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1、高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十二章 微分方程 教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4 会用降阶法解下列微分方程：()()nyf x，(,)yf x y和(,)yf y y 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的
2、特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程()()nyf x，(,)yf x y和(,)yf y y 3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。高等数学教案 12 微分
3、方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 4、欧拉方程 12 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例 1 一曲线通过点(1 2)且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为 y y(x)根据导数的几何
4、意义 可知未知函数 y y(x)应满足关系式(称为微分方程)xdxdy2 (1)此外 未知函数 y y(x)还应满足下列条件 x 1 时 y 2 简记为 y|x 1 2 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)xdxy2 即 y x2 C (3)其中 C 是任意常数 把条件“x 1 时 y 2”代入(3)式 得 2 12 C 由此定出 C 1 把 C 1 代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 y|x1 2 的解)y x2 1 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度 0 4m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住
5、 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数s s(t)应满足关系式 4.022dtsd (4)高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 此外 未知函数 s s(t)还应满足下列条件 t 0 时 s 0 20dtdsv 简记为 s|t 0=0 s|t 0=20 (5)把(4)式两端积分一次 得 14.0Ctdtdsv (6)再积分一次 得 s0 2t2 C1t C2 (7)这里 C1 C2都是任意常数 把条件 v|t 0 20 代入(6)得 20 C1 把条件 s|t 0 0 代入
6、(7)得 0 C2 把 C1 C2的值代入(6)及(7)式得 v0 4t 20 (8)s0 2t2 20t (9)在(8)式中令 v 0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504.020t(s)再把 t 50 代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程 s0 2 502 20 50 500(m)解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 s0 4 并且 s|t 0=0 s|t 0=20 把等式 s0 4 两端积分一次 得 s0 4t C1 即 v0 4t C1(C1是任意常数)再积分一次 得 s0 2t2 C1t C2(C1 C2都 C1是任意常数)由 v|t 0 20 得 20 C1
7、于是 v0 4t 20 由 s|t 0 0 得 0 C2 于是 s0 2t2 20t 令 v 0 得 t 50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 s0 2 502 20 50 500(m)几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4)4y10y12y5y si
8、n2x y(n)1 0 一般 n 阶微分方程 F(x y y y(n)0 y(n)f(x y y y(n 1)微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 Fx (x)(x)(n)(x)0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y y(n)0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 x x0 时 y y0 y y0 一般
9、写成 00yyxx 00yyxx 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件00yyxx的解的问题 记为 00),(yyyxfyxx 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 3 验证 函数 x C1cos kt C2 sin kt 是微分方程 0222 xkdtxd 的解 解 求所给函数的导数 ktkCktkCdtdxcossin21 )sincos(sincos2
10、12221222ktCktCkktCkktCkdtxd 将22dtxd及 x 的表达式代入所给方程 得 k2(C1cos kt C2sin kt)k2(C1cos kt C2sin kt)0 这表明函数 x C1coskt C2sinkt 满足方程0222 xkdtxd 因此所给函数是所给方程的解 例 4 已知函数 x C1coskt C2sinkt(k 0)是微分方程0222 xkdtxd的通解 求满足初始条件 x|t 0 A x|t 0 0 的特解 解 由条件 x|t 0 A及 x C1 cos kt C2 sin kt 得 C1 A 再由条件 x|t 0 0 及 x(t)kC1sin k
11、t kC2cos kt 得 C2 0 把 C1、C2的值代入 x C1cos kt C2sin kt中 得 x Acos kt 12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 y x2 C 一般地 方程 yf(x)的通解为Cdxxfy)(此处积分后不再加任意常数)2 求微分方程 y2xy2 的通解 因为 y 是未知的 所以积分dxxy22无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为xdxdyy212 两边积分 得 Cxy21 或Cxy21 可以验证函数
12、Cxy21是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程 y(x,y)能写成 g(y)dy f(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dx Q(x y)dy 0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有 ),(),(yxQyxPdxdy 若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有 ),(),(yxPyxQdydx 可分离变量的微分方程
13、 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy f(x)dx(或写成 y(x)(y)的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的函数和 dx 那么原高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy 是 y 1dy 2xdx (2)3x2 5x y0 是 dy(3x2 5x)dx (3)(x2 y2)dx xydy=0 不是 (4)y1 x y2 xy2 是 y(1 x)(1 y2)(5)y10 x y 是 10 ydy 10 xdx (6)xyyx
14、y 不是 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得 G(y)F(x)C 第三步 求出由 G(y)F(x)C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y)G(y)F(x)C y(x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式(通)解 例 1 求微分方程xydxdy2的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 xdxdyy21 两边积分得 xdxdyy21 即 ln|y|x2 C1 从而 2112xCCxeeey 因为1Ce仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解 2xC
15、ey 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 xdxdyy21 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 两边积分得 xdxdyy21 即 ln|y|x2 lnC 从而 2xCey 例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t 0 时铀的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数dtdM 由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 MdtdM 其中(0)是常数 前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即0dtdM 由题意 初始条件为 M|t 0 M0 将方程分
16、离变量得 dtMdM 两边积分 得dtMdM)(即 lnMt lnC 也即 M Cet 由初始条件 得 M0 Ce0 C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 M M0et 例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为F mg kv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律 F ma 得函数 v(t)应满足的方程为 kvmgdtdvm 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 初始条件为 v|t 0 0 方程分离变量 得 mdtkvmgd
17、v 两边积分 得mdtkvmgdv 1)ln(1Cmtkvmgk 即 tmkCekmgv(keCkC1)将初始条件 v|t 0 0 代入通解得kmgC 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv 例 4 求微分方程221xyyxdxdy的通解 解 方程可化为 )1)(1(2yxdxdy 分离变量得 dxxdyy)1(112 两边积分得 dxxdyy)1(112 即Cxxy221arctan 于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy 例 4 有高为 1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为 1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h
18、 随时间 t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 ghSdtdVQ262.0 其中 0 62 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面面积 S 1cm2 故 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 ghdtdV262.0 或dtghdV262.0 另一方面 设在微小时间间隔t t dt内 水面高度由 h 降至 h dh(dh 0)则又可得到 dVr2dh 其中 r 是时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh 0 而 dV 0 的缘故 又因 222200)100(100hhhr 所以 dV(200
19、h h2)dh 通过比较得到 dhhhdtgh)200(262.02 这就是未知函数 h h(t)应满足的微分方程 此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 h h(t)还应满足下列初始条件 h|t 0 100 将方程dhhhdtgh)200(262.02分离变量后得 dhhhgdt)200(262.02321 两端积分 得 dhhhgt)200(262.02321 即 Chhgt)523400(262.02523 其中 C 是任意常数 由初始条件得 Cgt)100521003400(262.02523 5101514262.0)52000003400000(262.0ggC 高等数学教案
20、12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 因此 )310107(262.0252335hhgt 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间 t 之间的函数关系 12 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的函数 f(x,y)可写成 xy的函数 即)(),(xyyxf 则称这方程为齐次方程 下列方程哪些是齐次方程？(1)022xyyyx是齐次方程1)(222xyxydxdyxxyydxdy (2)2211yyx不是齐次方程2211xydxdy (3)(x2 y2)dx xydy 0 是齐次方程 xyyxdxdyxyyxdxdy22 (4)(
21、2x y 4)dx(x y 1)dy 0 不是齐次方程142yxyxdxdy (5)0ch3)ch3sh2(dyxyxdxxyyxyx是齐次方程 xyxydxdyxyxxyyxyxdxdyth32ch3ch3sh2 齐次方程的解法 在齐次方程)(xydxdy中 令xyu 即 y ux 有 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 )(udxduxu 分离变量 得 xdxuudu)(两端积分 得 xdxuudu)(求出积分后 再用xy代替 u 便得所给齐次方程的通解 例 1 解方程dxdyxydxdyxy22 解 原方程可写成 1)(222xyxyxxyydxdy
22、 因此原方程是齐次方程 令uxy 则 y ux dxduxudxdy 于是原方程变为 12uudxduxu 即 1uudxdux 分离变量 得 xdxduu)11(两边积分 得 u ln|u|C ln|x|或写成 ln|xu|u C 以xy代上式中的 u 便得所给方程的通解 Cxyy|ln 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy面上曲线L y y(x)(y0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x,y)作L的切
23、线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OA OM 因为 xyyOPPMOPAPOAcot 而 22yxOM 于是得微分方程22yxxyy 整理得1)(2yxyxdydx 这是齐次方程 问题归结为解齐次方程1)(2yxyxdydx 令vyx 即x yv 得12vvdydvyv 即 12 vdydvy 分离变量 得ydyvdv 12 两边积分 得 Cyvvlnln)1ln(2,Cyvv12,1)(22vvCy,1222CyvCy 以 yv x 代入上式 得)2(22CxCy 这是以 x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为
24、 )2(222CxCzy 这就是所求的旋转曲面方程 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 3 设河边点 O 的正对岸为点 A 河宽 OA h 两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从点 A游向点 O 设鸭子的游速为 b(ba)且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程 例 3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A 游向正对岸点 O 设鸭子的游速为 b(ba)且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知 OA h 求鸭子游过的迹线的方程 解 取 O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为 x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t 鸭子位于点
25、P(x,y)则鸭子运动速度 ),(),(dtdydtdxvvyxv 故有yxvvdydx 另一方面 ),()0 ,(2222yxyyxxbabav ),(2222yxbyyxbxav 因此yxyxbavvdydxyx1)(2 即yxyxbadydx1)(2 问题归结为解齐次方程yxyxbadydx1)(2 令uyx 即x yu 得 12ubadyduy 分离变量 得dybyaudu 12 两边积分 得)ln(lnarshCyabu 将yxu代入上式并整理 得)()(2111babaCyCyCx 以x|y h 0代入上式 得hC1 故鸭子游过的轨迹方程为 )()(211babahyhyhx 0
26、y h 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 将yxu代入)ln(lnarshCyabu后的整理过程 )ln(lnarshCyabyx abCyyx)ln(sh)()(21ababCyCyyx)()(2ababCyCyyx)()(2111ababCyCyCx 12.4 线性微分方程 一、线性方程 线性方程 方程)()(xQyxPdxdy叫做一阶线性微分方程 如果 Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程0)(yxPdxdy叫做对应于非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的齐次线性方程 下列方程各是什么类型方程？(1)ydxdyx
27、)2(021yxdxdy是齐次线性方程 (2)3x2 5x 5y0y3x2 5x 是非齐次线性方程 (3)yy cos x e sin x 是非齐次线性方程 (4)yxdxdy 10 不是线性方程 (5)0)1(32xdxdyy0)1(23yxdxdy或32)1(xydydx 不是线性方程 齐次线性方程的解法 齐次线性方程0)(yxPdxdy是变量可分离方程 分离变量后得 dxxPydy)(高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 两边积分 得 1)(|lnCdxxPy 或 )(1)(CdxxPeCCey 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）例 1
28、求方程ydxdyx)2(的通解 解 这是齐次线性方程 分离变量得 2xdxydy 两边积分得 ln|y|ln|x 2|lnC 方程的通解为 y C(x 2)非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u(x)把 dxxPexuy)()(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxP 化简得 dxxPexQxu)()()(CdxexQxudxxP)()()(于是非齐次线性方程的通解为 )()()(CdxexQeydxxPdxxP 或 dxexQeCeydxxPdxxPdxxP
29、)()()()(非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 2 求方程25)1(12xxydxdy的通解 解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程012xydxdy的通解 分离变量得 12xdxydy 两边积分得 ln y 2ln(x 1)ln C 齐次线性方程的通解为 y C(x 1)2 用常数变易法 把 C 换成 u 即令 y u(x 1)2 代入所给非齐次线性方程 得 2522)1()1(12)1(2)1(xxuxxuxu 21)1(xu 两边积分 得 Cxu23)1
30、(32 再把上式代入 y u(x 1)2中 即得所求方程的通解为 )1(32)1(232Cxxy 解 这里12)(xxP 25)1()(xxQ因为 )1ln(2)12()(xdxxdxxP 2)1ln(2)()1(xeexdxxP 2321225)()1(32)1()1()1()(xdxxdxxxdxexQdxxP所以通解为 )1(32)1()(232)()(CxxCdxexQeydxxPdxxP 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为 E Emsint(Em、都是常数)电阻 R和电感 L都是常量 求电流 i(t)
31、解 由电学知道 当电流变化时 L 上有感应电动势dtdiL 由回路电压定律得出 0iRdtdiLE 即 LEiLRdtdi 把 E Emsin t 代入上式 得 tLEiLRdtdim sin 初始条件为 i|t 0 0 方程tLEiLRdtdim sin为非齐次线性方程 其中 LRtP)(tLEtQm sin)(由通解公式 得 )()()()(CdtetQetidttPdttP)sin(Cdte tLEedtLRmdtLR )sin(CdtteeLEtLRtLRm tLRmCetLtRLRE)cos sin(222 其中 C 为任意常数 将初始条件 i|t 0 0 代入通解 得222 LRL
32、ECm 因此 所求函数 i(t)为 )cos sin()(222222tLtRLREeLRLEtimtLRm 二、伯努利方程 伯努利方程 方程 nyxQyxPdxdy)()(n 0 1)高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131yxydxdy 是伯努利方程 (2)5xyydxdy 5xyydxdy 是伯努利方程 (3)xyyxy 11xyyxy 是伯努利方程 (4)xxydxdy42 是线性方程 不是伯努利方程 伯努利方程的解法 以 yn除方程的两边 得 )()(1xQyxPdxdyynn 令 z
33、y1 n 得线性方程 )()1()()1(xQnzxPndxdz 例 4 求方程2)(lnyxaxydxdy的通解 解 以 y2除方程的两端 得 xayxdxdyyln112 即 xayxdxydln1)(11 令 z y 1 则上述方程成为 xazxdxdzln1 这是一个线性方程 它的通解为 )(ln22xaCxz 以 y 1代 z 得所求方程的通解为 1)(ln22xaCyx 经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 5 解方程yxdxdy1 解 若把所给方程变形为 yxdyd
34、x 即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令 x y u 则原方程化为 udxdu11 即uudxdu1 分离变量 得 dxduuu 1 两端积分得 u ln|u 1|x ln|C|以 u x y 代入上式 得 y ln|x y 1|ln|C|或 x Cey y 1 12 5 全微分方程 全微分方程 一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 形式后 如果它的左端恰好是某一个函数 u u(x,y)的全微分 du(x,y)P(x,y)dx Q(x,y)dy 那么方程 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 就叫做全微分方程 这里 ),
35、(yxPxu ),(yxQyu 而方程可写为 du(x,y)0 全微分方程的判定 若 P(x,y)、Q(x,y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数 且 xQyP 则方程 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 是全微分方程 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 全微分方程的通解 若方程 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 是全微分方程 且 du(x,y)P(x,y)dx Q(x,y)dy 则 u(x,y)C 即 ),(),(),(00000GyxCdxyxQdxyxPyyxx 是方程 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 的通解 例 1 求解(5x4
36、 3xy2 y3)dx(3x2y 3xy2 y2)dy 0 解 这里 xQyxyyP236 所以这是全微分方程 取(x0,y0)(0,0)有 yxdyydxyxyxyxu020324)35(),(332253123yxyyxx 于是 方程的通解为 Cyxyyxx332253123 积分因子 若方程 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 不是全微分方程 但存在一函数 (x,y)(x,y)0)使方程 (x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy 0 是全微分方程 则函数(x,y)叫做方程 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 的积分因子 例 2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1
37、)ydx xdy 0 (2)(1 xy)ydx(1 xy)xdy 0 解(1)方程 ydx xdy 0 不是全微分方程 因为 2)(yxdyydxyxd 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 所以21y是方程 ydx xdy 0 的积分因子 于是 02yxdyydx是全微分方程 所给方程的通解为Cyx (2)方程(1 xy)ydx(1 xy)xdy 0 不是全微分方程 将方程的各项重新合并 得 (ydx xdy)xy(ydx xdy)0 再把它改写成 0)()(22ydyxdxyxxyd 这时容易看出2)(1xy为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为 0)
38、()(2ydyxdxxyxyd 积分得通解 Cyxxyln|ln1 即xyCeyx1 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程 yP(x)y Q(x)可以验证dxxPex)()(是一阶线性方程 yP(x)y Q(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以dxxPex)()(得 dxxPdxxPdxxPexQexyPey)()()()()(即 dxxPdxxPdxxPexQeyey)()()()(亦即 dxxPdxxPexQye)()()(两边积分 便得通解 CdxexQyedxxPdxxP)()()(高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 或 )()()(C
39、dxexQeydxxPdxxP 例 3 用积分因子求xxydxdy42的通解 解 方程的积分因子为 22)(xxdxeex 方程两边乘以2xe得 22242xxxxeyxeey 即224)(xxxeye 于是 Cedxxeyexxx22224 因此原方程的通解为2224xxCedxxey 12 6 可降阶的高阶微分方程 一、y(n)f(x)型的微分方程 解法 积分 n 次 1)1()(Cdxxfyn 21)2()(CdxCdxxfyn 例 1 求微分方程 ye2x cos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 12sin21Cxeyx 212cos41CxCxeyx 3221221sin
40、81CxCxCxeyx 这就是所给方程的通解 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 或 122sin21Cxeyx 2122cos41CxCxeyx 32212sin81CxCxCxeyx 这就是所给方程的通解 例2 质量为m的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数 F F(t)在开始时刻 t 0 时 F(0)F0 随着时间 t 的增大 此力 F 均匀地减小 直到 t T 时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设 x x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为
41、)(22tFdtxdm 由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且 t 0 时 F(0)F0 所以 F(t)F0 kt 又当 t T 时 F(T)0 从而 )1()(0TtFtF 于是质点运动的微分方程又写为 )1(022TtmFdtxd 其初始条件为0|0tx 0|0tdtdx 把微分方程两边积分 得 120)2(CTttmFdtdx 再积分一次 得 21320)621(CtCTttmFx 由初始条件 x|t 0 0 0|0tdtdx 得 C1 C2 0 于是所求质点的运动规律为 )621(320TttmFx 0 t T 解 设 x x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定
42、律 质点运动的微分方程为 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 mxF(t)由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0)故 1)(0TtFtF 即)1()(0TtFtF 于是质点运动的微分方程又写为 )1(0TtmFx 其初始条件为 x|t 0 0 x|t 0 0 把微分方程两边积分 得 120)2(CTttmFx 再积分一次 得 2320)621(CTttmFx 由初始条件 x|t 0 0 x|t 0 0 得 C1 C2 0 于是所求质点的运动规律为 )621(320TttmFx 0 t T 二、y f(x y)型的微分方程 解法 设 yp
43、则方程化为 pf(x p)设 pf(x p)的通解为 p(x C1)则 ),(1Cxdxdy 原方程的通解为 21),(CdxCxy 例 3 求微分方程 (1 x2)y2xy 满足初始条件 y|x 0 1 y|x 0 3 的特解 解 所给方程是 yf(x y)型的 设 yp 代入方程并分离变量后 有 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dxxxpdp212 两边积分 得 ln|p|ln(1 x2)C 即 p yC1(1 x2)(C1eC)由条件 y|x 0 3 得 C1 3 所以 y3(1 x2)两边再积分 得 y x3 3x C2 又由条件 y|x 0
44、1 得 C2 1 于是所求的特解为 y x3 3x 1 例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、yf(y y)型的微分方程 解法 设 yp 有 dydppdxdydydpdxdpy 原方程化为 ),(pyfdydpp 设方程),(pyfdydpp的通解为 yp(y C1)则原方程的通解为 21),(CxCydy 例 5 求微分 yyy2 0 的通解 解 设 yp 则dydppy 代入方程 得 02 pdydpyp 在 y 0、p 0 时 约去 p 并分离变量 得 ydypdp 两边积分得 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财
45、经大学统计与数学学院公共数学教研室 ln|p|ln|y|lnc 即 p Cy 或 yCy(Cc)再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|Cx lnc1 或 y C1eCx(C1c1)例 5 求微分 yyy2 0 的通解 解 设 yp 则原方程化为 02 pdydpyp 当 y 0、p 0 时 有 01 pydydp 于是 yCepdyy11 即 yC1y 0 从而原方程的通解为 xCdxCeCeCy1122 例 6 一个离地面很高的物体 受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）12 7 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1
46、设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度 v0 0 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x 是 t 的函数 x x(t)设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 fcx 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则 dtdxR 由牛顿第二定律得 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dtdxcxdtxdm22 移项 并记mn2 mck 2 则上式化为 02222xkdtdxndtxd 这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受
47、到铅直扰力 F Hsin pt 的作用 则有 pthxkdtdxndtxdsin2222 其中mHh 这就是强迫振动的微分方程 例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L、及 C 为常数 电源电动势是时间 t 的函数 E Emsint 这里 Em及也是常数 设电路中的电流为 i(t)电容器极板上的电量为 q(t)两极板间的电压为 uc 自感电动势为 EL 由电学知道 dtdqi Cquc dtdiLEL 根据回路电压定律 得 0RiCqdtdiLE 即 tEudtduRCdtudLCmcccsin22 或写成 tLCEudtdudtudmcccsi
48、n22022 其中LR2 LC10 这就是串联电路的振荡方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E 0)则上述成为 022022cccudtdudtud 高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)y f(x)若方程右端 f(x)0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 yP(x)yQ(x)y 0 即0)()(22yxQdxdyxPdxyd 定理 1 如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y 0 的两个解 那么 y C1y1(
49、x)C2y2(x)也是方程的解 其中 C1、C2是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 C1y1 C2y2C1 y1C2 y2 C1y1 C2y2C1 y1C2 y2 因为 y1与 y2是方程 yP(x)yQ(x)y 0 所以有 y1P(x)y1Q(x)y1 0 及 y2P(x)y2Q(x)y2 0 从而 C1y1 C2y2P(x)C1y1 C2y2Q(x)C1y1 C2y2 C1y1P(x)y1Q(x)y1 C2y2P(x)y2Q(x)y2 0 0 0 这就证明了 y C1y1(x)C2y2(x)也是方程 yP(x)yQ(x)y 0 的解 函数的线性相关与线性无关 设
50、y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当 x I 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0 成立 那么称这 n 个函数在区间 I 上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关 例如 1 cos2x sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数 1 x x2在任何区间(a,b)内是线性无高等数学教案 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 关的 定理 2 如果如果函数 y1(