/与J l*C.与a i D.dm +n 与 Y m +n2 .互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)-a2-b2,同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+l-，？+2 x与x+l+/x2+2x就是互为有理化因式;y x 与 j=y/x也是互为有理化因式.练习：行+百的有理化因式是x-7 7的 有 理 化 因 式 是.-7 7+1-7 4的
42、 有 理 化 因 式 是.3 .分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.练习：把下列各式的分母有理化(1)1 V2(2)-f=；(3)j=-产；1 +2V3 V6-V2(4)+4&3 G 4 0答案：一、1.A 2.D二、1.1-2.40-24 3.2 4.4也2-，占#Vs+币二、式一1二+夜 屿+百6+百7 7_ _ 垂 +用_ 1V 2(V 5+V 7)+V 3(V 5+V 7)V 2 +V 3=-(V 2-V 3 )=V 3-V 2r,访小(x +1 +J x+x)+(x +1 y j x2+X)2.以式=-7=-(x +1)
43、2-(V x +x)22(x +1)+(r +x)x 2 2(x +l)(x +1 +x)x+1 x+l2 (2 x+l)V x=-U =V2+1 原式=2 (2啦+3)=4 0+6.V 2-1二次根式复习课教学目标1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子;2 .熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1 .请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下
44、才成立的，主要应用于化简二次根式.2 .二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除，先写成分式形式，即、6+、回=得，再运用二次根式的除法法则进行计算，计算,计算结果要把分母有理化.3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：a =(、A)2(a)0)；(2)|a|=7?.4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：诉2 =a(a 0)与a =(6)00)；(2)-7 a b =V a *Q(a)O,b 3 0)与6*而=V (a)0,bO)；。=8箱0,0)与今屈 0,b
45、0).例如，化简(7，可以用3种方法：直接约分为富分母有理化M 品=；(3)看作二次根式的除法 =后.5 .J更不一定能化成(、扃2.当a0时，如(石)2 =/=(石)2,(而)2=T o7=(T o)2,此时，7?=(、6)2；当2 0,即x4 3；要 使 斤 5 有意义，必须x-2 0,即x2.所以使式子以-x+、/x-2 有意义的播为24K3.(2)因为1 -JF=当x=1 时，l-|x|=0,原式没有意义,所以当xW l时,式子有意义.1 -(3)因为使F有意义的x值为x 0,使J-2 x有意义的都值为x 4 0,所以使、i+J-2 x有意义的统.为x=0.(4)因为使正较有意义的x取
46、值为x+2 0,即x -2,而分母3 x 0,即x卢0,所以 使 式 子 写 2有意义的x取值为3 xxN-2 且 xW0.例2已知m,n 为实数，且满足m =+A 求6 m-3 n 的值.分析：先根据已知条件求出m 与n 的值，冉求多项式6 m-3 n 的值.二次根式后二？与、炉不有意义的条件分别是:？一 9?0 及9 一 一 0,从中求得n 的值，从而确定m的值.解因为舟-920,9-2 0,且n-3=0,所以r?=9且nW 3,所以J n2-9 +V 9-n2+4 4 2n =-3,m =-=-，n -3 -6 36 m-3 n =6 X(-|)-3(-3)=5.指出：例1 和例2 主要
47、复习二次根式的意义，即当a?0 时，二次根式、益有意义.例34白 R-4 a +4 J 3-a 1计 算 心-4 a +3 TT+7T 7分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a0和l-a0.解 因为l-a0,3-a2 0,所以a 0),|-a(a 0及b0 (a 0,b0),因此在运用这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的.例4已 知 二 号 方 求问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？下面我们来运用这些概念来
48、解决一些问题.例 1.如图，如果把钟表的指针看做三角形O A B,它 绕 0点按顺 及时针方向旋转得到A O E F,在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？、（2）经过旋转，点 A、B分别移动到什么位置？解：（1）旋转中心是0,Z A O E,N B O F 等都是旋转角.（2）经过旋转，点 A和点B分别移动到点E和点F的位置.例 2.（学生活动）如图，四边形A B C D、四边形E F G H 都是边长为1 的正方形.（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角.4 A n（3）指出，经过旋转，点 A、B、C、D分别移到什么位置？FY（
49、老师点评）4（1）可以看做是由正方形A BC D 的基本图案通过旋转而得到 G的.（2）画图略.（3）点 A、点 B、点 C、点 D 移到的位置是点E、点 F、点 G、点 H.最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯的.三、巩固练习教材P 6 5 练 习 1、2、3.四、应用拓展例 3.两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为,，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理山.分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形
50、重叠部分面积不变,只要说明SAOEE=SAODD，那么只要说明O E F O D D,.解：面积不变.理由：设任转一角度，如图所示.|M在 R t a O D D 和 R t a O E E 中：尸可Z O D DZ=Z 0 E E,=9 0 AE /D O D =N E 0 E =9 0 -Z BO E JO D=O D.O D D O E E/SAODD、=SAOEE、e S 四边彩OE,BD=S,15影OEBD=74五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：1 .旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2 .旋转的对应点及其它们的应用.六、布置作业1 .教材P66复习巩固1、2、3.2 .