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1、图形探索题目 2 作者：日期：确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别 3/8 未名教育 年级 学科教案 学生姓名：教师姓名：授课日期：图形内的探索问题 例题 1：2010 年中考题 设111ABCV的面积是1S,222A B CV的面积为2S(12SS),当111222ABCA B CV:V，且120.30.4SS时，则 称111
2、ABCV与222A B CV有一定的“全等度”如图 7，已知梯形ABCD,AD|BC30B，60BCD，连结AC.（1）若ADDC,求证：DACV与ABCV有一定的“全等度”；（2）你认为：DACV与ABCV有一定的“全等度”正确吗？若正确说明理由；若不正确，请举出一个反例说明 解答（1）证明：.60ADDCDACDCAADBCDACACBBCD QQQ，30DCAACB .1 分 3030BDACB Q，.DACABC 2 分 过点D作DEAC于点 E.ADDCQ，2.ACEC 3 分 在 RtDEC中，330cos.2ECDCADCADCQ，2.3DCEC 4 分 1.3DCAC 213D
3、ECAOCSDCSACVV 0.33.5 分 0.3DECAOCSSVVQ 0.4，DACABC 与有一定的“全等度”.6 分 确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别 4/8（2）解：DACABC与有一定的“全等度”不正确.7 分 反例：若40ACB，则DACABC与不具有一定的“全等度”.3060110BBCDBACADBC Q
4、Q,，.，120D.8 分 DACABC 与都是钝角三角形，且两钝角不相等.DACABC 与不相似 9 分 若40ACB，则DACABC与不具有一定的“全等度”.10 分 例题 2.（2011 龙岩）（12 分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45角的三角板 ADE 固定不动，把含 30角的三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转（=BAD 且 0180），使两块三角板至少有一组边平行。（1）如图，=_时，BCDE；（2）请你分别在图、图的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出，并完成各项填空：图中=_时，_；图中=_时，_。ABCDE（第22题图）ADEBC图图图ADEADE 解答、（1）
5、15（2）图中=60时，BCDA，图中=105时，BCEA 图图ADEBCADEBC 例题 3 2011 年莆田市 25.(本小题满分 14 分)已知菱形 ABCD 的边长为 1ADC=60，等边AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F。（1）（4 分）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 交点 O 即为等边AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点 P （4 分）猜想验证：如图 2猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；（6 分）拓展运用：如图 3，当AEF
6、面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M，交确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别 5/8 ABCD第25题 图2EFIJPABCDEFP第25题 图3GMN边 DC 的延长线于点 N，试判断11DMDN是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。解：（1）证明：如图 I，分别连接 OE、0F 四边形 ABCD
7、是菱形 ACBD，BD 平分ADCAO=DC=BC COD=COB=AOD=90 ADO=12ADC=1260=30 又E、F 分别为 DC、CB 中点 OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD 0E=OF=OA 点 O 即为AEF 的外心。（2）猜想：外心 P 一定落在直线 DB 上。证明：如图 2，分别连接 PE、PA，过点 P 分别作 PICD 于 I，P JAD 于 J PIE=PJD=90，ADC=60 IPJ=360-PIE-PJD-JDI=120 点 P 是等边AEF 的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPA PIEPJA，PI=PJ 点 P 在A
8、DC 的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上。11DMDN为定值 2.当 AEDC 时AEF 面积最小，此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点 连接 BD、AC 交于点 P，由（1）可得点 P 即为AEF 的外心 解法一：如图 3设 MN 交 BC 于点 G 设 DM=x，DN=y(x 0yO)，则 CN=1y BCDA GBPMDPBG=DM=x 1CGx BCDA，GBPNDM CNCGDNDM，11yxyx 2xyxy 112xy，即112DMDN 其它解法略。例题 4；如图，在 RtABC 中，AB=AC，P 是边 AB（含端点）上的动点，过 P 作 BC 的垂线 PR，R 为垂足
9、，PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS 上存在一点 T，若以线段 PT 为一边作正方形 PTEF，确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别 6/8 其顶点 E、F 恰好分别在边 BC、AC 上.（1）ABC与SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段 TS 与 PA的长度之间的关系；（3）设边 AB=1，当 P 在
10、边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值.【解析】要想证明ABC与SBR相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到 TS=PA，只要证明TPSPFA即可；对于（3），需要建立正方形 PTEF 的面积 y 与 AP 的函数关系式，利用函数的极值来解决.【答案】解：(1)RS 是直角PRB 的平分线，PRSBRS45.在ABC 与SBR 中，CBRS45，B 是公共角，ABCSBR.(2)线段 TS 的长度与 PA相等.四边形 PTEF 是正方形，PFPT，SPTFPA180 TPF90,在 RtPFA中，PFA FPA90,PFATPS，RtPAFRt
11、TSP，PATS.当点 P 运动到使得 T 与 R重合时，这时PFA与TSP 都是等腰直角三角形且底边相等，即有 PATS.由以上可知，线段 ST 的长度与 PA相等.(3)由题意，RS 是等腰 RtPRB 的底边 PB 上的高，PSBS,BSPSPA1,PS12PA.设 PA的长为 x，易知 AF=PS，则 yPF2PA2PS2,得 yx2(12x)2,即 y2511424xx，(5 分)根据二次函数的性质，当 x15时，y 有最小值为15.如图 2，当点 P 运动使得 T 与 R重合时，PATS 为最大.易证等腰 RtPAF等腰 RtPSR等腰 RtBSR，PA13.如图 3，当 P 与
12、A重合时，得 x0.确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别 7/8 x 的取值范围是 0 x13.当 x 的值由 0 增大到15时，y 的值由14减小到15 当 x 的值由15增大到13时，y 的值由15增大到29 152914，在点 P 的运动过程中，正方形 PTEF 面积 y 的最小值是15，y 的最大值是14.例题 5已知：
13、如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE（）求证：四边形AFCE是菱形；（）若10cmAE，ABF的面积为224cm，求ABF的周长；（）在线段AC上是否存在一点P，使得 2AE2AC AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由 解答（）证明：由题意可知 OAOC，EFAO ADBC AEOCFO，EAOFCO AOECOF AECE，又 AECF 四边形 AECF 是平行四边形 ACEF 四边形 AEFC 是菱形4 分（2）四边形 AECF 是菱形 AFAE10 设 AB，
14、BF，ABF 的面积为 24 a2b2100，ab48 (ab）2196 14 或14（不合题意，舍去）ABF 的周长为10248 分（）存在，过点 E 作 AD 的垂线，交 AC 于点 P，点 P 就是符合条件的点 证明：AEPAOE90，EAOEAP AOEAEP AEAOAPAE AE2AO AP 四边形 AECF 是菱形，AO21AC AE221AC AP 2AE2AC AP12 分 练习题：1.梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P从点 A开始，沿 AD边，以 1 厘米/秒的速度向点 D运动；动点 Q从点 C开始，沿 CB边，以
15、 3 厘米/秒的速度向 B点运动。已知 P、Q两点分别从 A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为 t 秒，问：确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别 8/8 图3GFBCADLE（1）t 为何值时，四边形 PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形 PQCD 可能是菱形吗？为什么？（3）t
16、 为何值时，四边形 PQCD 是直角梯形？（4）t 为何值时，四边形 PQCD 是等腰梯形？2（1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 于点 G，CHBD于点 H，试证明 CH=EF+EG;图2图1GFHDHGFDABBACECE(2)若点 E 在的延长线上，如图 2，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 的延长线于点 G，CHBD 于点 H，则EF、EG、H 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；.(3)如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC,连结 CL，点 E 是
17、CL 上任一点,EFBD 于点 F，EGBC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；3、两块等腰直角三角板ABC 和DEC 如图摆放，其中ACB=DCE=90，F 是 DE 的中点，H 是 AE 的中点，G是 BD 的中点（1）如图 1，若点 D、E 分别在 AC、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想 FH 和 FG 的数量关系为_ 和位置关系为_ ；（2）如图 2，若将三角板DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（2）如图 3，将图 1 中的DEC 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.ABCDPQA B D E C H F G 图 3 A B D E C H F G 图 1 图 2 A B D E C H F G 确吗若正确说明理由若不正确请举出一个反例说明解答证明分分过点作分在中于点分分与有一定的全等度分解与有一有一定的全等度分例题龙岩分一副直角三角板叠放如图所示现将含角的三角板固定不动把含角的三角板绕顶点顺时针项填空图中时图中时第题图图图图解答图中时图中时图图例题年莆田市本小题满分分已知菱形的边长为等边两边分别