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1、第一讲乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到 3 1=3如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到
2、天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到32=6在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来这种方法叫穷举法 穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第n 步有 mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1m2 mn种不同的方法这就是乘法原理例 1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分
3、析 某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）其中，买主食有 3 种不同的方法，买副食有5 种不同的方法 故可以由乘法原理解决解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有35=15 种不同的方法补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；每个步骤各有若干种不同的方法来完成这样的问题就可以使用乘法原理解决问题例 2 右图中有7 个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同的走法？分析 甲虫要从A 点沿线段爬到B点，必经过C 点，所以，完成这段路分两步，即由A到 C，
4、再由 C 到 B而由 A 到 C 有三种走法，由C 到 B 也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论解：这只甲虫从A 到 B 共有 33=9 种不同的走法例 3 书架上有6 本不同的外语书，4 本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析 要做的事情是从外语、语文书中各取一本完成它要分两步：即先取一本外语书（有 6 种取法），再取一本语文书（有4 种取法）(或先取语文书，再取外语书）所以，用乘法原理解决解：从架上各取一本共有64=24 种不同的取法例 4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100 米跑、200 米跑四项中的一项比赛，问：报名的
5、结果会出现多少种不同的情形？分析 三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名 首先，王英去报名，可报 4 个项目中的一项，有 4 种不同的报名方法 其次，赵明去报名，也有4 种不同的报名方法同样，李刚也有4 种不同的报名方法满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决解：由乘法原理，报名的结果共有44 4=64 种不同的情形例 5 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？分析 在确定由0、1、2、3 组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成要求组成不相等
6、的三位数所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有 3 种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4 种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成34 4=48 个不相等的三位数要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取 0，有 3 种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3 中取走一个，故只剩下0 和其余两个数字，故有3 种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有 2 种取法，由乘法原理，共有33 2=18 个没有重复数字的三位数解：由乘法原理共可组成344=48（个）不同的三位数；共可组成332=18（个）没有重复数字
7、的三位数例 6 由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析 要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5 中的一个，有3 种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5 种取法；百位上有4 种取法；千位上有3 种取法，故可由乘法原理解决解：由 1、2、3、4、5、6 共可组成3453=180 个没有重复数字的四位奇数例 7 右图中共有16 个方格，要把A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？分析 由于四个棋子要一个一个地放入方格内
8、故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子 A，A可以放在 16 个方格中的任意一个中，故有16 种不同的放法；第二步放棋子B，由于 A 已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9 个方格可以放 B，B有 9 种放法；第三步放C，再去掉B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放 C，C 有 4 种放法；最后一步放D，再去掉C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放 D，D 有 1 种放法，本题要由乘法原理解决解：由乘法原理，共有169 41=576 种不同的放法例 8 现有一角的人民币4 张，贰角的人民币2 张，壹元的人民币3 张，如果从中至少取一张，至多取9 张，那么
9、，共可以配成多少种不同的钱数？分析 要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的但注意到，取 2 张一角的人民币和取1 张贰角的人民币，得到的钱数是相同的这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币 4 张和贰角的人民币2 张统一起来考虑 即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8 种情况（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取 4 张壹角的人民币与取2 张贰角的人民币是一种情况）这样一来，可以把它们看成是8 张壹角的人民币整个问题就变成了从8 张壹角的
10、人民币和3 张壹元的人民币中分别取钱这样，第一步，从 8 张壹角的人民币中取，共9 种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3 张壹元的人民币中取共4 种取法，即 0、1、2、3由乘法原理，共有94=36 种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉解：取出的总钱数是94-1=35 种不同的情形习题一1某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3 条路可以走，从乙地到丙地有2 条路可以走，从丙地到丁地有4 条路可以走 问，罪犯共有多少种逃走的方法？2如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点
11、不共线）在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形问：一共可以画出多少个这样的三角形？3在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数共可以组成多少个不同的减法算式？4一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上问：共有多少种不同的站位方法？5由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个三位数？三位偶数？没有重复数字的三位偶数？百位为 8 的没有重复数字的三位数？百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？6某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是09 中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？习题一解答1324=24（种）2143=12（个）390 9=810（个）4443 21=96（种）5 888=512（个）；48 8=256（个）；476=168（个）；176=42（个）；136=18（个）691010 101010=900000（部）