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1、反比例函数知识点 一、选择题 1如图，Rt AOB中，AOB=90，AO=3BO，OB在 x 轴上，将 Rt AOB绕点 O 顺时针旋转至 RtAOB，其中点 B落在反比例函数 y=2x的图象上，OA交反比例函数 y=kx的图象于点 C，且 OC=2CA，则 k 的值为（）A4 B72 C8 D7【答案】C【解析】【详解】解：设将 Rt AOB绕点 O 顺时针旋转至 Rt AOB的旋转角为 ，OB=a，则 OA=3a，由题意可得，点 B的坐标为（acos，asin），点 C的坐标为（2asin，2acos），点 B在反比例函数 y=2x的图象上，asin=2acos，得 a2sincos=2，
2、又点 C在反比例函数 y=kx的图象上，2acos=k2asin，得 k=4a2sincos=8.故选 C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为 ，利用旋转的性质和三角函数设出点 B与点 C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.2如图，点A在双曲线4yx上，点B在双曲线(0)kykx上，ABx轴，交y轴于点C若2ABAC，则k的值为（）A6 B8 C10 D12【答案】D【解析】【分析】过点 A作 ADx 轴于 D，过点 B作 BEx 轴于 E，得出四边形 ACOD是矩形，四边形 BCOE是矩形，得出ACODS矩形=4，BCOESk矩形，根据 AB
3、=2AC，即 BC=3AC，即可求得矩形 BCOE的面积，根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得 k 的值【详解】过点 A作 ADx 轴于 D，过点 B作 BEx 轴于 E，ABx 轴，四边形 ACOD是矩形，四边形 BCOE是矩形，AB=2AC，BC=3AC，点 A在双曲线4yx上，ACODS矩形=4，同理BCOESk矩形，矩形3BCOEACODSS矩形矩形=12，k=12，故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数 k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键 3如图，点A、B在函数kyx（0 x，0k 且k是常数）的图像上，且点A在点B的左侧过点A作AM
4、x轴，垂足为M，过点B作BNy轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN若CMN和ABC的面积分别为 1 和 4，则k的值为（）A4 B4 2 C522 D6【答案】D【解析】【分析】设点 M（a，0），N（0，b），然后可表示出点 A、B、C的坐标，根据CMN的面积为 1可求出 ab2，根据ABC的面积为 4 列方程整理，可求出 k【详解】解：设点 M（a，0），N（0，b），AMx 轴，且点 A在反比例函数kyx的图象上，点 A的坐标为（a，ka），BNy 轴，同理可得：B（kb，b），则点 C（a，b），S CMN12NCMC 12ab1，ab2，ACka b，BCkb a，S
5、ABC12ACBC12(kab)(kb a)4，即8kab kabab，2216k，解得：k6 或 k 2（舍去），故选：D【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算等，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积列方程求解 4如图，反比例函数11kyx的图象与正比例函数22yk x的图象交于点（2，1），则使y1y2的 x 的取值范围是（）A0 x2 Bx2 Cx2 或-2 x0 Dx2 或 0 x2【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出 B点坐标，由函数图象即可得出结论.【详解】反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，A、B两点关于原点对称.
6、A（2，1），B（2，1）.由函数图象可知，当 0 x2 或 x2 时函数 y1的图象在 y2的上方，使 y1y2的 x 的取值范围是 x2 或 0 x2.故选 D.5如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点 A的坐标为(1，1)，点 B在 x 轴正半轴上，点 D 在第三象限的双曲线 y8x上，过点 C作 CE x 轴交双曲线于点 E，则 CE的长为()A85 B235 C3.5 D5【答案】B【解析】【分析】设点 D(m，8m)，过点 D作 x 轴的垂线交 CE于点 G，过点 A过 x 轴的平行线交 DG于点H，过点 A作 ANx 轴于点 N，根据 AAS先证明 DHA CGD、AN
7、BDGC可得 ANDG1AH，据此可得关于 m 的方程，求出 m 的值后，进一步即可求得答案.【详解】解：设点 D(m，8m)，过点 D作 x 轴的垂线交 CE于点 G，过点 A过 x 轴的平行线交 DG于点 H，过点 A作 ANx 轴于点 N，如图所示：GDC+DCG90，GDC+HDA 90，HDA GCD，又 ADCD，DHA CGD90，DHA CGD(AAS)，HADG，DHCG，同理 ANBDGC(AAS)，ANDG1AH，则点 G(m，8m1)，CGDH，AH1m1，解得：m2，故点 G(2，5)，D(2，4)，H(2，1)，则点 E(85，5)，GE25，CE CGGEDHGE
8、525235，故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.6在反比例函数 y93mx图象上有两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，y10y2，x1x2，则有（）Am13 Bm13 Cm 13 Dm 13【答案】B【解析】【分析】先根据 y10y2，有 x1x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出 m 的取值范围即可【详解】在反比例函数 y93mx图象上有两点 A（x1，y1）、B（x2，y2），y10y2，x1x2，反比例函数的图象在二、四象限，9m+30，解得 m13 故选：B【点睛】此题主
9、要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质 7已知点 1,3M 在双曲线kyx上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A 3,1 B1,3 C1,3 D3,1【答案】A【解析】【分析】先求出 k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.【详解】点 1,3M 在双曲线kyx上，1 33k ，3(1)3，点(3，-1)在该双曲线上，(1)(3)1 33 13 ，点1,3、1,3、3,1均不在该双曲线上，故选：A.【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算 k 值是解题的关键.8如图，一次函数1yaxb和反比例函数2kyx的图
10、象相交于A，B两点，则使12yy成立的x取值范围是()A20 x 或04x B2x 或04x C2x 或4x D20 x 或4x 【答案】B【解析】【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：2x 或04x 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，使12yy成立的x取值范围是2x 或04x，故选 B【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.9ABC的面积为 2，边BC的长为x，边BC上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（）A B C D【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积
11、公式得出y与x的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可【详解】根据题意得 122xy 4yx 00 xy，y与x的变化规律用图象表示大致是 故答案为：A【点睛】本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键 10如图，菱形 ABCD的两个顶点 B、D在反比例函数 y=的图象上，对角线 AC与 BD的交点恰好是坐标原点 O，已知点 A（1，1），ABC=60，则 k 的值是（）A5 B4 C3 D2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点 B的坐标，从而可以求得 k 的值 详解：四边形 ABCD是菱形，BA=BC，ACBD，ABC=60，ABC是等边三角形，点 A（1
12、，1），OA=，BO=，直线 AC的解析式为 y=x，直线 BD的解析式为 y=-x，OB=，点 B的坐标为（，），点 B在反比例函数 y=的图象上，解得，k=-3，故选 C 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答 11如图，直线 yk 和双曲线 ykx相交于点 P，过点 P 作 PA0垂直于 x 轴，垂足为 A0，x轴上的点 A0，A1，A2，An的横坐标是连续整数，过点 A1，A2，An：分别作 x 轴的垂线，与双曲线 ykx（k0）及直线 yk 分别交于点 B1，B2，Bn和点 C1，C2，Cn，则nnnnA BC B的
13、值为（）A11n B11n C1n D11n【答案】C【解析】【分析】由 x 轴上的点 A0，A1，A2，An的横坐标是连续整数，则得到点 An（n+1，0），再分别表示出n（n+1，k），Bn（n+1，kn1），根据坐标与图形性质计算出 AnBnkn1，Bnnkkn1，然后计算nnnnA BB C【详解】x 轴上的点 A0，A1，A2，An的横坐标是连续整数，An（n+1，0），nAnx 轴，n（n+1，k），Bn（n+1，kn1），AnBnkn1，Bnnkkn1，nnnnA BB C11knkkn1n 故选：C【点睛】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是抓住了反比例函数与一次函
14、数图象的交点坐标满足两函数解析式 12如图，点 A，B在反比例函数1(0)yxx的图象上，点 C，D在反比例函数(0)kykx的图象上，AC/BD/y 轴，已知点 A，B的横坐标分别为 1，2，OAC与 ABD的面积之和为32，则 k 的值为（）A4 B3 C2 D32【答案】B【解析】【分析】首先根据 A,B两点的横坐标，求出 A,B两点的坐标，进而根据 AC/BD/y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出 C,D两点的坐标，从而得出 AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出 S OAC,S ABD的面积，再根据 OAC与 ABD的面积之和为32，列出方程，求解得出答案.【详解】把 x
15、=1 代入1yx得：y=1,A(1,1),把 x=2 代入1yx得：y=12,B(2,12),AC/BD/y 轴,C(1,K),D(2,k2)AC=k-1,BD=k2-12，S OAC=12（k-1）1,S ABD=12(k2-12)1,又OAC与 ABD的面积之和为32，12（k-1）1 12(k2-12)1=32，解得：k=3;故答案为 B.【点睛】:此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数 k 的几何意义是解本题的关键.13反比例函数kyx的图象在第二、第四象限，点 1232,4,5,AyByCy是图象上的三点，则123,yyy的大小
16、关系是（）A123yyy B132yyy C312yyy D231yyy【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随 x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论.【详解】解：反比例函数kyx图象在第二、四象限，反比例函数图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，-245，点 B、C在第四象限，点 A在第二象限，23yy0，10y ，132yyy.故选 B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.14如图，若直线2yxn 与y轴交于点B，与双曲线20yxx
17、 交于点,1A m，则AOB的面积为（）A6 B5 C3 D1.5【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出 A点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出 B点坐标，则问题可解.【详解】解：由已知直线2yxn 与y轴交于点B，与双曲线20yxx 交于点,1A m 21m 则 m=-2 把 A（-2,1）代入到2yxn ，得 122n n=-3 23yx 则点 B（0，-3）AOB的面积为13 2=32 故应选：C【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想 15当0 x 时，反比例函数2yx 的图象（）A在第一象限，y随x的增大而减小 B在第二象限，y随x的
18、增大而增大 C在第三象限，y随x的增大而减小 D在第四象限，y随x的增大而减小【答案】B【解析】【分析】反比例函数2yx 中的20k ，图像分布在第二、四象限；利用0 x 判断即可【详解】解：反比例函数2yx 中的20k ，该反比例函数的图像分布在第二、四象限；又0 x，图象在第二象限且y随x的增大而增大 故选：B【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数0kykx，（1）0k，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k0，反比例函数图像分布在第二、四象限内 16已知反比例函数2yx，下列结论不正确的是 A图象必经过点(-1,2)By 随 x 的增大而增大 C图象在第二、四象限内
19、D若 x1，则 y-2【答案】B【解析】【分析】此题可根据反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断【详解】解：A、把（-1，2）代入函数解析式得：2=-21成立，故点（-1，2）在函数图象上，故选项正确；B、由 k=-2 0，因此在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，故选项不正确；C、由 k=-2 0，因此函数图象在二、四象限内，故选项正确；D、当 x=1，则 y=-2，又因为 k=-2 0，所以 y 随 x 的增大而增大，因此 x1 时，-2 y0，故选项正确；故选 B【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质.17已知反比例函数byx与一次函数yaxc有一个交点在第四象限
20、，该交点横坐标为1，抛物线2yaxbxc与x轴只有一个交点，则一次函数bcyxaa的图象可能是（）A B C D【答案】B【解析】【分析】根据题意得 b0，a+c0，240bac，可得 a0，c0，进而即可判断一次函数bcyxaa的图象所经过的象限【详解】反比例函数byx与一次函数yaxc有一个交点在第四象限，反比例函数的图象在二、四象限，即 b0，该交点横坐标为 1，y=a+c0，抛物线2yaxbxc与x轴只有一个交点，240bac，即：240bac，a0，c0，0ba，0ca，bcyxaa的图象过一、二、三象限 故选 B【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点
21、的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键 18如图，Rt ABO中，90AOB，3AOBO，点B在反比例函数2yx的图象上，OA交反比例函数0kykx的图象于点C，且2OCCA，则k的值为（）A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】【分析】过点 A作 ADx 轴，过点 C作 CEx 轴，过点 B作 BFx 轴，利用 AA定理和平行证得 COE OBFAOD，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOFOADSOBSOA，24()9COEAODSOCSOA，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOFS，从而求得4COES，从而求得 k 的值【详解】解：过点 A作 ADx 轴，
22、过点 C作 CEx 轴，过点 B作 BFx 轴 CE AD，CEO=BFO=90 90AOB COE+FOB=90，ECO+COE=90 ECO=FOB COE OBFAOD 又3AOBO，2OCCA 13OBOA，23OCOA 21()9BOFOADSOBSOA，24()9COEAODSOCSOA 4COEBOFSS 点B在反比例函数2yx的图象上 212BOFS 4COES 42k，解得 k=8 又反比例函数位于第二象限，k=-8 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键 19如图，平行于 x 轴的直线与函
23、数 y1kx（k10，x0），y2kx（k20，x0）的图象分别相交于 A，B两点，点 A在点 B的右侧，C为 x 轴上的一个动点，若 ABC的面积为 6，则 k1k2的值为（）A12 B12 C6 D6【答案】A【解析】【分析】ABC的面积12AByA，先设 A、B两点坐标（其 y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解【详解】解：设：A、B点的坐标分别是 A（1km，m）、B（2km，m），则：ABC的面积12AByA12（1km2km）m 6，则 k1k212 故选：A【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题 20若函数2myx的图象在其象限内 y 的值随 x 值的增大而增大，则 m 的取值范围是（）Am2 Bm2 Cm2 Dm2【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得 m+20，从而得出 m 的取值范围【详解】函数2myx的图象在其象限内 y 的值随 x 值的增大而增大，m+20，解得 m-2 故选 B