数学专业几个重要不等式的证明及其应用本科论文.doc

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1、 学号 20090501050229 兰州城市学院本科毕业论文几个重要不等式的证明及其应用 学 院 名 称：数学学院专 业 名 称：数学与应用数学 学 生 姓 名： 指 导 教 师： 二一三年四月BACHELORS DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYResearch and application of equivalent substitute in limit and progression theory College ：Mathematics CollegeSubject ：Mathematics and Applied Mathematic

2、sName ： Sun taoxia Directed by ：Liu yongli April 2013郑 重 声 明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明本学位论文的知识产权归属于培养单位本人签名： 孙桃霞 日期： 2013年4月日 3摘要 不等式早就在各个数学领域里发挥着重要的作用，这是人所共知的一些常见的不等式更是给在学习和生活中碰到的数学问题提供了很好的解决方法不等式这方面

3、的知识，渗透在数学各个分支中，有着十分广泛的应用本文通过对几种常见的不等式的阐述总结了基本不等式、几何算术平均不等式、排序不等式、伯努利不等式和柯西不等式的一些相关性质、定理以及它们在数学中的一些应用关键词：基本不等式；排序不等式；几何算术平均不等式；柯西不等式；伯努利不等式.The application of inequality in mathematicsAbstract：As we all know， inequality plays a key role in various areas of mathematics many years ago. Some common ineq

4、ualities give many better ways in solving the problems which we faced in our study and life. The theory of inequalities has a very wide range of applications penetrating in various branches of mathematics. Based on the description of several common inequalities， the paper summarizes some related pro

5、perties and theorems of the basic inequality， Geometric mean and Arithmetic mean inequality， sorting inequality， Bernoullis inequality and Cauchy inequality. Also the paper discusses their applications in mathematics.Key words：fundamental inequality; permutation inequality; Geometric mean and Arithm

6、etic mean inequality; Cauchy inequality; Bernoulli inequality.目录前 言6第一章 不等式的定义及研究背景71.1不等式的定义71.2不等式的研究背景7第二章 基本不等92.2 基本不等式的应用9第三章 几何-算术平均不等式103.1 几何-算术平均不等式的定义103.2 几何-算术平均不等式的证明113.3 几何-算术平均不等式的应用13第四章 排序不等式154.1排序不等式的定义及证明154.2 排序不等式的应用17第五章 伯努利不等式195.1 伯努利不等式的定义及证明195.2 伯努利不等式的应用19第六章 柯西不等式216.

7、1 柯西不等式的内容及证明216.1.1 柯西不等式的基本形式216.1.2 柯西不等式的证明226.2 柯西不等式的应用246.2.1 证明不等式246.2.3 求函数的值域问题256.2.4 解方程或方程组26前 言不等式自其诞生之日就受到人们的关注，关于它的研究经久不衰历史上就有不少数学家就不等式方面做出了重大贡献，如1960年，李岳生先生最早对Bihar积分不等式做出了推广；柯西提出的Cauchy-Schwarz不等式；丹尼尔伯努利等也对不等式理论的发展做出卓越贡献不等式早就在各个数学领域里发挥着重要的作用，这是人所共知的一些常见的不等式更是给在学习和生活中碰到的数学问题提供了很好的解

8、决方法不等式这方面的知识，渗透在数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个数学之中匡继昌在文献1中指出了不等式的一些基本性质和平均不等式的相关内容；邢家省，张愿章等在文献2中给出几何平均算术平均不等式的初等证明，这样就可使此不等式的使用大为提前，并可以通过一些实例来体现此不等式的使用价值；王琼在文献3中给出不等式的多种多样的证明方法，柯西不等式是数学领域中最重要的一个

9、不等式之一，对于不同的空间对应着不同的形式；陈亚萍在文献8中给出了柯西不等式的证明方法，进一步探讨它的两种推广形式及应用说明柯西不等式与它的推广的使用方法和技巧，揭示柯西不等式在数学领域中的广泛应用；王阳和崔春红在文献4中给出柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式的几种方法，并以适当的例题，说明运用这些方法时的基本思路和解题技巧；刘兴祥，罗云庵和王海娟也在文献7中给出了利用柯西不等式解决部分分式不等式证明内容本文总结了基本不等式、几何算术平均不等式、排序不等式、伯努利不等式和柯西不等式的一些重要性质，给出这几类重要不等式在数学中的应用第一章 不等式的定义及研究背景1.1不等式的定义定义用不等号将两

10、个解析式连结起来所成的式子在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子那它就是一个不等式不等式分为严格不等式与非严格不等式一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式1.2不等式的研究背景 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件，:Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy，Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言

11、中对不等式的哲学给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在的”，而且应该给出等号成立的证明A. M.Fink认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为，基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy，J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴的数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论 20世纪70年代以来，国际上每

12、四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议，并出版专门的会议论文集不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献，最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视 20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数

13、不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在中国科学上的论文论一个不等式及其若干应用，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为一个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克(HK)不等式 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果如常用不等式（匡继昌）矩阵论中不等式（王松桂、贾忠贞）另外，国内还有一个不等式研究小组，主办不等式研究通讯的内部交流刊物第二章 基本不等2.1 基本不等式的定义及证明 定义1对于

14、任意实数和，有，当且仅当时等号成立 定义2对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立 证明 （方法一） = = 所以 ，当且仅当时，等号成立 （方法二） 因为，要证，只要证，亦证，即 恒成立所以 当且仅当时，等号成立2.2 基本不等式的应用 例 求证：对于任意实数、，有，当且仅当时等号成立证明 由基本不等式定义1，得：，把上述不等式的两边相加，得 当且仅当 时等号成立 例 在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？ 解 设矩形的长、宽分别为、且（定值），则同样面积的正方形的边长为矩形周长，正方形周长.由基本不等式定义2，得 即 则由题意得，所以，当且仅当，等号成立即矩形为正方形时，矩形的周长最小

15、第三章 几何-算术平均不等式3.1 几何-算术平均不等式的定义 (1)对于任意的个数，这个数的算术平均值为 (2)若是任意个非负的实数，这个数的几何平均值为(3)几何-算术平均不等式是：;即若 是任意个非负的实数时，其算术平均值必大于或者等于其几何平均值，等号成立的条件为：3.2 几何-算术平均不等式的证明 定理1 对任意，成立，且等号成立当且仅当. 证明 直接利用因式分解法 则 成立，且等号成立当且仅当 定理2 对任意，成立，且等号成立当且仅当. 证明 利用因式分解法 则 成立，等号成立当且仅当.根据定理1，定理2，我们得出如下推论： 推论1 对任意x，成立，等号成立当且仅当. 推论2 对任

16、意，成立，等号成立当且仅当.推论1，2在初等数学求极值、极限、最值中起到了很大的作用根据以上定理和推论我们猜想n元几何算术平均不等式：对任意n（n2）个非负实数成立，等号成立当且仅当. 证明方法1（利用二项式定理） 已知有k+1(k为正整数)个非负实数不妨设是这k+1个非负实数中最大的数，我们记的算术平均值为则 利用二项式定理，得： 我们只需证得，即，转换得，根据数学归纳法n=2时，不等式成立；假设n=k时成立，则根据以上的二项式定理可证得，即当n=k+1时，不等式成立故猜想的n元几何-算术平均不等式成立 证明方法2（函数凹凸性） 构造函数在其定义域内处处可导，对其进行一阶二阶求导得 ， 由函

17、数的凹凸性得函数是上凸函数，则有 为方便我们证明，将，可以将参数代入函数得 即 根据函数的单调性，有 （）即证3.3 几何-算术平均不等式的应用 例1 已知，求代数的最小值 解 则此代数的最小值为9 例2 直线L过点Q（2，1），交X ， Y轴正向于E，F 两点， 求L的方程，使三角形EOF 的面积最小 解 设直线L的方程为:，交点E，交点F，由直线的性质可得 斜率， 则有： 当且仅当，即时，三角形EOF的面积最小为4故直线L的方程为： 例3 一段长为m的篱笆围成一个一边靠河的矩形果园，怎么调整果园的长，宽使果园的面积S最大，最大面积是多少？ 解 设矩形果园的长为x，则宽为，果园的面积：，等号

18、成立当且仅当，得，此时果园有最大面积 例伴随着北京奥运会的成功举行，我国经济日益繁荣，某公司于2008成立了甲、乙两家分公司2009年甲公司获得利润320 万元， 乙公司获得利润720 万元，以后每年甲公司获得利润为上年利润的 ，而乙公司获得利润是上年利润的 ，预期目标为两分公司利润之和是1600 万元. 从2009年初起，（1）哪一年两分公司获得利润之和最少？（2）需要经过几年会达到某司的目标？ 解 （1）设2009年初起，两分公司第n年的利润之和为： 当且仅当时，等号成立，则第2年即2010年两分公司的利润之和最少为960万元 （2）根据题意可得：将不等式化简得 设 ，可得通过解不等式得，

19、即通过5年可以达到某公司的目标第四章 排序不等式4.1排序不等式的定义及证明 设有两组实数 ， 满足，另设 是实数组 的一个排列，记 逆序积和 ，乱序积和 ，似序积和 ，那么 且等号成立当且仅当 或着 引理1（Abel变换） 设，为任意两组有序的实数组，令 ，那么 事实上： 引理2 设实数组满足式，实数组是实数组的任意一个排列，那么显然有 引理3 设实数组满足，那么， 若存在使等号成立当且仅当 证明 首先： 不妨设 那么由引理2，有 则由Abel变换以及 ，得到 所以 即 同理，设 则可证 要使得等号成立，即 则对有： ， 那么有下列两种情形： 存在，使得 ，这时必有 从而 所以 由引理3得

20、4.2 排序不等式的应用 例1 某班同学举行新年猜谜比赛，需要购买价格不同的奖品4 件、5 件、6 件，现在选购超市中单价为1 元、2 元和3 元的奖品，花钱最少与最多应分别为( ) A. 28 元和32 元 B. 26 元和34 元 C. 29 元和31 元 D. 28 元和34 元 解析 由排序不等式，花钱最少的应为反序和：元，花钱最多的应是顺序和：元，故选A 评注：本题是排序不等式的简单应用，需要把实际问题数学化这里给定的两组 数4、5、6 和1、2、3 不仅数目相同而且可以排序，因而可以直接使用排序不等式由此可以看出运用了排序不等式之后，许多生活中复杂的问题将变得简单 例2 在中，为所

21、对的边， 则_（填） 分析：本题左式的分子教容易让人联想到排序不等式，且当时，有，故是顺序和若注意到，则问题易解 解不妨设，则由排序不等式，得，又，三个式子相加得即 ，故填 评注：根据排序不等式，有顺序和大于乱序和而乱序和的形式不止一种，故经常利用这一点构造多个不等式进行累加，从而得到所需的不等式，这是运用排序不等式的一种常用策略 例设为正数，求证 分析：本题需把要求证的式子适当变形，是左右两边的形式对称，才能创造使用排序不等式的条件 证明所证不等式等价于由不等式的轮换对称性，不妨设，则，为顺序和，为乱序和即 第五章 伯努利不等式 5.1 伯努利不等式的定义及证明 伯努利不等式 对任意整数，和

22、任意实数，成立；如果是偶数，则不等式对任意实数成立可以看到在，或时等号成立；而对任意正整数和任意实数，有严格不等式： 伯努利不等式的一般式为：，当且仅当n=1时等号成立证明：设，则 证明 用数学归纳法证明 当时，易知上述不等式成立， 当时，有：成立，则 当时 即 ，有5.2 伯努利不等式的应用 例1 任给定，证明 成立 证明 当时，显然成立；设，应用伯努利不等式 ，取，得 ；取 ，得 ，从而 于是 综上不等式有， 又因为 ，所以 . 例2 设，则有 存在 证明显然，从而是单调增加的，下证是有界 利用伯努利不等式，得出于是，即得 是有界的，所以存在 例3 （1）设，则成立，； （2）设，则成立，

23、； 证明 （1）因为，不妨设，则 由泰勒展式 得 ， 成立 (2)因为，不妨设 ，则由泰勒展式由此即得，式成立第六章 柯西不等式6.1 柯西不等式的内容及证明 我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，柯西不等式拥有多种形式，下面我们给出6.1.1 柯西不等式的基本形式 柯西不等式的基本形式设 (i=1，2，3，.n)，（i=1，2，.n）都不全为零则： （1-1），当且仅当时，不等式等号成立这就是著名的柯西（cauchy）不等式的基本形式也是运用最广泛的形式6.1.2 柯西不等式的证明 下面我们来用几种不同的方法来证明这个基本形式的柯西不等式 方法一：数学归纳法 当n=1时

24、，不等式显然成立 当n=2时，左边= 右边=因为 ，故有 ，当且仅当，即时等号成立 假设时，不等式成立当且仅当时不等式成立那么当时 当且仅当时等号成立，于是 n=k+1时不等式成立，对于，柯西不等式成立 方法二 构造二次函数首先我们来构造一个二次函数 将函数展开 对于任意的x，恒成立由判别式可得即（1-2），（）当上式（1-2）取等号也就是，即 ，也就是 时等号成立综上不等式（1-1）成立 方法三 比值法显然，当及全为零时，不等式成立所以只需证明（）都不全为零时的情形若（）都不全为零记，即 而 于是 当且仅当 ，即时等号成立从而有综上柯西不等式（1-1）成立6.2 柯西不等式的应用 柯西不等式

25、通常应用于证明代数不等式、几何不等式、三角不等式，同时它在实数的大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值方面都有广阔的应用并且柯西不等式可以应用在不同领域6.2.1 证明不等式 用柯西不等式证明不等式，关键是要根据题目的特点，构造出适当的两组实数可以变形、拆项、添项、还要会用隐形及其分拆在不等式的证明中，有些不等式的证明用常规方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单 例1 已知 为正数且各不相等，求证: 证明 又各不相等，故等号成立 例求证： 证明6.2.2 求最值问题 不等式中最常见的就是最值问题，柯西不等式便是用来求函数的最大最小值问题的最常见的 例1 求函数的最大值并指出x为何值时取最大

26、解 有柯西不等式得 当且仅当 ，即时取最大值 例2 已知实数满足，试求的最值 解 由柯西不等式得，有 即 由条件可得 解得 当且仅当 时等号成立，代入时 6.2.3 求函数的值域问题 当一个求取值范围（值域）的函数中出现两个或两个以上的平方和，或者与平方和有关时，就可以考虑用柯西不等式来求解函数的值域问题 例1 设且，求的取值范围 解 则 所以 例2 求函数的值域 解 将原函数可写为： 即 由柯西不等式可知 所以 或 6.2.4 解方程或方程组 例1 解方程 解 原方程可以变形为： 由柯西不等式得， 其中等号成立的充要条件是：解得 所以原方程的解为 参考文献1匡继昌.常用不等式M.长沙:湖南教

27、育出版社，1989.2邢家省，张愿章等.几何算术平均不等式的初等证明与应用J.河南科学，2007， 25(3):353-357.3王琼.概率方法在不等式证明中的应用J.西藏大学学报，2002，17(2):75-78.4王阳，崔春红.几类定积分不等式的证明J.和田师范专科学校学报（汉文综合版），2009，28:208-209.5余元希等.初等代数研究M.高教出版社，1989.6王萼芳，石生明.高等代数M.高等教育出版社，2003. 7刘兴祥，罗云庵，王海娟.柯西-施瓦兹不等式的应用J.延安大学学报(自然科学版)，2005，4:22-23.8陈亚萍.柯西不等式的证明与推广应用J黔南民族师专学报.1

28、999(12):76-79.9朱胜.统计学原理M.北京：中国统计出版社，2002：214-215.10华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.北京:高等教育出版社，2001.11钱展望，朱华伟.奥林匹克数学(高二分册)M.武汉:湖北教育出版社，2002.12裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社，2002.13徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲M.北京:高等教育出版社，1984.14张筑生.数学分析新讲(第一册)M.北京:北京大学出版社，1990.15常庚哲，史济怀. 数学分析教程(上册)M.北京:高等教育出版社，2003.16徐幼明.柯西不等式的推广及其应用J.数学通讯，1996，（12）：25-27.17张伟新.柯西不等式一个推论的应用J.数学通讯，2006，（10）：45-46.18周秀君，周天刚.柯西不等式的应用与推广J.牡丹江教育院学报，2009，（3）：65-66.19Ballantine C S. Products of idempotent matricesJ .Linear Algebra Appl， 1987，19:81-86.27