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1、信号与系统课后习题答案1.3习题精解1.判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，求出它的基频和公共周期。(1)/(/)=4-3s i n(5 r)4-s i n(30 r)(2)f(r)=CO S(10R)CO S(30R)(3)f(t)=c o s(l O r)-c o s(20r)(4)/(/)=c o s(2r)-V 2 c o s(2r -)解：(i)A=1n2 Q2 30 6因此，公共周期 二 27/r =lx2 4 =2,C 1 5/r 5基频/o=；=2.5 z1(),(2)f(t)=c o s(10 r)c o s(30)=0.5(c o s 2 0/rt +C O S40R)
2、%_ C _ 20 _ 1n2 Q2 40 2因此,公共周期”2万 1 2万=n,=1 x-Ci 2 0%1 s10基频工)=10z丁。(3)由于两个分量的频率比值生=也 是 无 理 数，因此无法找出公共周期。所以是非周期%20的。(4)两个分量是同频率的，基 频fa=l/n H z。因此，公共周期7=-1=万5。f o2.指出并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能里 后 节。(1)w(z)+5 u(t 1)2 u(t2)(2)u(t)+5 u(t 1)6w(/2)(3)e5u(t)(4)(e-5 +l)n(r)解：(1)波形如题2解图(a)所示。显然是功率
3、信号。P=im=l i m U d t+/36d r+116d r =16Wr o o 2 T J-T TO C/,L J()JI J2题2解 图(a)题2解 图(b)(2)波形如题2解图(b)所示。显然是能量信号。E=f l2Jr +12 62Jr =1 x 1 +62 x 1 =37 J 能量信号 =l i m)2力=7-皿d=-!-旧 =0.1 JT c o JO J 0 0 0(4)功率信号，显然有 P =1W3.周期信号如题图3所示，试计算信号的功率。解：周期 T=7,一个周期的能量为 =42/r+f(-2)2Jz =16x 3+4x 2=56/信号的功率为4.画出下列信号的波形。(
4、1)1/；)=3 (2-2)(2)力。)=2M)+SQ 2)f3(t)=2u(t)3(t-2)解：力（“力（0 力C）的波形分别如题4 解 图（a）、（c）所示。题4解图12卜(1.5)/（）1/（，）L(2)0(a)1 /2/(b)2(c)5.完成下列信号的计算。（1）（4/+2 项（）；（2）3仅 4 一2。；s i n（2r +W +y）;（4）仇 4）。解：2(1)(4/+2)%)=65(f)；(2)e (4-2 t)=0.5e-3W-2)=0.5 (r-2)(3)s i n(2/+)J(Z +)=s i n(-+)S .t +)-+)3 2 3 2 2 2(4)e-(,-2)u(t)
5、6(t-4)=e-23(t -4)6.求下列积分。(1)(4 J 必0+3)力；(2)f6(4-t2)d(t +4)d t;J-nJ-3(6 c r i o s i n 3f(3)(6 )50+4)+25(2/+4)力；(4)b(f)-力。J-3J-oo 1解：(1)(4 一产)3 +3)力=(4-9)3Q +3)力=-5J-00 J-/1 1 1 0 3 6 o 2 3 4 6题7图解：,(，)，(“()的波形分别如题7 解 图(a)、(t/.,(O 回)(4)4/3 1-2-|-4/3 -3.2：6(a)(b)(4)题7解图8.对于题8图中的信号/(f),为以下各式作图。(1)y(t)=f
6、(t +3)(2)x(f)=/(2-2)g(t)=f(2-2 t)(4)帕)=/(0.5f 1)(54(3。=1加=1)。3t,LA0 2 4 6)、(c)所示。而)(4)t t 0 1 2|4 6(0 3(5)fe(t)(偶分量)(6)A Q)(奇分量)2、0 3题8图9.周期信号如题9图所示，试计算信号的功率。解：周期T=7,)=%+L54其能量为却,du舅(%+15卜咛J信号的功率为 P=WWT 310.用基本信号或阶跃信号表示题10图中的信号，并求出它们的能量。解：(a)J(t)=2G6(f -3)+2G3(f -3)，可以看成三个矩形。能量为 E,=4x 2+16x 2+4x 2=4
7、8 J(b)/2(。=2G6。-3)+2。(-3)，可以看成一个矩形和一个三角形相加。能量为=4x 6+-x 4x 2 +2 x i x 2 x 4 =34.67 J-3 2(c)-=6。3(-3)-20(3),可以看成一个矩形和两个三角形相加。能量为 R=16x 2+-x l 6x 4=53.33 J3311.画出下列信号的波形。(1)f,(t)=u C OS 7 lt ;(3)f3(t)=sin u(2 -t)J;f5=G6(t)Q2(t-2)；解：各信号的波形如题11解图所示。f2(t)=-u(t +2)-u(t-2);f4(t)G2(t)sg n(t);(6)f6(t)=u(2-11
8、l)s i n(z)5A C)题i i 解图12.求下列积分。(1)c o s Cf 36。)力；(2)f 3(t +2)-3(t-2)d tJ-co4J-oo(3)。(4 2)5，_ 4)由；(4)-2)5(x-f)d t解：(a)c o s 勺。)-5(f)力=-1；J-CO4(b)3(t +2)-3(t-2)d t u(/+2)-u(r -2)J-00(c)/3(4 _/2 _ 4)力=8/,、产 8(x-2)x=2(d)f 3(t-2)3(x-t)d t =J 0 x w 21 3.画出下列各信号的波形。(1)力()=(+1)“()(2)f2(n)=n w(n)-w(n -5)(3)/
9、3()=(-0.5)(4)力()=2-“()解：各波形如题13解图所示。614.解:4人()432142 3 4n题13解图1 2 3 4n对于题14图中的信号/Q),为以下各式作图。(a)(b)(c)(d)(e)(f)工(f+3)；f3(t)=f(2-2 t)；力。)=/(-。勺-1)；(f)(偶分量)；f0(t)(奇分量)。各波形如题14解图所示。八八(，)f22 4题14解图715.求下列函数的卷积积分/；(/)*/-(?)力(。=3)，/2(/)=(/);川)=加=个 咐 工。)=(“/2(r)=e,M(f)/(，)=()，/2(0=0-5)(5)=/2(r)=M(r-l)-w(r-2
10、)现求解如下：/G)=(),f2(t)=(/)；解：)*/2(。=e-3rw(r)x w(/-T)JT=Je-3rt/T =-1 e=|(l-e-3,)w(03 o 3解：/3*力(。=一=卜-*=6-3八%(。工(/)=%(f2(t)=eu(t)解：f(f)*%C)=#3*及 )=M)*eZr=(f)*(1 一 )=(1 一 北=9+叫=(-1(。(4)力(f)=u(t-1),f2(r)=u(t-5)解：f 0 */2(0=w(f -1)*-5)=(r -6)u(t -6)/i(f)=/M(U /2)=(f T)-(f 一2)解：#一 明=9的，段)=加 一 1)一 邦-2)/i(0*/2(
11、0=:(，)*-1)一 3(t -2)=(r -1)2 u(t -1)-(-2)2 u(t -2)16.已知8 /,(/)*t u(t)=t +e-l)w(r)9)*卜%=(l-e-f M，)-(1-1加-1)求 加)现求解如下：(-1)=8(t)+eu(t)-e8(t -8(t-l)+e-(,-l)J(/-1)d t=b(f)+/“(/)_ U(f)_ g _ l)_ eY-%-1)+(i)b(f -1)=/狗_”儿,-1)所以力(。-/(0*H%(/)=)-(1皿-1)把 力*卜(，)=(1 /(1 一 e YT 一 1)代入上式,得泌-(1-/1”)-(1-/(一“-1)=e-u(t)-
12、e-u(t-i)/)=M)i()1 7.已知下列力(),力()的值，求 力()*力。0 却 力）*耳 山 山-?）山=（|/-孑）匕=o，/*耳 力=/彳）力=（/一；/）匕=。L 6 噌 力 力（|-|f）力=（家 T）匕=0 *耳 必=（|/一 j力=（京 6 _/+|加=0在（-1,1）区间内满足；R P；（f）小=0（i*j ）。它们在区间（-1,1）内是正交函数集。112 .证明：05/,85（2）.,）5（而）（1 1 为正整数）,是在区间（0,2万）的正交函数集。它是否是完备的正交函数集？证明：在区间（0,2乃）内，有2开cos(mQ0r)cos(Q()，)d f=0当机w n当
13、机二 w 0T当加=n=0 cosf,cos（2f），,cos（m）（n为正整数）是在区间（0,21）的正交函数集。但不是完备的。因为：在正交函数集 cos，,cos（2。,cos（r）（n为正整数）之外，存在函数sin（mQr）（m W 0）满足：Tsin（7?2Q0r）cos（nQ0r）dr=0,对于所有的 m 和 n。3.题3图给出冲激序列（力=求 纭 的 指 数 傅 里 叶 级 数 和三角傅里叶级数。女=-8加）8(t-Ta)题3图解:工=,内（20力21=an=n=-s o n=-o t 1 1 0,戊（，）=/）=叫）i（f-（+l）4）+ZA-A a）3（f-7；）-b”（+l）
14、7；）10=-o oA12、-+AZ SQ一 0/?+A +2ZC O SQ，=C OSn=X）T1 1”on=In=l、”7 -A c =F L co s n r d r =:sin 阳/10 M=1 1 n=%=5A ,所mz以“,/）、=5A +A；Ts i n5.已知周期信号/的前L周期波形如题5 图所示。根据下列各种情况的要求，画 出 f)在4T2一个周期的波形-(1)f(r)是偶函数,(2)/是偶函数,(3)/(f)是偶函数,(4)f(r)是奇函数,(5)f 是奇函数,(6)f 是奇函数,只含有偶次谐波；只含有奇次谐波；含有偶次谐波和奇次谐波;只含有偶次谐波；只含有奇次谐波。含有偶
15、次谐波和奇次谐波。题5图解：1)/是偶函数，只含有偶次谐波 2)/是偶函数，只含有奇次谐波题5图(a)3)/是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波4)/是奇函数，只含有偶次谐波或题5图(d)5)/)是奇函数，只含有奇次谐波6.周期信号/的双边频谱如题6图所示，求其三角函数表示式。14题6图解：根据为=+，=(工一 “)求得a,=F.+F.=2 I-b3-j(F3-F_3)=-2j/(r)=2cosr-2 j sin 3r7.已知周期矩形信号力及人如题7图所示。求：(1)力的参数为了 =0.5|is,T=1 (is,4=IV,则谱线间隔和带宽为多少？(2)人 的参数为了=1-5 2，T=3.s,A=3
16、 V,则谱线间隔和带宽为多少?(3)力与力 的基波幅度之比为多少？(4)力(/)基波幅度与人的三次谐波幅度之比为多少？题7 图解：/(0=+*Sa(-)cos nQt2 7 T(1)谱线间隔为 Q,=2xl()6 4(m d/s)或 力=1000 KHZT24带 宽 为%=4 乂 1()64(加4/5)或 8 =2 0 0 0/q r.(2)同理可求：谱线间隔为。,=二=2、1()6万(s d/s)或/=USK”Z3 3带宽为 Bg=-x lO6-(raJ/s)或 Bf2=迎&KHzT2 3 r2 315S a 卢S a(吗=T T?T2(3)2 A q7；1x 0.5 x 3x S a(y
17、)曲 禺S a（零）l x 0.5 x 3x 5 a()1（彳 与3x L 5 x l x S(7学l 5)一 3(4)S o(巧:S a(注)1T l 心 T24时 坂（答）“2串“（加豆）S x l.S x l x S 35)18.求题8图所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。题8图解：/(/)=E u(t+1)-1)co s/fT T C)TE u(t +-)-u(t )=ETSCI(一)2 2 2T T I T T T(T I co s-r =R b(a +)+5(a )r T TI T T 7 VL7 l 2 2 T=E rS a()*n 8 Q+-)+J(/2-)2 2 T
18、T者阳竽+9+S吟一=c 厂 CT2E r co s 241-(CT)29 7 T9 .计算下列信号的傅里叶变换。(1)ej t s g n(3-2z)(2)d tj r i(4)|co s(),H l J+4解：(3)e”(-f +l)2 2-i-n(1)F s g n(r)=火 s g n(3-2。=-e 2jQ j c162-/-(/?-!)=火，s g n(3-2r)=-e 2j(a-D(2)3 Qe-u(t)=j e23A e-2u(t)=e2 _ 2 2 _d tj/2+2(3)用“(。=痴(0)+-!-=/”(7+1)O/0 2)芯(。2)-1 j C八0 -2)c d 1 (2
19、 3e2,M(-/+l)o e-M 力=e -闻=-L 2-jC ,2-jC(4)co s(),0,.2r co s k l _ 2_|/|1 万口-(0)21 17 tr=2E=14co s 0 c,八)、c 兀、-=S a(2+-)+S a(0-)1-()2 2 27 t(5)因为 2 .名称性_ 2-6 2 7 t -e2=%N RC+4 2*+4 210.试分别利用下列几种方法证明“-赭(Q)+(1)利用符号函数u(f)=g +g s g n(/)；(2)利用矩形脉冲取极限(r-8)；(3)利用积分定理u(t)=8T)6T;J-co(4)利用单边指数函数取极限 M =l i m e-/
20、0Q TO解：(1)略TTHT CT(2)u t +)u t w(z)u t r)zS a(_-j-Q,2CT，0 7、-空 s m()TrS a(-)e 2=T co s /2-/s i n2 毋 2TC j s i n(/2r)2j.-J =-;-s i n22/2rTs i n(12r)2J 1-co s QT _ s i n(/2r)j co s Q uC C 2 -C C jC17.h.m rS0a/-A-r)、e F2 =lvi m-s-i-n-(-/-2-r-)+-1-lvim-c-o-s-f-2-r-38 2 18 C jQ -8 jQsin(/2r)1 1=hm-+-=疵(。
21、)+-3 8 冗Q jQ jC(3)略(4)F u(t)=l i m l i mz-ao a-0，e-ejdT=l i m l i m 1-,.e-(a+jn),T 8，T()a+j C a+j C_Lfw=l i m (co s/2r-js i n Q)8 j C j C 4s i n/2r c o s Q 1 s i n/2r 1+lim-lim-=-F TV lim-=-F 7 1bis C 18 j C j C -8 冗Q j Ci i.若/的傅里叶变换为尸（2）=g G 2“（a-Q,）+G 2“（a+A），如题i i 图所示，求 并画图。F（j C A1/2_Q)+a 0 Q题11
22、图解：1/八、a sin at-G2U(1 2)-=2 2 万 at2 L7 t at。仁/、八sin at 八=S a(at)c os 4/=-c osQ j7 t 7 lt题11解图1812 .已知信号工一耳（2）=R（C）+j X（。），力的波形如题12 图（a）所示，若有信号力的波形如题12 图（b）所示。求名（加）。/W 4解：f2 Q)=|i z(夕+z(-1)J G (2 闷)+F,(-2 W)工(阳)=甲 2 2)+耳 *(2 心)=2 R(2 0)13 .若已知/(f)一 尸(j 2),确定下列信号的傅里叶变换:(D/(l-f)(2)(l-f)/(l-f)(3)/(2?-5)
23、解：尸(-阳)产=FLMi-j dF（TW=卡 dFdC dC（3）；尸（净/放14.已知三角脉冲力的傅里叶变换为F&0）*S a?（华），试用有关定理求/,（?）=工0 2 r）c os（2 ri 2*4 传（0+q 1）+A）2 万 2 I 4 J二 ET S a 2（a+a）z）c-/2 r（a+%）+$a 2 （。一）/?.。）一 4 I 4 J I 4 J _19=S a?(丝 乎卜2 a +S a 2(L”卜 2。15.若 已 知/c F(./Q),确定下列信号的傅里叶变换。(D(T(2 r)(2)(/-2)/(/)(3)(z-2)/(-2 f)(4)/2dt解：.0、/(2 r)
24、=j-j d(o a 12了（间）J 22 dC(r-2)/(?)o n /(/)=j d FJ-2 F(r?)a 2(3)j(一)?)(4)噜念WF 8）=一 焉需l-Fg16.分别利用线性性质、时域积分性质和时域卷积定理求题1 6 图所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出r=2 情况下该脉冲的频谱图。解：（1）利用线性性质于、（。=2 （；_（）0 +-T 4 2 2 2于2（t）=；E p（5+y）-M（-y）/=）人“）一 火 力 卜 的 力 =E T S Y j 监 Sa2(7-马)I 4 J 2(7-7 1)8 E研7-4).Z2(r+r.)./2(r-r.)si n.-si n.-
25、44（2）利用时域积分性质2 E令 工 =广。），（。=则ii20f,=注演.+三)_ 5(/+五)-演._ 气)+5。一二)，如 题 1 6 解 图(a)所示。r-r,2 2 2 2-si n(0(7斗)卜 1 1 ,工(0)=oF g=星整8 Ej/2(r-r()s in pll 卜 n(pl),%0)=0“所赞=晨露皿产严刖产严卜。)=。(3)当丁=2 4 时 一，“)23皿苧卜与犷呼卜急si n号si 号图形如题1 6 解 图(b)所示。题 16解图(a)题16解图(b)17.已知阶跃信号的傅里叶变换为 6 七+公(Q);正弦、余弦函数的傅里叶变换为c os(f j f)5(/2 +R
26、)+5(X2 Q)；si n(Q j)j TC 3(/2 +R)=争h 0 +A)田0 -A)+同理可求:冗cos(f)z)w(0 +Q)+3(C Q)】+4(O Y)18.求F(2)=-J-的傅里叶反变换。(a +j A)解：-,j-=-n,w(0+jC dn_a+jQ a+j?F(jC)=1(a+jC)2te-au(t)另一种解法：/(f)=eT，(f)*e-(f)=KO19.求信号/)=Z俗 ，咫 3 +以力的傅氏变换。解：TT信号周期为：2T,则,=上,叫/=2 f =4 0 0 H z/(f)*/(2f)c ,F(”)的f=10 0 7/Z,F(当 的2万 2 2 2f =20 0
27、H z,岫 F(jQ)*F 空)的/=/+/=10 0 H Z+20 0 H Z=30 0 W Z,2TT 2 2 rf 2 fc=6 00H zs.1(4)/+/2)一/(2)+F(jC)*F(jC),频带增大为尸(2)的两倍,确2万f c=2 fc=20 0 H z,/2 f =4 0 0 H z3.1 习题精解i求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。(1)(1-e(x1)()a 7(2)(r3 2产 e c o s(Q +。)(4)5(。-(5)te2 tu(t)解：23 仁（，曰 1s(s +c r)收敛域为 6 m a xf 0,-6 。(2)L(/-2+1 9)=4 _ 2 1 +
28、，5 s s6 4 1 s3-4s+6(s +a)2+。收敛域为8 -a.(4)L 冲)-厂 必)=1一=注s +2 s +2收敛域为b -2。(S+2)收敛域为方 一2。2利用拉普拉斯变换性质，求下列信号的拉普拉斯变换。/=t s i n t u(t)(2)/(r)=s i n 加-u(t -V)(3)/(0 =t u(t)-u(t-2)(4)/(f)=t3+t e-3 c o s)”()解：(1)因为 s i n，一5+1利用复频域微分性质，有f s i n f g-幺，一=J、d s s2+(.1+1)2(2)/(r)=s i n E u(t)+s i n 乃。-l)w(r -1)-1
29、=-54 53 S S4收敛域为b0。(3)L e c o s(Q+e)“(f)=L e*s,(c o s C t c o s 0-s i n C t s i n。)_ (s +a)c o s。-O s i n。即FG)=2 s+1)224尸G)71 7152 一+/+V-s1(1+)2 2S+7(3)f (t)-t u(t)(t 2)“(f 2)2u(/2)y 1 /、1 1 2s 2 2,sF(s)=-e 一一 es s s52 4(4)因为 f c o s 2,一 一；-(/+4)22 3!根据拉普拉斯变换时域频移性质，有乙、6 (S+3)2-4F(5)=H-54(5 +3+4 23求下
30、列函数的拉普拉斯反变换。i -s.人 2s-I -|.y(1),(2)丁二(3)(上J-5+1 +e s解：e e(1)户(S)=+-+5+1 5+1 5+1根据时延性质.1 g s e2 s“)=L E+77T+百=eu(t)+e r i%。-1)+e(2)u(t -2)(2)将尸(s)整理成 J：周期形式/(s)=一 二上 1 +0 s l-e-2 s则/Q)是第一周期单个函数为3(f)SQ 1)、周期T =2的周期函数，所以f(t)=S(t)-1)+b(f 2)3Q 3)+8=Z(T)%(T)4=0251 -es n 1 _ es 1 _ es(3)因为b(s)=(-)2=-=片 由(s
31、)s s s由卷积定理知/（。=力 ）*力。）其 中 力 Q)=L-F1(5)=u Q)Q 1)所以=3 Q)-b Q 1)-(r-l)w(r-l)=t u(t)(t l)u(f 1)(Z-l)(f -1)+(f -2)u(f 2)=t u(t)2(f l)u(?1)+(?-2)u(f 2)4用部分分式法求下列函数的拉普拉斯反变换。(1 W)=52+4 s +2(s +l)(s +2)口 S)=4G+1)(5-+2)3(3)尸(s)=3s+95(52+9)/G)=25 +10S2+4 s+13解:（1）由于尸（s）中机=2,首先用长除法运算得=U+4s+2=J +-+-(s +1)(5 +2)
32、(s+1)(5 +2)对真分式展开成部分分式N(s)_kx+k2Z)(5)(s +1)(5 +2)5 +1 S+2其 中 篇$+2=-15=-1+2喘s=-2S+1=2s=-2则原式为/（S）=112-1-s +1 s +2（2）原式展开成部分分式F G)=44-4-4 4-=-1-1-1-(5+1)(5+2)3 5 +1 (5 +2)3($+2)2 S+226所以 f =(4e-2 t2e-2 -4t e-2-4e-2)u(t)(3)E(s)=3：+9 =)+s(s2+9)s3/+9 d+9f(t)=(1+s i n 3t-c o(4)2s+10 =2(s +2)3s -S2+4 s+13-
33、($+2)2+3?(5 +2)2+32/(f)=(2 c o S t +2 sin3t)e2 u(t)5 求下列函数拉普拉斯反变换/(f)的初值。尸(s)=1s+2 FG)=54+152(5 +2)F(s)=2s +2s +1解：(1)/()+)=l i m s F(s)=l i m s!=15COST 8 5 +2(2)由于尸(s)是有理分式，但不是真分式，利用长除法将其分解为F(5)=5-2 +4 5 2+1s，+2 s24 5 +1则/(0 J =l i m s F(s)=l i m 5 -二45 00 5 00s+2s(3)/(0+)=l i m s F(s)=l i m s ；-=1
34、8 2S+2S+1 26 求下列函数拉普拉斯反变换了的终值。/=52(52+4)F(s)=5 +s +2s +1(s +1)(5 +3)(5 +5)解:(l)令 S2($2+4)=0,得极点S=52=，S3=2 J,S4=-2 j有极点在虚轴匕故不能用终值定理，/无终值。(2)因为4 =1k 2=3,.=-5，/(s)的极点均在s 的左半平面，故满足终值定理，因此27v3+c2+2 s+l有/(o o)=lim sF(s)-lim s:-=0z o (5+1)(5+3)(5+5)7已知（1 6一 ）的象函数为F（5）1S(6 +l)Re(5)0求其傅里叶变换。解：尸G）的收敛坐标缶=0,尸）在
35、 轴 上 有 一 个 一 阶 极 点0,在，左半平面有一个一阶极点-1。将尸）展开为部分分式，得歹(s)=!S17+T由式（3.5-6）得（1 ）的傅里叶变换为尸（阳）=/（5）|“+颌0）11gi+痴(C)4.3习题精解1.求出以下序列的Z变换及收敛域。(1)2r,（）(2)(3)2-,w(-n)(4)b()(5)3(一1)(6)2-u(n)-w(n-1 0)解:Z T 2-“()=立,(方=Z 2 f Z-=9”，；n=-o n=0 4 乙(2)ZT-2-,M(-1)=“-氏-”=“=-00/1=-1-2 z =1l-2 z k l-2-00(3)Z T12-nu(-n)=一 (f 二 2
36、一 屋-n=-n n=028这 2 z 二01l-2 z,I z l ；(4)Z T J(n)=l,0 1 z l o o(5)Z T(n-l)=z-1,0 1 z l0=0.5 rad,(p=0.2 5 radn 0 n N(3)x(n)=2 N-n N +1 W n W 2 N,式中N=40其它解：8 3 1 _ -4 -4 _ 1(1)X(z)=/?4(才=2一-=-T；-,0 lz l o o”=-oo n=0 1 1 Z Z(Z-l)z4-l=0.零点为：z*=J7,上=0,1,2,3；z3(z-l)=0,极点为：Z 1,2=0，l零极点分布图如题2解 图(a)所示，图中z =l处的
37、零极点相消。(2)x(ri)=Arn c os(a)0n+(p)u(n)=Arn ei6nej(p+ei(nej p u(n)1 6 S 1X(z)=4 2/“例7%-+2“师7-女一=上4 一2 n=0 n=0 2 1-ip-jp:-r-：-r零点：曷=广 安(%-较，极点：z?=r e-z3=reC O S。零极点分布图如题2解 图(b)所示。(3)令 y()=&()，则x(n+1)=y(n)*y(ri)2 9z x（z）=y（z）f,x（z）=z Ty（z）r因为Y(z)=；z4-lz z-l)-4 _ i 1 74 _ i因此得到 X(z)=-2=4 -2z (z-1)Z Z-l2冗k
38、极点为：Z|=0.z2=1.零点为：zk=eJ 4,k=0,1,2,3；在 z =l处的零极点相消，收敛域为：0 l z K o o,零极点分布图如题2 解 图（c）所示。求出对应X（z）的各种可能的序列表达式。解：X（z）有两个极点：Z 1=0.5,Z2=2,因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：I z 1 0.5 ,0.5 1 z 1 2三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域为lz l 0.5 时，由收敛域可得原序列为左边序列.X(z)=-13_ 21 +l-2 z-2查表4-1 可得x(n)=-3 (g)+2 2 u(-n-1)（2）当收敛域为0.5 lz l 2
39、时，由收敛域可得原序列为右边序列。3 2XQ)=j 57r1 y查表4-1可得x()=3(g)+2-2 W(n)4.已知 x()=%()，0 a a解：I-azt-2(2)Z Tn x(n)=-z X(z)=_d z (l-a z )(3)Z Ta-“()=N a-z-=a z n=0 n=0-3z5.已知X(z)=-字r-分别求：2-5 z+2 z2(1)收敛域0.5 1 z l 2对应的原序列x()。解：X(z)有两个极点：z,=0.5 ,%2=2,，z a-，1 Z l Q -az所以利用部分分式进行展开为:31其中X(z)=A+4b U 74=-Z _ _ _(I-2Z-)L=2=-I
40、3 T一铲 14=-；,-i(1-2/)(；/)2%所以X(z)=X,(z)+X2(z)=-4 +l-2 z i 1-il”z-1 1l-2 z-+.l-iI -P(1)收敛域0.5 lz l 2对应的原序列x(),由收敛域可得X(z)、X2 Q)对应的原序列都为右边序列，查表4-1可得x()=(g)()一2 ()6.分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换：L t 1 X(z)=-f,k l -1 1 7-2 21 z4l-2 z 1(2)X(Z)=,k l ,可得原序列为右边序列，查表4-1可得2以）=口（3 +3-3 （）o 2 o 2长除法4 1 21 1 JZ H-Z1 2 1
41、 61-3.1 -SL L)1 2 1 6 )33(2)部分分式法：X(z)有两个极点：Z 1=0.5,Z2=-0.5,所以利用部分分式进行展开为:-2 zX 二一l-z 24A +-2.1 _ 11+2Z24 l-2 z-4二 1-r2 2-(1-Z-1)L=05)32z=0-1-21二)(1+：/)-d+1 -K._ 52 )-12所以3xf产1 z 1-z4 25+2由收敛域I Z 1 可得原序列为左边序列，查表3-2 可得2x()1)长除法-4z+3 2 2 3 1 位4+1rz2/-2 z-1+l4/-2 z-1+8 zl-8 z1-4Z2 _-8 z +4z2-8z+32z34Z2
42、-32Z34Z2-16Z432Z3+16Z47.设确定性实序列x(n)的自相关函数用下式表示:x(n)n 0X(-1)x(-2)x(-3)x(-4)x(-5)08-432-1612800%(血)=Z x()x(n +m)n=-o o34试用x()的Z变换X(z)和傅里叶变换X d)分别表示自相关函数的Z变换R,C)和傅里叶变换R )。8解:rx v(m)=x(n)x(n+m)n=-o o00 00 oo ooR(z)=X Z x()x(+机)=Z x()x(+机)z-Mm=-/1=oo n=-m=oo令?=+2,则00 00R(z)=x()x(/)z-+”=-0 0 l=-0 0=x()z 机
43、=x(z-)x(z)“=一 0 w f=-0 0oo或者(m)=x(n)x(n+m)=x(m)*x(-m)“=-0 0q=X(/)X(z)R W)=R“(z)“X(T)X(e*因为 x()是实序列，X(e 5)=X*(e，。),因此此,(e )=I X(-3)|2。8.设X(e )和Y(ejM)分别是x()和y()的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换:(1)工(一 0)(3)x(-n)(2)/()(4)x(n)*y(n)(5)x(n)-y(n)(6)nx(n)(7)x(2 n)(8)x2(n)(9)x9(n)=(2)FT/()=x ()e-m=f x()e 7 s*=X*(e R)/=-0O
44、 n =-0 000(3)FT x(-)=Z 式 一 )*/5z?=-co令二一，贝Ij00FTx(-)=E x()eW =X(e*)M=-CC(4)FH x()*y()=X(/3)Y(3)00证明 x()*y()=x(m)y(n-m)l=T K FT x(n)*y(n)=冗 x(m)y(n-m)jM,=-o o =o o令卜=n-m ,贝i j8 8FT x(n)*y()=工(机)火公卜一侬小浓k=-(x m=-co=y(k)eTd Yx(m)e-jMk=c c ,=-o o=X(ejro)Y(-3)00(5)FTx(n)y(n)=x(n)y(n)ejiann=-o oV%()r Y(eia
45、)ej(ond(oe-i(a,=2万412.711 y(e j 三 x()e-3 3)d0H=-0 012 y(e W)X(e f )d J 万或者1FT x()y()J=X(e)*Y(eJ0)2万36(6)因 为X(e%)=，对该式两 边 对o求 导，得到n=-m因此 E )=jdX(e”)d c o8(7)FT x(2)=Z x(2)e-n=-oo令n=2 n,则FT x(2n)=Z x()e-3 /2 取 偶 数=J ；0()+(-l)x()e Tn=-)*X(e)=X(e”)X(e 3-)d(y 2万 2乃卜(9)FT /()=J x(-)e-j m=-0 乙”取 偶 数令 =n/2,
46、o o o o ,贝ijFTX9(H)=x()e T 2加=x(e 3)n=-oo“取 偶 数3 79.已知X(ew L0,g 1691 0)I co s *(m=/5 /2(?)e T W=(/5)/纳i n=上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，口频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。x()=A co s()=A eJ,u e +)，()=1 A ei，0nei(pH(eM)+e-jaone-JPH(ej a)+e-j(ne-jt p f f )|eW(-Oo)上式中是。的偶函数，相位函数是的奇函数，即I )1=1”(u,6(g)=-e(-g)y
47、(n)=I ”(外)网绅+e 7 g e 7 e-m=A H(e)l co s g i +*+e(4)11.试证当x(n)为实序列且具有偶对称或奇对称时，即x()=x(-)或x()=-x(-n)时,频谱具有线性相位。证明：因为当x()为实偶序列时，X(/3)也是实偶函数，相角为0；当x()为实奇序列时，X()为是纯虚奇函数，相角为4/2。3812.设题图12所示的序列双)的傅里叶变换用X(e)表示，不直接求出X i)。)，完成下列运算。(1)X(e，)；(2)(3)X(e)：(4)确定并画出傅里叶变换实部R e X(/3)的时间序列演()；(5)IX(e 0)Fd。；(6)四口加d C O7解
48、：(1)X(e”)=Zx()=6=一3(2)X(ey,aW=x(0)-2 =4 oo7(3)X(e )=e*=Z(T)M )=2n=-)l2J=2 l x(7 2)l2=28乃“n=-3（6）因为dX d)r r f.4:-=F T-jnx(n)d o)因此r,d X(ej(a)cI-I d c o-2 7 i从 d c o7nx(n)I2=3 16n=-313.试求如下序列的傅里叶变换。(1)%()二方(一 3)(2)x2(n)=；S(+l)+b()+g b(-l)(3)x3(n)=anu(n),0 a M=-O0产.1 1 1(2)X2(eja,)=、2(*加=上/+1 +上*刃=1+(，
49、&+e T)=l +co s on=-2 2 2(3)X3(e)=8”()”加=(17-如=-o o =o 1-aeo c 3(4)XK3)=Z “X +3)(-4)峻 刈=Yejmn=-o o n=-33 133加+Xe-w=2*+2en=0 n=-3 n=0 =1/33_e-j4。J/。l-L40,7 .7 .7 .,7一/,/j-G)f s i n(g)e 2(e 2 e 2)_&e-j-2i(o(e j-2i a)-e-j-a2i)s.i nz(1i-)、或者 4(n)=u(n+3)-w(n-4)=/?7(n+3)X4(ej S.i n(-G)、e 2 (e 2-e 2)e 2(e 2
50、 2)、2-e1 -=-.1.1.1 i ,i .1 i-J Cl)J C O -J(I)-1(0 J(I)-1(0.z 1 e 2(e 2 e 2)e 2(e 2-e 2)s”14.设(1)x()是实偶序列，(2)x()是实奇序列，分别分析推导在以上两种假设下，其x()的傅里叶变换的性质。解：令8x (e)=Z x()Mn=-(1)X()是实偶函数，X(T)=x()e-Mn=-)=y x(n)ej03n=os&+j s in con=-oo/i=-co由于X()是奇函数，X()C OS G是奇函数，那么8ZX()C O S G=0n=-因此X(ejM)=j x(n)s in 6 y“=CO该