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1、数值分析数值分析第十章 常微分方程数值解第一节 求解初值问题数值方法的基本原理第二节 高精度的单步法 第三节 线性多步法第四节 一阶微分方程组的解法第五节 边值问题的打靶法和差分法数值分析数值分析考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要 f(x,y)在a,b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x,y 无关的常数 L 使对任意定义在 a,b 上的 y1(x)和 y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 h
2、i=h(常数)。第一节 求解初值问题数值方法的基本原理数值解(10-1)一、初值问题的数值解数值分析数值分析求解(10-1)最基本的方法是单步法单步法:从初值 开始,依次求出,后一步的值 只依靠前一步的典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例:求解常微分方程初值问题数值分析数值分析由此可见,Euler 公式的近似值接近方程的精确值.数值分析数值分析x0 x1向前差商近似导数记为二、构造初值问题数值方法的基本途径以Euler 法为例说明构造IVP 问题数值方法的三种基本途径1.数值微分法,用差商代替微商亦称为欧拉折线法 2.Taylor 展开法数值分析数值分析忽略高阶项,取近似值可
3、得到Euler 公式3.数值积分法区间 将 区间 积分 数值分析数值分析隐式欧拉法/*implicit Euler method*/向后差商近似导数x0 x1)(,()(1 1 0 1x y x f h y x y+由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。三、Euler 法的改进及梯形公式数值分析数值分析梯形公式/*trapezoid formula*/显、隐式两种算法的平均 中点欧拉公式/*midpoint formula*/中心差商近似导数x0
4、 x2x1改进欧拉法/*modified Eulers method*/Step 1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(n n ny x f h y+=1+nyStep 2:再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+ny),(),(21 1+=n n n n nx f y x fhy y1+ny数值分析数值分析注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。数值分析数值分析数值分析数值分析局部截断误差:设 是初值问题(10.1)的解,
5、用单步法计算到第n 步没有误差,即,则定义四、单步法的误差分析和稳定性1.整体截断误差和局部截断误差整体截断误差:数值解 和精确解 之差 整体截断误差除与 步计算有关外,还与 的计算 有关 分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:其中 称为增量函数。如对于Euler 公式其增量函数数值分析数值分析 称为单步法在点 处的局部截断误差。定义若 某 算 法 的 局 部 截 断 误 差 为，则 称该算法有p 阶精度。欧拉法的局部截断误差,由Taylor 展开:欧拉法具有 1 阶精度。类似可以证明改进的Euler 方法具有2阶精度2.收敛性和整体截断误差 若 某 算 法 对 于 任 意 固 定
6、的 x=x0+n h，当 h 0(同时 n)时有 yn y(xn)，则称该算法是收敛的。定义数值分析数值分析例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为 欧拉公式为对任意固定的 x=xn=nh，有关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理定理:对IVP(10.1)式的单步法,若局部截断误差为,且函数 对y满足Lipschitz 条件,即存在L0,使得数值分析数值分析对一切 成立,则该方法收敛,且有 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶 对改进的Euler 法,于是有 设L 为f 关于y 的Lipschitz 常数,则由上式可得限定h 即可知Q 满足Lipsch
7、itz 条件,故而改进的Euler 法收敛.数值分析数值分析例：考察初值问题 在区间0,0.5 上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解 改进欧拉法 欧拉隐式欧拉显式 节点 xi 1.00002.0000 4.00008.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 101 6.2500 1021.5625 1023.9063 1039.7656 1041.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 1022.4788 1031
8、.2341 1046.1442 1063.0590 1073.稳定性数值分析数值分析定义若 某 算 法 在 计 算 过 程 中 任 一 步 产 生 的 误 差 在 以 后 的 计算 中 都 逐 步 衰 减，则 称 该 算 法 是 绝 对 稳 定 的/*absolutely stable*/。一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*test equation*/常数，可以是复数当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定，的全体构成绝对稳定区域。我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。hl h=h
9、数值分析数值分析例：考察显式欧拉法由此可见，要保证初始误差0 以后逐步衰减，必须满足：0-1-2ReImg例：考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：2 1 0 ReImg注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。数值分析数值分析第二节 高精度的单步法在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法一、Runge-Kutta 法的基本思想（1）数值分析数值分析数值分析数值分析Runge-Kutta 法的基本思想（2）数值分析数值分析数值分析数值分析Runge-Kutta 法的基本思想（3）数值分析数值分析二、二阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析三、三阶龙格库塔方法数值分析数值分析四、四阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析两点说明:数值分析数值分析五、变步长的龙格库塔方法数值分析数值分析R-K 方法的绝对稳定区域数值分析数值分析