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1、双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F、2F的距离之差的绝对值等于定长1222,0aF Fa a的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F、2F称为双曲线的焦点，定长2a称为双曲线的实轴长，线段12F F的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PFPFaF F，此时P点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值 1e e 的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.2、双曲线的简单性质 标准方程 22221,0 xya bab 22221,0yx
2、a bab 顶点坐标,0Aa 0,Ba 焦点坐标 左焦点1,0Fc，右焦点 2,0Fc 上焦点 10,Fc，下焦点20,Fc 虚轴与虚轴 实轴长2a、虚轴长2b 实轴长2a、虚轴长2b 有界性 xa ya，对称性 关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称.3、渐近线 双曲线22221,0 xya bab的渐近线为22220 xyab，即0 xyab，或byxa.【注】与双曲线22221xyab具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220 xyab；渐近线为byxa 的双曲线方程可以设为22220 xyab；共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
3、共轭双曲线具有相同的渐近线.等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径 双曲线上任意一点P到双曲线焦点F的距离称为焦半径.若00(,)P xy为双曲线22221,0 xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2(,0)F c为双曲线的左、右焦点，则10|PFexa，20|PFexa，其中cea.5、通径 过双曲线22221,0 xya bab焦点F作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A、B两点，称线段AB为双曲线的通径，且22bABa.6、焦点三角形 P为双曲线22221,0 xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2(,0)F c为双曲线的左右焦点，称12PF F为双曲线的
4、焦点三角形.若12F PF，则焦点三角形的面积为：122cot2F PFSb.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b（虚半轴长）.8、双曲线22221,0 xya bab的焦点三角形的内心的轨迹为0 xa y 9、直线与双曲线的位置关系 直线:0l AxByC，双曲线：22221,0 xya bab，则 l与相交22222a Ab BC；l与相切22222a Ab BC；l与相离22222a Ab BC.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为 4 条、3 条、2 条，或者 0 条.11、焦点三角形角平分线的性质 点(
5、,)P x y是双曲线22221,0 xya bab上的动点，12,F F是双曲线的焦点，M是12F PF的角平分线上一点，且20F M MPuuuur uuu r，则OMa，即动点M的点的轨迹为222xyaxa.12、双曲线上任意两点的坐标性质 1122,A x yB x y为双曲线22221,0 xya bab上的任意两点，且12xx，则2221222212yybxxa.【推广 1】直线l过双曲线22221,0 xya bab的中心，与双曲线交于 1122,A x yB xy两点，P为双曲线上的任意一点，则22APBPbk ka（,APBPkk均存在）.【推广 2】设直线110lyk xm
6、 m：交双曲线22221,0 xya bab于CD、两点，交直线22lyk x：于点E若E为CD的中点，则2122bk ka.13、中点弦的斜率 直线l过 000,0Mxyy 与双曲线22221,0 xya bab交于,A B两点，且AMBM，则直线l的斜率2020ABb xka y.14、点(,)(0,0)P x yxy是双曲线22221,0 xya bab上的动点，过P作实轴的平行线，交渐近线于,M N两点，则PM PN 定值2a.15、点(,)(0,0)P x yxy是双曲线22221,0 xya bab上的动点，过P作渐近线的平行线，交渐近线于,M N两点，则OMPNSY定值2ab.【
7、典型例题】例 1、双曲线的渐近线方程为20 xy，焦距为10，这双曲线的方程为_.【变式 1】若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是_.【变式 2】双曲线22148xy的两条渐近线的夹角为_.【变式 3】已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_.【变式 4】若椭圆221(0)xymnmn 和双曲线221(0,0)xyabab有相同焦点1F、2F，P为两曲线的一个交点，则12PFPF_.【变式 5】如果函数2yx 的图像与曲线22:4C xy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A 1,1)B.1,0 C.(,10
8、,1)U D.1,0(1,)U 【变式 6】直线2x与双曲线14:22yxC的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OBbOAaOP(ORba,为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）A.222ab B.2122 ba C.222ab D.2212ab 【变式 7】设连接双曲线22221xyab与22221yxba的四个顶点为四边形面积为1S,连接其四个焦点的四边形面积为2S，则12SS的最大值为_.例 2、设12FF、分别是双曲线2219yx 的左右焦点,若点P在双曲线上，且12=0PF PFuuu r uuu u rg，则12PFPFuuu ruuu u r=_.【变式 1】
9、过双曲线221109xy的左焦点1F的弦6AB，则2ABF（2F为右焦点）的周长为_.【变式 2】双曲线2211620 xy的左、右焦点1F、2F，P是双曲线上的动点，且19PF，则2PF_.例 3、设12FF、是双曲线2214xy的两个焦点，点P是双曲线的任意一点，且123F PF，求12PF F的面积.例 4、已知直线1ykx与双曲线2231xy有A B、两个不同的交点，如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值.例 5、已知直线1ykx与双曲线2231xy相交于A B、两点，那么是否存在实数k使得A B、两点关于直线20 xy对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.例 6、已知双
10、曲线221124xy的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_.【变式 1】已知曲线C:21(4)xy yx；（1）画出曲线C的图像；（2）若直线l：1ykx与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；（3）若 0Pp，0p，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值.【变式 2】直线l：10axy 与曲线C：2221xy.（1）若直线l与曲线C有且仅有一个交点，求实数a的取值范围；（2）若直线l被曲线C截得的弦长22 1PQa，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.例 7、已知F是双曲线
11、221412xy的左焦点，(1 4)A，,P是双曲线右支上的动点，求PFPA的最小值.【变式】P是双曲线221916xy的右支上一点，,M N分别是圆2254xy和2251xy上的点，则PMPN的最大值等于_.例 8、已知动圆P与两个定圆2251xy和22549xy都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【变式 1】ABC的顶点为 50A，,5,0B，ABC的内切圆圆心在直线3x 上，则顶点C的轨迹方程是_.【变式 2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为 7,0F，直线1yx 与其相交于MN、两点，线段MN的中点的横坐标为23，求此双曲线的方程.例 9、已知双曲线221916xy，若点M为双曲线上任
12、一点，则它到两渐近线距离的乘积为_.例 10、焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点(0,2)P为圆心，以 1 为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与P关于直线yx对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1ymx与双曲线C的左支交于,A B两点，另一直线l经过点(2,0)M 及AB的中点，求直线l在轴上的截距n的取值范围.【变式】设直线l的方程为1ykx，等轴双曲线C：222xya右焦点为 2,0.（1）求双曲线的方程；（2）设直线l与双曲线的右支交于不同的两点A B、,记AB中点为M，求实数k的取值范围，并用k表示点M的坐标；（3）设点 1,0Q，求直线QM在y轴上
13、的截距的取值范围.例 11、已知双曲线C方程为：2212yx.（1）已知直线0 xym 与双曲线C交于不同的两点A B、，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值；（2）设直线l是圆O：222xy上动点00(,)P xy（000 x y）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A B、，证明AOB的大小为定值.例 12、已知中心在原点，顶点12AA、在x轴上，其渐近线方程是2 33yx，双曲线过点 6,6P.（1）求双曲线的方程；（2）动直线l经过12APA的重心G，与双曲线交于不同的两点MN、，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论.例13、已知点1F、2F为双曲线C：01222b
14、byx的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF圆O的方程是222byx（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求21PPPP 的值；（3）过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：例 14、已知双曲线C：222210,0 xyabab的一个焦点是 22,0F，且ab3（1）求双曲线C的方程；（2）设经过焦点2F的直线的一个法向量为)1,(m，当直线l与双曲线 C 的右支相交于BA,不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3)1(322yx上（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于BA,两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由 l