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1、基于Matlab的复摆混沌行为研究摘 要自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。Matlab是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而Matlab在这方面便可展示其强大的潜能。本论文利用了Matlab软件研究经典的混沌现象的特征，并
2、且对混沌的特点以及形成过程进行模拟分析研究；并用Matlab模拟了复摆运动行为及混沌现象，对不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐由倍周期分岔走向混沌。关键词：混沌，Matlab，复摆，倍周期分岔，奇怪吸引子THE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLABABSTRACTThere are many disorders, non-equilibrium, random complex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems,
3、 it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after the revoluti
4、on in physics, Chaos has always been of academic attention.Matlab is a suitable for scientific computing, engineering design, numerical analysis of the various fields of computing, calculation and simulation analysis of high-quality mathematical software.Chaos theory study nonlinear system which is
5、difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and Matlab will demonstrate its strong potential in this respect. In this thesis, a Matlab software for classical chaos characteristics, and the chaos of the characteristics and formation process of simulation studies; a
6、nd use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from period-dou-bling bifurcation to chaos.KEY WORDS: Chaos, Matlab,
7、compound pendulum,bifurcation,strange attractor目 录前 言11.2.4 M文件及程序调试21.4 本章小结5第二章 混沌行为与特性52.1 混沌理论52.1.1 简单的数学游戏62.1.2 “蝴蝶效应”72.2 用Matlab演示混沌的基本性质82.2.1 用Matlab产生标准的混沌信号82.2.2 倍周期分岔通向混沌之路92.2.3 初值敏感性122.3 本章小结13第三章 用Matlab模拟复摆振动中的混沌行为133.1 复摆运动模型与振动方程143.2 复摆运动状态的模拟研究153.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动153.2.2 无驱动力
8、有阻尼的复摆运动173.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动193.3 本章小结25结 论27参考文献28致 谢292828前 言自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复
9、摆在驱动力矩及阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周期分岔逐渐进入到混沌运动状态。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。Matlab是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件，具有很高的编程效率，在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领域中得到广泛应用。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而Matlab在这方面便可展示其强大的潜能。
10、本论文第一章对Matlab进行了简单介绍，并且详细介绍了Matlab的基本功能及在物理中的简单应用，第二章从简单的数学游戏和“蝴蝶效应”入手，说明了混沌运动主要特征及性质，并且用Matlab来演示其特性。第三章从复摆的运动方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过程。3、用Matlab的ODE命令求解常微分方程，Matlab解常微分方程组的能力很强而且很方便，对于我们在普通物理学中遇到的大多数动力学方程都可以用命ode45求解3。Matlab只能解一阶的常微分方程组，高阶的常微分方程需要转化成一阶方程组才能求解。对于二阶常微分方程，首先需要化成显式形式，然后令，则二
11、阶常微分方程化为两个一阶常微分方程组成的方程组，从而使问题得到解决。(1-1)下一节我们将举例说明如何用命令ode45求解常微分方程。1.2.4 M文件及程序调试由Matlab语句构成的程序文件称为M文件，它以m作为文件的扩展名。M文件可分为两种：一种是主程序文件(Script File)，是由用户为解决特定的问题而编制的；另一种是子程序文件(Function File)，它必须由其它M文件来调用，函数文件往往具有一定的通用性，并且可以进行递归调用。1、主程序文件的格式特征如下：(1)用clear，close all等语句开始，清除工作空间原有的变量和图形，以避免其它以执行程序残留数据对本程序
12、的影响；(2)如果文件中有全局变量，即在子程序中与主程序的变量，应在程序的起始部分注明；(3)整个程序应按Matlab标示符的要求起文件名，并加上后缀m。2、子程序文件的格式特征如下：(1)由Function起头，后跟的函数名必须与文件名相同；(2)由输入输出变量，可进行变量传递；(3)除非用global声明，程序中的变量均为局部变量，运行后不保存在工作空间中。 3、质点在万有引力作用下的运动以万有引力的固定不动的施力质点所在位置为坐标原点, 建立直角坐标系，质点的运动微分方程为，分量方程为：(1-4)这两个方程都是二阶常微分方程，定义解矢量为，令 (1-5)可将方程组(1-4)化为： (1-
13、6)(1)编写微分方程组函数文件yxlcfun.m： function ydot=yxlcfun(t,y,flag,p) %函数首行,p为参量Gm0ydot=y(2); p*y(1)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; y(4); p*y(3)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; %建立微分方程组(2)解微分方程的主程序yxlc.m： p=-1; %取Gm0=1 y0=-10 0.2 6 0.2;-25 0.5 5 0;-25 0.8 6 0; %三组不同初始条件 plot(0,0, *r) %画出O点 for i=1:3 %分别以不同初始条件解3次方程 t,y=ode45
14、(yxlcfun,0:0.1:300,y0(i,:), ,p); hold on axis(-25 25 -20 20); %指定坐标范围 comet(y(:,1),y(:,3) %绘出质点运动轨迹(x,y) end %结束循环 解出的结果如图1-7所示：图1-7 万有引力场中质点运动轨迹 由上面例子，我们初步了解了Matlab解常微分方程的一般过程，首先是建立微分方程函数文件，文件的格式如下： fuction ydot=filename(t,y,p1,p2) %t,y是积分区间和解矩阵p1,p2是参数ydot=关于t,y的表达式; %ydot表示dy/dt下面介绍ode45命令的用法，ode
15、45的一般调用格式为：T,Y=ode45(fun,tspan,y0,options,p1,p2,) 其中含义如下表： 表1-6 ode45命令含义Fun求解的微分方程函数名Tspan单调递增（减）的积分区间t0:tstep:tfinaly0初始条件矢量Options用odeset建立的优化选项，一般用默认值，为空矢量“ ”p1,p2传递给fun函数的参数T,YT是输出的时间列矢量，矩阵Y的每一个列矢量是解的一个分量各个项在命令中的位置和顺序不能颠倒，否则程序就会出错。1.4 本章小结本章首先对Matlab进行了简单介绍，介绍了Matlab的发展及应用前景， 然后详细介绍了基本运算功能，基本绘图
16、功能，数值分析功能，并且简单介绍了M文件的编写及Matlab的程序调试。由于Matlab是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件，所以为了加深对Matlab的基本功能的理解，在本章第三节我们列举了几个简单的应用。 例1等量异号点电荷的电势分布，应用了Matlab三维网格作图命令mesh(x,y,z)和基本函数数值运算功能。例2光栅衍射，应用了Matlab的基本运算功能，基本绘图功能，数值分析功能。例3质点在万有引力作用下的运动，应用了Matlab的基本运算功能，基本绘图功能，在一个窗口下绘制多条图形，并且利用Matlab的ode45命令求解常微
17、分方程，最后总结了Matlab的ode45命令解常微分方程的一般过程。第二章 混沌行为与特性2.1 混沌理论在现代物理的研究中，混沌理论的建立可能称得上是最重要的成就之一。混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。经典物理的确定论和近代量子物理的随机论，虽然都非常成功地解决了许多自然现象，但是这两种理论之间似乎存在着对立的矛盾，只适宜于不同的领域。在宏观领域似乎只应用经典物理理论，而在微观领域中更多是使用量子力学、统计物理的随机性理论。按照确定性理论，物体运动以后在任何时间状态只是一个点，而按照随机性理论，物体的状态不是点，而是由点组成的点云，点云
18、的密度就表示物体出现这种状态的概率大小。随着物理理论的深人研究，人们发现在传统的确定性理论领域中，一定的条件下也可以出现一定的随机性现象。这种随机性又不同于传统的随机性理论研究的随机性问题，因为它又有一定的确定性。这种现象的发现和解决从而诞生了混沌理论。在经典物理中，物体的状态变化规律都是用非线性方程来描述的，只要给出一定初始条件，就可以解出这个非线性方程的解，事实上，如果对这些非线性方程进一步研究，就会发现，初始条件的变化，可以使这些本来是确定性的解出现随机性。2.1.1 简单的数学游戏(1)令，如果是利用二进制，按Modell（去掉整数，只留小数的操作）进行迭代21，我们来看看其结果如何。
19、取= 0. 1000100100111001=0.000100100111001=0.00100100111001=0.0100100111001=0也就是说，其结果最终趋向于零，或者说是趋向于一个点，一般我们把这个点叫“汇”。而如果取=0.1000100100111001100010010011100110001如此循环下去，我们就会发现，其结果应该有16种稳定的点，我们叫“稳定极限环”。和虽然在数学上可以说是非常接近，只存在微小的不同，但是其计算的结果却完全不同。这就说明，微小的初始条件的变化，可能引起不同的结果，这就是初始条件的敏感性。(2)令。如果取=2，=0.2，则=0.32，=0.
20、4352，=0.4912092，=0.49999996，=0.5，也就是其结果最终趋向于点=0. 50。如果取=3.3，=0.4，则=0.792,=0.48016405，=0.823701565。如果继续迭代下去，其结果仍然是在和上循环，这就是说，其迭代的结果可能是两个，我们就叫“分岔”，像这样有两个结果的就叫“二周期”。如果取=3.53，=0.2，则=0. 5648，=0.507521713，=0.88230286，= 0.366578214, =0.819661059。如果继续迭代下去，就是进行这四数字的循环，像这样的结果就叫“四周期”。如果取=3. 9，那么我们就会发现其结果是无周期的，
21、或者说是有无数的点，也就是进人完全随机状态，我们就叫“混沌”（chaos）。2.1.2 “蝴蝶效应”美国的著名气象学家Edward Lorenz从旋转的木桶实验21，总结出包括12个方程的方程组，建立了一个仿真的气象模型，他认为尽管气象变化万千，但总是遵循经典的物理定律，只要知道一定的初始条件，那么利用这些方程总是可以把结果算出来的。这就是说按照传统的确定性理论，他就可以确定将来的气象变化的规律和任何时间的气象状态。这里需要说明的是，一般传统的科学家都认为，任何量的测量和获得都不可能是完全精确的，都有一定的近似，所以在进行计算的时候一般都采用一定的近似。因为他们认为，极小的影响和变化、差别是可
22、以忽略不计的，事物运动之中都具有一定的收敛性，极小的差别不会引起大的影响。Lorenz在利用计算机进行计算的时候，一次，为了省时，他就把上次计算打印结果当作初始值输人了，然而，当他一小时以后回来的时候突然发现其结果却偏差极大。开始他以为是计算机出了问题，后来经过仔细的研究，发现是由于初始值的微小差别导致其结果的极大偏差。因为那时候的计算机还很简单，存储只是6位，但是打印出来的只是3位，例如输入0. 532001，只能打印出来0.532，当时他认为这是极小差别，不会引起大的变化。但他的方程对这些微小的不同却是极其敏感的，他把这种现象叫作“蝴蝶效应”。意思就是：巴西的蝴蝶抖动一下翅膀，就可能在德克
23、萨斯引起一场风暴。蝴蝶效应说明了初始条件的重要性，也说明了科学的严谨。任何随意的忽略，都可能导致严重的后果。也正由此导致后来“混沌”理论的诞生。2.2 用Matlab演示混沌的基本性质在自然界中，绝大部分运动都是混沌运动，规则运动只在局部的范围和较短的时间内存在。从简单的数学游戏入手，我们了解了混沌运动的产生，通过对“蝴蝶效应”的介绍，我们了解了混沌运动的主要特征及性质。在各种软件中，Matlab是非常适合混沌的演示和仿真实验的。本节将对如何使用Matlab来演示混沌运动特征及性质进行研究。2.2.1 用Matlab产生标准的混沌信号1963年，美国气象学家洛伦兹在大气科学杂志上发表了著名的论
24、文确定性的非周期流，文中指出：三阶非线性自治系统中可能会出现混沌解12。洛伦兹提出了一个简化的天气预报模型，这就是著名的洛伦兹方程组：(2-1)这个简化模型是一个完全确定的方程组。然而，当方程组的三个参数取某些值时(比较常用的是=10,=28,=8/3)，方程组出现了混沌解。这是在耗散系统中，一个确定的方程能导出混沌解的第一个实例，它标志着混沌学的涎生。在Matlab中，可以用如下程序lorenz.m产生洛沦兹信号，在对混沌信号的演示和处理中，洛沦兹信号是最常用到的标准混沌信号。混沌系统存在混沌吸引子，洛沦兹吸引子就是著名的蝶形图。如图2-1所示。(1)洛伦兹函数程序：function dy=
25、lorenz(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=10*(-y(1)+y(2); dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3); dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3;(2)给定参数作图程序：t,y=ode45(lorenz,0 30,12,2,9);plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)view(20,42);图2-1 洛沦兹信号的吸引子2.2.2 倍周期分岔通向混沌之路倍周期分岔是许多非线性动力学过程中常见的现象，也是进人混沌的一种重要方式12。可以用描述虫日模型的Logistic方程来演示一个动力学系统是如何通过倍周期分岔从规则运动进
26、人混沌运动的。Logistic差分方程为，初值的取值范围为(0,1)，的取值范围为1,4。由Logistic方程描述的系统的最终状态取决于值，在由1变化到4的过程中，该系统通过不断的倍周期分岔从规则运动进人混沌。可以用下面的程序来演示这一过程：x(1)=0.9; %迭代初值hold on; %将计算结果显示在同一幅图上for lamda=2:0.002:3.8 %的取值范围和步长for i=1:10000x(i+1)=lamda*x(i)*(1-x(i); %Logistic方程if (i+1)9800 %舍弃不稳定的初始值plot(lamda,x(i+1);endendend 程序的运行结果
27、如图2-2：由图2-2可以看出在3以后，系统开始进入周期状态，开始周期为2，随着值的变大，不断发生倍周期分岔。并且，倍周期分岔发生的越来越快，周期越来越大，最终进入了周期无限长的混沌状态。图2-2倍周期分岔我们可以接着用下面的程序来演示取不同值时，Logistic方程所确定系统状态的演化过程。lamda=3. 3; %设定入值x(1)=0.9; %迭代初值for i=1:50 %设定迭代次数x( i+l )=lamda*x(i)*(1-x(i) ) ;endplot(x) %显示计算结果(a)(b)(c)图2-3取不同值时，系统的演化过程系统状态的演化过程如图2-3(a),(b),(c)三幅图
28、对应的值分别为2.8,3.3和3.8。在值为2.8时，系统经过开始的振荡后收敛于一定值。而当值为3.3时，系统经过开始的不稳定阶段后，趋于稳定的振荡，在两个定位之间来回跳越，进人了周期为2的轨道。在为3.8时，系统已进人混沌状态，不再有稳定的周期。我们还可以取更多的值，以演示该系统周期变为4、8、16的倍周期过程。2.2.3 初值敏感性描述混沌动力系统的微分方程、差分方程或迭代方程都是确定性方程，没有概率性的因素。从数学上讲，确定性方程对于确定的初始值，由动力系统就可以推知系统的长期行为甚至追溯过去。但是，在混沌动力系统中，如果精确地从同一点出发，得到的仍是同一条确定的轨道。然而，只要初始条件
29、有无论多么微小的改变，其后的运动轨迹就会失之毫厘，差之千里。因此，混沌系统具有极强的初值敏感性。从现象上看，这种过程好像是随机的。这种“假随机性”与方程中有反映外界干扰的随机项或随机系数而引起的随机性不同，是确定性系统内部所固有的内在随机性。混沌信号的最重要、最显著的个特点就是初值敏感性。图2-4 两条取不同初值的洛沦兹信号轨迹我们可以用程序lorenz.m所产生的洛沦兹信号来演示初值敏感性。将程序lorenz.m中的初始值x先后设为10和10.01，y和z不变，这两组初始值只有x有极小的差值。由于要演示初值敏感性，还需要将由两组初始值计算出来的任一轴上的两条轨迹放在一起显示。源程序如下：t,
30、y=ode45(lorenz,0 15,10,2,9);plot(t,y(:,1),-k);hold ont,y1=ode45(lorenz,0 15,10.01,2,9);plot(t,y1(:,1),:k);由图2-4可以看出，两条曲线在开始一段看上去还是重合的，但是到了8点以后，两条几乎由同一点出发的曲线开始逐步分离了，这就是混沌信号初值敏感性的体现。2.3 本章小结本章从简单的数学游戏入手，给我们说明了混沌运动的产生，并结合对“蝴蝶效应”的介绍，使我们了解了混沌运动的主要特征及性质。在各种软件中，Matlab是非常适合混沌的演示和仿真实验的。本章用Matlab来演示研究混沌运动特征及性
31、质。本章给出了用Matlab进行混沌演示的一些基本程序，包括产生标准的混沌信号及其吸引子，演示非线性系统进入混沌的途径，以及混沌的初值敏感性。许多非线性动力学系统都是通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的，系统如果处于混沌运动状态，那么它以后的运动状态将敏感依赖初值，并且具有不可预测性10。通过这些演示，可以使我们对混沌有了比较直观的认识。第三章 用Matlab模拟复摆振动中的混沌行为复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复摆在驱动力矩及阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周期分岔
32、逐渐进入到混沌运动状态7。混沌运动是确定性非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。3.1 复摆运动模型与振动方程对如图1所示的圆形复摆，设其质量为；对转轴的转动惯量为；质心到转轴的距离为。如果复摆振动时受到的阻尼力矩是；周期性驱动力矩为。图3-1复摆结构复摆运动遵守刚体转动定律：(3-1)复摆的运动方程可以写为：
33、(3-2)对(3-2)式作无量纲化处理，(3-2)式两边除以，整理可得：(3-3)取复摆的固有频率，进一步整理化简可得：(3-4)其中，称为无量纲阻尼系数；称为无量纲驱动力振幅；称为无量纲驱动频率；称为无量纲时间。对于这样的非线性方程，一般是无法求出其解析解的，我们都是利用Matlab求其数值解，然后再利用其数值解作相图和振动曲线，从相图上研究其运动规律。通过对和参数的调节，我们分别模拟研究复摆的无驱动无阻尼振动、阻尼振动、有外力驱动时的周期运动和混沌运动。3.2 复摆运动状态的模拟研究3.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动无驱动力、无阻尼相当于，的情况，此时复摆是一个保守系统11，复摆处于理想
34、振动状态，由式(3-4)可得：(3-5)(1) 小角度复摆运动，即简谐运动若很小，在此情况下我们容易得到式(3-5)的解，它归结为简谐振动情形，为便于从相图上来分析其运动特征，对式(3-5)积分，可得：(3-6)其中，积分常数为，由初始条件决定，对应于系统的无量纲总能量。由(3-6)式可作出复摆的角速度与角位移的关系图像，即复摆作简谐振动的相图为一个圆。通过Matlab数值计算可得复摆的振动曲线及其在和构成的相空间的运动轨迹，如图3-2所示。可以看出，数值结果与解析结果完全相同，其相图是一闭合曲线，进一步表明复摆运动的周期性。图中的圆称为相轨道（相图），圆上一点确定了复摆的一个运动状态，圆形闭
35、合回线反映系统状态周而复始的演化过程。图3-2复摆作简谐振动时的振动曲线和相轨迹(2)任意角度复摆运动将式乘以作积分，可得：(3-7)整理可得：(3-8)利用Matlab画出复摆在不同初始值下对应运动状态变化情况的相图。当=-1，=0时=0对应于相图中的不动点(0,0)，在系统离开平衡点时，恢复力总是指向(0,0)点，所以这是复摆的稳定平衡点；在较小时，轨线为圆形闭合回线，表明复摆作简谐振动19；当增大时，轨线将偏离圆形，系统运动表现出非线性特征，能量越高，回线越扁；当=1时复摆实际振幅已达到，这相当于单摆的竖直倒立位置，是一个不稳定的平衡点16,18；当1时轨线不再闭合，表明单摆在竖直面上顺
36、时针或逆时针旋转。图3-3无驱动力无阻尼任意摆角复摆相图3.2.2 无驱动力有阻尼的复摆运动(1)小角度阻尼复摆无阻尼的复摆运动只是一种理想情况，实际的复摆系统总是或多或少地存在阻尼11，阻尼的存在将使保守系统封闭的相图遭到破坏。模拟时取无量纲阻尼系数=0.05，无量纲驱动力振幅=0，结果显示在图3-4中。由图3-4可以看出，由于阻尼的存在，能量耗散，复摆的振幅越来越小，直到停止在复摆的平衡位置。这种正阻尼的振荡的相图为一根内旋的螺线(见图3-4)，曲线不再闭合，随着振幅逐渐减小，速度越来越慢，直至停摆。无论初始的位置如何，复摆最终都会趋向螺旋线的中心，相图上螺线的中心为阻尼复摆运动的吸引点，
37、称为吸引子19。由于中心点是不动点，所以又称不动点吸引子或者定常吸引子。图3-4复摆作阻尼振动时的振动曲线和相轨迹(2)任意角度阻尼复摆运动由(3-4)式得到无驱动力有阻尼时复摆的运动方程为：(3-9)由于式(3-9)比式(3-5)式多出这一耗散项，复摆无论从什么状态出发，都要经阻尼振荡，最后静止下来，反映在相图3-5上，可以看出，小振幅下的阻尼振荡轨线将不再是闭合回线，而是对数螺线，终结于不动点(0,0)，也是图3-5闭合回线的中心点，称为不动点吸引子。大振幅下，在相空间中从某点出发的轨线不再象图3-3那样左右对称，而是倾斜地流向相应区域中心的吸引子，每个吸引子都有自己的吸引域，图中相邻的吸
38、引域相差角度为，吸引域的中心就是复摆运动的稳定平衡点，也是复摆运动势能最低点，这说明阻尼复摆经过无限长时间的运动后，最终会停在势能的最低点。当角速度=0时，有两类平衡点，一类是(,0)，,是稳定状态；另一类是(,0)，,是不稳定状态。如果初始值和较小，复摆不能到达(,0)位置时，这时它只在平衡位置(0,0)附近左右摆动，最后静止于(0,0)。如果初始角速度较大，复摆可以绕过(,0)位置，达不到位置(,0)时，则在(,0)的位置上进行左右摆，最后静止(,0)。如果给出的初始角速度更大，它可以绕支点转上几圈，再变为左右摆动，最后静止于(,0)，但决不可能一直绕支点转圈子，永不成为左右摆动。理论分析
39、认为，当初始条件(,)刚好可以使复摆到达(,0)位置，应静止到这个位置上。但实际上过这一点很难实现，因为平衡点是不稳定的。若开始时，复摆位于(,0)处，可能顺时针下落在(0,0)附近，复摆最后静止于(0,0)，也可能逆时针下落，在位置(,0)处左右摆动，最后静止于(,0)，其他情况可进行类似讨论13。通过以上分析可知，无论初始条件如何，相轨线都会倾斜地流向相应区域中心的吸引子，这说明阻尼复摆经过无限长时间的运动后，最终会停在势能的最低点，而不会出现混沌运动现象。图3-5无驱动力有阻尼任意摆角复摆相图3.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动复摆在角位移较小的情况下可作为理想的线性谐振子来处
40、理，但如果考察其在驱动力作用下任意角位移下的运动，并考虑阻力，则其运动方程中将出现非线性项。本节研究表明复摆的强迫振动在一定条件下一步一步地由倍周期分岔走向混沌，并分析了其混沌解的特征，得到了几种情况下的混沌吸引子17。如果考虑受驱复摆方程的弱非线性项，即摆角不大时取的级数的前两项，这时式(3-4)可以近似化为：(3-10)其中是无量纲角位移，为无量纲时间，为无量纲驱动力，为无量纲驱动力矩的角频率。由式(3-10)可知，该复摆是一种特殊形式的杜芬振子，非线性方程是杜芬(Duffing)方程17：(3-11)为了简便起见，不失一般性，我们研究一个由受驱弱非线性复摆演化得到的杜芬方程形式，取=-1
41、，=1，则式(3-11)可化为：(3-12)对于(3-12)式这样的非线性微分方程没有解析解，只能利用计算机求其数值解。我们利用Matlab软件中的ode45命令来对非线性方程(4-1)求解，然后作图。从非线性方程(3-12)来看，三个独立参量，和若任意取值，如果同时绘制出各种组合的相图，它们将在相平面上相交缠绕，而无法分辨。可固定两个参量的值，使另外一个参量变化，来观察相轨迹的规律。当复摆受一周期性驱动力作用时，随着驱动力幅度的变化，复摆的运动情况也将变得非常复杂。取无量纲阻尼系数，无量纲驱动力频率，模拟结果显示，在较小时，相空间的轨线接近圆形，且正负半周比较对称，如图3-6(a)所示，此时
42、复摆仍然是稳定的单倍周期运动，即振动周期与驱动力的周期相同。随着增大，相空间的轨迹变得越来越扁且左右不对称，一端明显突出，但仍然是单周期运动，如图3-6(b)所示。图3-6受迫阻尼复摆单周期相图继续慢慢增大，运动更加复杂，当增加到0.55时，系统发生第一次倍周期分岔，复摆由一倍周期运动进入二倍周期运动，即在驱动力的两个周期内运动才恢复原状，如此周而复始地运动下去，如图3-7所示。在=0.575时，再次发生倍周期分岔，二周期运动进入四倍周期运动，见图3-8，复摆运动每隔4个驱动周期重复一次，相轨迹在二维环面上转4圈后闭合。由此可见，如果驱动力的振动周期用表示，随着驱动幅度的增加，复摆运动出现倍周
43、期分岔现象，由，相空间的环面由1环分岔到2环，2环再分岔到4环。图3-7 单周期振动曲线及相图(,)图3-8 二倍周期振动曲线及相图(,)图3-9四倍周期振动曲线及相图(,)随着外驱动力的增加，分岔数迅速增加。当的值增加到0.585时，如图4-10所示，复摆仍进入一种准周期运动状态，分岔的数目已经无法判断。这种倍周期分岔现象是非线性问题所特有的。图3-10准周期振动相图及相图(,)当增至1.128时，振动情况非常复杂，如图4-11，此即为复摆混沌运动的奇怪吸引子，此时复摆的相轨迹局部不稳定，但全局稳定，复摆逐渐脱离周期运动，其运动不再是纯粹的振动，而是开始出现了小幅转动，相空间的轨线在特定的区
44、域无规则地绕来绕去，开始出现混沌运动的趋势。图3-11混沌振动曲线及相图 (,)由图4-11可以看到相图有两个稳定平衡位置，复摆围绕一个稳定平衡位置振动若干次以后，转而围绕另外一个稳定平衡位置振动若干次，然后又跳回原平衡位置振动若干次，这样来回振动，虽然每次轨迹都不重合，但最终被吸引到相图中的某一点附近运动。如果继续增加驱动力，我们会发现复摆系统又逐渐恢复到简单运动，如图4-12，系统开始进入单周期运动，如图4-13，系统完全进入单周期运动。图3-12混沌系统单周期振动曲线及相图 (,)图3-13混沌系统单周期振动曲线及相图 (,)如果进一步增加驱动力，当驱动力很大时，系统又会出现混沌运动状态
45、，如图3-14所示，由它的运动曲线可以清楚地看出，此时复摆已不是完全在平衡位置附近的周期振动，而是一会儿做振动，一会儿做转动，此时的相轨迹在某一位置缠绕多圈后又转入到另一处缠绕，轨线不再封闭。混沌运动与周期运动交替出现，周期中包含混沌运动。关于复摆系统整体周期运动，我们可以这样理解，当驱动力很大时，其它因素只在小范围内起作用，相对于整体可以忽略，所以复摆就做与驱动力周期相同的周期性运动，即复摆做受迫运动，如图3-4。图3-14混沌周期振动曲线及相图 (,)另外当驱动力增加到1.128时，系统对初始条件非常敏感， 图3-15所示的位移曲线是时初始值为，和初始值为，的情况，初始值有微小的变化，可以
46、看到，振动曲线不规则，而且没有一定的周期，在初始阶段，初始值稍微不同的两段曲线几乎完全重合，但经过最初几个回合的振动，两者便呈现出了极大的差异，时而靠近，时而远离，其行为不可预测，呈现随机性，即在长时间运动后一个确定的运动变成无法预言的“随机”行为，此种现象被称为“蝴蝶效应”。这种“貌似无规”的混沌运动实际是确定性系统中内在的随机行为，它反映了某种内在的结构特征。图3-15初值稍微改变的振动曲线 (,)另外我们还研究了，和取不同值时复摆的相轨迹。当，（相轨迹如图3-16）和,，（相轨迹如图3-17）时，复摆也作混沌运动。奇怪吸引子的存在表明混沌轨道运动的具体位置虽然具有对初值的敏感依赖性，但轨道的大体位置是在吸引子上。图3-16奇怪吸引子(，）图3-17奇怪吸引子(，）3.3 本章小结本文从复摆的运动方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过程。非线性动力学中提出的混沌概念是经典物理学领域中出现的前沿课题，本文拟利用复摆这一常见模型显示其从周期运动变为混沌运动的全过程。复摆运动在角位移较小