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1、第二部分测量误差及第二部分测量误差及数据处理数据处理第1页，本讲稿共48页用一个三位半交流电压表，测量市电，结果如下：用一个三位半交流电压表，测量市电，结果如下：用一个三位半交流电压表，测量市电，结果如下：用一个三位半交流电压表，测量市电，结果如下：序序号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9结结果果220.5220.5219.3219.3217.0217.0221.2221.2222.0222.0237.0237.0220.1220.1219.9219.9220.0220.0第2页，本讲稿共48页2.1 2.1 测量误差的分类和测量结果的表征测量误差的分类和测量结果的表征2
2、.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类根据测量误差的性质，测量误差可分为：根据测量误差的性质，测量误差可分为：根据测量误差的性质，测量误差可分为：根据测量误差的性质，测量误差可分为：随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差1.1.1.1.随机误差随机误差随机误差随机误差在在在在同同同同一一一一测测测测量量量量条条条条件件件件下下下下，多多多多次次次次重重重重复复复复测测测测量量量量同同同同一一一一量量量量值值值值时时时时，每每每每次次次次测测测测量量量量误误误
3、误差差差差的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值和和和和符符符符号号号号都都都都以以以以不不不不可可可可预预预预知知知知的的的的方方方方式式式式变变变变化化化化的的的的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。u随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 第3页，本讲稿共48页2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）（续）（续）u2.2.2.2.系统误差系统误差系统误差系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同
4、一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变，或，或，或，或在测量条件在测量条件在测量条件在测量条件改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如的误差，称为系统误差。例如的误差，称为系统误差。例如的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变
5、化的误差。仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。系系系系统统统统误误误误差差差差表表表表明明明明了了了了一一一一个个个个测测测测量量量量结结结结果果果果偏偏偏偏离离离离真真真真值值值值或或或或实实实实际际际际值值值值的的的的程程程程度。系差越小，测量就越准确。度。系差越小，测量就越准确。度。系差越小，测量就越准确。度。系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测
6、量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。第4页，本讲稿共48页2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）（续）（续）u2.2.2.2.粗粗大大误误差差：粗粗粗粗大大大大误误误误差差差差是是是是一一一一种种种种显显显显然然然然与与与与实实实实际际际际值值值值不不不不符符符符的的的的误误误误差差差差。产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：测测测测量量量量操操操操作作作作疏疏疏
7、疏忽忽忽忽和和和和失失失失误误误误 如如如如测测测测错错错错、读读读读错错错错、记记记记错错错错以以以以及及及及实实实实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。测测测测量量量量方方方方法法法法不不不不当当当当或或或或错错错错误误误误 如如如如用用用用普普普普通通通通万万万万用用用用表表表表电电电电压压压压档档档档直直直直接接接接测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压测测测测量量量量环环环环境境境境条条条条件件件件的的的的突突突突然然然然变变变
8、变化化化化 如如如如电电电电源源源源电电电电压压压压突突突突然然然然增增增增高高高高或或或或降降降降低低低低，雷雷雷雷电电电电干干干干扰扰扰扰、机机机机械械械械冲冲冲冲击击击击等等等等引引引引起起起起测测测测量量量量仪仪仪仪器器器器示示示示值值值值的的的的剧剧剧剧烈变化等。烈变化等。烈变化等。烈变化等。u含含含含有有有有粗粗粗粗差差差差的的的的测测测测量量量量值值值值称称称称为为为为坏坏坏坏值值值值或或或或异异异异常常常常值值值值，在在在在数数数数据据据据处处处处理时，应剔除掉。理时，应剔除掉。理时，应剔除掉。理时，应剔除掉。第5页，本讲稿共48页2.1.2 2.1.2 测量结果的表征测量结果
9、的表征u测量值测量值测量值测量值 是粗大误差第6页，本讲稿共48页2.1.2 2.1.2 测量结果的表征测量结果的表征uu准确度准确度准确度准确度表示系统误差的大小表示系统误差的大小表示系统误差的大小表示系统误差的大小系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。uu精密度精密度精密度精密度表示随机误差的影响表示随机误差的影响表示随机误差的影响表示随机误差的影响 精精精精密密密密度度度度越越越越高高高高
10、，表表表表示示示示随随随随机机机机误误误误差差差差越越越越小小小小。随随随随机机机机因因因因素素素素使使使使测测测测量量量量值值值值呈呈呈呈现现现现分分分分散散散散而而而而不确定，但总是分布在平均值附近。不确定，但总是分布在平均值附近。不确定，但总是分布在平均值附近。不确定，但总是分布在平均值附近。uu精确度精确度精确度精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响用来反映系统误差和随机误差的综合影响用来反映系统误差和随机误差的综合影响用来反映系统误差和随机误差的综合影响 精精精精确确确确度度度度越越越越高高高高，表表表表示示示示正正正正确确确确度度度度和和和和精精精精密密密密度度度度都都都都高高
11、高高，意意意意味味味味着着着着系系系系统统统统误误误误差差差差和和和和随随随随机机机机误差都小。误差都小。误差都小。误差都小。射击误差示意图 第7页，本讲稿共48页2.2 2.2 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理u2.2.1 2.2.1 随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法在测量中，在测量中，在测量中，在测量中，随机误差是不可避免的随机误差是不可避免的随机误差是不可避免的随机误差是不可避免的。多多多多次次次次测测测测量量量量，测测测测量量量量值值值值和和和和随随随随机机机机误误误误差差差差服服服服从从从从概概概概率率率率统统统统计计计计规规规规律律律律，可可可可用用
12、用用数数数数理理理理统统统统计计计计的的的的方方方方法法法法处处处处理理理理测测测测量量量量数数数数据据据据，从从从从而而而而减减减减少随机误差少随机误差少随机误差少随机误差对测量结果的影响对测量结果的影响对测量结果的影响对测量结果的影响。第8页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）1.随机误差的分布规律随机误差的分布规律随机误差的分布规律随机误差的分布规律（1 1 1 1）随机变量的数字特征）随机变量的数字特征）随机变量的数字特征）随机变量的数字特征 数学期望数学期望数学期望数学期望:反映其平均特性反映其平均特性反映其平
13、均特性反映其平均特性。其定义如下：。其定义如下：。其定义如下：。其定义如下：uX X X X为为为为离散离散离散离散型随机变量：型随机变量：型随机变量：型随机变量：uX X X X为为为为连续连续连续连续型随机变量：型随机变量：型随机变量：型随机变量：2.2 2.2 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理第9页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）方差和标准偏差方差和标准偏差方差和标准偏差方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其
14、数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X X X的数学期望为的数学期望为的数学期望为的数学期望为E(X)E(X)E(X)E(X)，则，则，则，则X X X X的方差定义为：的方差定义为：的方差定义为：的方差定义为：D(X)=E(XD(X)=E(XE(X)E(X)2 2 标准偏差标准偏差标准偏差标准偏差定义为：定义为：定义为：定义为：第10页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）uu中心极限定理：中心极限定理：中心极限定理：中心极限定理：假设被研究的随机
15、变量可以表示为大量独立的随机变假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。可认为这个随机变量服从正态分布。可认为这个随机变量服从正态分布。可认为这个随机变量服从正态分布。大多数测量随机误差服从正态分布。大多数测量随机误差服从正态分布。大多数测量随机误差服从正态分布。大多数测
16、量随机误差服从正态分布。(2)(2)(2)(2)测量误差的正态分布测量误差的正态分布测量误差的正态分布测量误差的正态分布第11页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性uu随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：uu测量数据测量数据测量数据测量数据X X X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：的概率密度函数为：的概率密度函数为：uu
17、随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：uu同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望E(X)E(X)E(X)E(X)，方差，方差，方差，方差D(X)D(X)D(X)D(X)第12页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）标准偏差意义标准偏差意义标准偏差意义标准偏差意义u标标标标准准准准偏偏偏偏差差差差是是是是代代代代表表表表测测测测量量量量数数数数据据据据和和和和测测测测量量量量误误误误差差差差分分分分布布
18、布布离离离离散散散散程程程程度的特征数。度的特征数。度的特征数。度的特征数。u标标标标准准准准偏偏偏偏差差差差越越越越小小小小，则则则则曲曲曲曲线线线线形形形形状状状状越越越越尖尖尖尖锐锐锐锐，说说说说明明明明数数数数据据据据越越越越集集集集中中中中；标标标标准准准准偏偏偏偏差差差差越越越越大大大大，则则则则曲曲曲曲线线线线形形形形状状状状越越越越平平平平坦坦坦坦，说说说说明明明明数据越分散。数据越分散。数据越分散。数据越分散。第13页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（3 3 3 3）测量误差的非正态分布测量误差的非
19、正态分布测量误差的非正态分布测量误差的非正态分布u常常常常见见见见的的的的非非非非正正正正态态态态分分分分布布布布有有有有均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布、三三三三角角角角分分分分布布布布、反反反反正正正正弦弦弦弦分布等。分布等。分布等。分布等。概率密度:均值:当 时,标准偏差:当 时，第14页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）2.2.有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值用事件发生的频度代替事件发生的概率
20、，当 则令令n n个可相同的测试数据个可相同的测试数据x xi i(i=1.2(i=1.2,n),n)次数都计为次数都计为1,1,当当 时，则时，则（1 1）有限次测量的数学期望的估计值）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值算术平均值被测量X的数学期望，就是当测量次数 时，各次测量值的算术平均值 第15页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）u规规规规定定定定使使使使用用用用算算算算术术术术平平平平均均均均值值值值为为为为数数数数学学学学期期期期望望望望的的的的估估估估计计计计值值值值，并并并并作作作作为最后的测量结果。
21、即：为最后的测量结果。即：为最后的测量结果。即：为最后的测量结果。即：有限次测量值的算术平均有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？值比测量值更接近真值？第16页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差故：故：故：故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小偏差小偏差小偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性
22、倍。原因是随机误差的抵偿性倍。原因是随机误差的抵偿性倍。原因是随机误差的抵偿性 。*第17页，本讲稿共48页算术平均值：2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（2 2）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值残差：实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值：第18页，本讲稿共48页2.2.12.2.12.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）【例例2.12.1】用温
23、度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值的序列（见下表）个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。求测量值的平均值及其标准偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差第19页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续续续续3.3.测量结果的置信问题测量结果的置信问题测量结果的置信问题测量结果的置信问题（1 1 1 1）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：置
24、信区间置信区间置信区间置信区间 内包含真值的概率称为置信概率内包含真值的概率称为置信概率。置信限：置信限：置信限：置信限：k k k k置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影部分面积第20页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（2 2 2 2）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率 正态分布正态分布正态分布正态分布,当当当当k=3k=3时时时时置信因子置信因子k k置信概率置信概率PcPc1 10.6830.683
25、2 20.9550.9553 30.9970.997区间越宽，置信概率越大第21页，本讲稿共48页2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（3 3 3 3）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子uu由由由由于于于于常常常常见见见见的的的的非非非非正正正正态态态态分分分分布布布布都都都都是是是是有有有有限限限限的的的的，设设设设其其其其置置置置信信信信限限限限为为为为误误误误差差差差极极极极限限限限 ，即误差的置信区间为，即误差的置信区间为，即误差的置信区间为，即误差的置信区间为 置信概率为置信
26、概率为置信概率为置信概率为100100。（P=1)反正弦均匀三角分布例：均匀分布例：均匀分布例：均匀分布例：均匀分布 有有有有 故故故故:第22页，本讲稿共48页2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）1.1.1.1.系统误差的特征：系统误差的特征：系统误差的特征：系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差。第23页，本讲稿共48页2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）2.2.系统
27、误差的发现方法系统误差的发现方法系统误差的发现方法系统误差的发现方法u（1 1 1 1）不变的系统误差）不变的系统误差）不变的系统误差）不变的系统误差：校校校校准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。u（2 2 2 2）变化的系统误差）变化的系统误差）变化的系统误差）变化的系统误差 残残残残差差差差观观观观察察察察法法法法，适适适适用用用用于于于于系系系系统统统统误误误误差差差差比比比比随随随随机机机机误误误误差差差差大大大大的的的的情情情情况况况况 将将将将所所所所测测测测数数数数据据据据及及及及其其其其残残残残差差差差按按按按先先先先后后后后次次次次
28、序序序序列列列列表表表表或或或或作作作作图图图图，观观观观察察察察各各各各数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。存在线性变化的系统误差无明显系统误差第24页，本讲稿共48页2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）马利科夫判据：马利科夫判据：马利科夫判据：马利科夫判据：若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，D D D D 值应明显异于零。值应明显异于零。值应明显异于零。值应明显异于零。当当当当n n n n为偶
29、数时，为偶数时，为偶数时，为偶数时，当当当当n n n n为奇数时，为奇数时，为奇数时，为奇数时，u阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。第25页，本讲稿共48页2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）2.2.系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法（1 1 1 1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差）从产生系统误差根源上采
30、取措施减小系统误差）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 （2 2 2 2）用修正方法减少系统误差）用修正方法减少系统误差）用修正方法减少系统误差）用修正方法减少系统误差 实际值测量值修正值实际值测量值修正值实际值测量值修正值实际值测量值修正值（3 3）采用一些专门的测量方法）采用一些专门的测量方法u 替代法替代法替代法替代法uu 交换法交换法交换法交换法 uu 对称测量法对称测量法对称测量法对称测量法 uu 减小周期性系统误差的半周期法减小周期性系统误差的半周期法减小周期性系统误差的半周期法减小周期性系统误差的半周期法 第26页，本讲稿共48页2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除
31、方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）系统误差可忽略不计的准则系统误差可忽略不计的准则系统误差可忽略不计的准则系统误差可忽略不计的准则：系系系系统统统统误误误误差差差差或或或或残残残残余余余余系系系系统统统统误误误误差差差差代代代代数数数数和和和和的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值不不不不超超超超过过过过测测测测量量量量结结结结果果果果扩扩扩扩展展展展不不不不确确确确定定定定度度度度的的的的最最最最后后后后一一一一位位位位有有有有效效效效数字的一半。数字的一半。数字的一半。数字的一半。第27页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则 u1.1
32、.粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差产生原因以及防止与消除的方法 粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因 测量人员的主观原因测量人员的主观原因测量人员的主观原因测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；客客客客观观观观外外外外界界界界条条条条件件件件的的的的原原原原因因因因：测测测测量量量量条条条条件件件件意意意意外外外外改改改改变变变变、受受受受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失
33、效等。较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法重要的是采取各种措施，重要的是采取各种措施，重要的是采取各种措施，重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差防止产生粗大误差防止产生粗大误差防止产生粗大误差。第28页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）（续）（续）2.2.粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间
34、的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法 格拉布斯检验法 式中，G值按重复测量次数n及置信概率Pc确定 第29页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）（续）（续）解：解：计算得计算得 s=0.033s=0.033计算残差填入表计算残差填入表3 37 7，最大，最大，是可疑数据。是可疑数据。用莱特检验法用莱特检验法 3 3 s=30.033=0.099 s=30.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予剔除。是粗大误差，应予剔除。再对剔除后的数据计算得：再对剔除后的数据计算得：s=0.016 s=0
35、.016 3 3s=s=0.0480.048各测量值的残差各测量值的残差V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。【例2.3】对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表37，试检查测量数据中有无粗大误差。第30页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤uu对测量值进行系统误差修正；对测量值进行系统误差修正；对测量值进行系统误差修正；对测量值进行系统误差修正；uu求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值uu列出残差列出残差列出残差列出残差 ，并验证，并验证，并验证，
36、并验证uu按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值uu按莱特准则按莱特准则按莱特准则按莱特准则 ，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；uu判判判判断断断断有有有有无无无无系系系系统统统统误误误误差差差差。如如如如有有有有系系系系统统统统误误误误差差差差，应应应应查查查查明明明明原原原原因因因因，修修修修正正正正或或或或消消消消除除除除系系系系统误差后重新测量；统误差后重新测量；统误差后重新测量；统误差后
37、重新测量；uu计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差 ；uu写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 （单位）（单位）（单位）（单位）。第31页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）（续）（续）u【例例例例2.32.32.32.3】对对对对某某某某电电电电压压压压进进进进行行行行了了了了16161616次次次次等等等等精精精精度度度度测测测测量量量量，测测测测量量量量数数数数据据据据中中中中已已已已记记记记入入入入修修修修正正正正值
38、值值值，列列列列于于于于表表表表中中中中。要要要要求求求求给给给给出出出出包包包包括误差在内的测量结果表达式。括误差在内的测量结果表达式。括误差在内的测量结果表达式。括误差在内的测量结果表达式。第32页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）（续）（续）第33页，本讲稿共48页2.2.3 2.2.3 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）（续）（续）第34页，本讲稿共48页2.3 2.3 测量数据处理测量数据处理u2.3.1 2.3.1 有效数字的处理有效数字的处理u1.1.1.1.数字修约规则数字修约规则数字修约规则数字修约规则u数据
39、修约规则：数据修约规则：数据修约规则：数据修约规则：u（1 1 1 1）小于小于小于小于5 5 5 5舍去舍去舍去舍去末位不变。末位不变。末位不变。末位不变。u（2 2 2 2）大于大于大于大于5 5 5 5进进进进1 1 1 1在末位增在末位增在末位增在末位增1 1 1 1。u（3 3 3 3）等等等等于于于于5 5 5 5时时时时，取取取取偶偶偶偶数数数数当当当当末末末末位位位位是是是是偶偶偶偶数数数数，末末末末位位位位不不不不变变变变；末末末末位位位位是是是是奇奇奇奇数数数数，在在在在末末末末位位位位增增增增1 1 1 1（将将将将末末末末位位位位凑凑凑凑为为为为偶偶偶偶数数数数）。第3
40、5页，本讲稿共48页2.3.12.3.1有效数字的处理有效数字的处理（续）（续）（续）（续）uu例：将下列数据舍入到小数第二位。例：将下列数据舍入到小数第二位。例：将下列数据舍入到小数第二位。例：将下列数据舍入到小数第二位。12.3312.3312.3312.334444444412.3312.3312.3312.33 62.73 62.73 62.73 62.7350150150150162.7462.7462.7462.740.690.690.690.694994994994990.69 25.30.69 25.30.69 25.30.69 25.32 2 2 25050505025.32
41、25.3225.3225.3217.6917.6917.6917.695555555517.7017.7017.7017.70 122.1 122.1 122.1 122.11 1 1 150505050122.12122.12122.12122.12uu需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中上例中上例中上例中0.694990.694990.694990.69499，正确结果为，正确结果为，正确结果为，正确结果为0.69 0.69 0.69 0.69，
42、错误做法是：，错误做法是：，错误做法是：，错误做法是：0.694990.69500.6950.700.694990.69500.6950.700.694990.69500.6950.700.694990.69500.6950.70。uu在在在在“等等等等于于于于5 5 5 5”的的的的舍舍舍舍入入入入处处处处理理理理上上上上，采采采采用用用用取取取取偶偶偶偶数数数数规规规规则则则则，是是是是为为为为了了了了在在在在比比比比较较较较多多多多的的的的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。数据舍入处理
43、中，使产生正负误差的概率近似相等。第36页，本讲稿共48页2.3.12.3.1有效数字的处理有效数字的处理（续）（续）（续）（续）u2.2.2.2.有效数字有效数字有效数字有效数字uu若若若若截截截截取取取取得得得得到到到到的的的的近近近近似似似似数数数数其其其其截截截截取取取取或或或或舍舍舍舍入入入入误误误误差差差差的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值不不不不超超超超过过过过近近近近似似似似数数数数末末末末位位位位的的的的半半半半个个个个单单单单位位位位，则则则则该该该该近近近近似似似似数数数数从从从从左左左左边边边边第第第第一一一一个个个个非非非非零零零零数数数数字字字字到到到到最最最最末末末
44、末一一一一位位位位数数数数为止的全部数字，称之为有效数字。为止的全部数字，称之为有效数字。为止的全部数字，称之为有效数字。为止的全部数字，称之为有效数字。例如：例如：例如：例如：2.1422.1422.1422.142四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差0.00050.00050.00050.00058.7008.7008.7008.700四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差四位有效数字，极限误差0.00050.00050.00050.0005 8.710 8.710 8.710 8.7103 3 3 3二位有效
45、数字，极限误差二位有效数字，极限误差二位有效数字，极限误差二位有效数字，极限误差0.05100.05100.05100.05103 3 3 3 0.0807 0.0807 0.0807 0.0807三位有效数字，极限误差三位有效数字，极限误差三位有效数字，极限误差三位有效数字，极限误差0.000050.000050.000050.00005 第37页，本讲稿共48页2.3.12.3.1有效数字的处理有效数字的处理（续）（续）（续）（续）u测测量量结结果果（或或读读数数）的的有有效效位位数数应应由由该该测测量量的的标标准准偏偏差差来来确确定定，即即测测量量结结果果的的最最末末一一位位应与应与标准
46、偏差标准偏差标准偏差标准偏差的位数对齐。的位数对齐。u例例例例如如如如，某某某某物物物物理理理理量量量量的的的的测测测测量量量量结结结结果果果果的的的的值值值值为为为为62.3462.3462.3462.34，且且且且该该该该量量量量的的的的 测测测测 量量量量 标标标标 准准准准 偏偏偏偏 差差差差 u u u u 0.40.40.40.4，测测测测 量量量量 结结结结 果果果果 表表表表 示示示示 为为为为62.30.462.30.4。第38页，本讲稿共48页2.3.12.3.1有效数字的处理有效数字的处理（续）（续）（续）（续）u2.2.2.2.近似运算法则近似运算法则近似运算法则近似运
47、算法则保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。uu（1 1 1 1）加法运算）加法运算）加法运算）加法运算以以以以小小小小数数数数点点点点后后后后位位位位数数数数最最最最少少少少的的的的为为为为准准准准（各各各各项项项项无无无无小小小小数数数数点点点点则则则则以以以以有有有有效效效效位位位位数数数数最最最最少者为准），其余各数可多取一位。例如：少者为准），其余各数可多取一位。例如：少者为准），其余各数可多取一位。例如：少者为准），其余各数可多取
48、一位。例如：uu（2 2 2 2）减减减减法法法法运运运运算算算算：当当当当两两两两数数数数相相相相差差差差甚甚甚甚远远远远时时时时，原原原原则则则则同同同同加加加加法法法法运运运运算算算算；当当当当两两两两数数数数很很很很接接接接近近近近时时时时，有有有有可可可可能能能能造造造造成成成成很很很很大大大大的的的的相相相相对对对对误误误误差差差差，因因因因此此此此，第第第第一一一一要要要要尽尽尽尽量量量量避避避避免免免免导导导导致致致致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。相近两
49、数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。第39页，本讲稿共48页2.3.12.3.1有效数字的处理有效数字的处理（续）（续）（续）（续）uu（3 3 3 3）乘除法运算）乘除法运算）乘除法运算）乘除法运算uu以以以以有有有有效效效效数数数数字字字字位位位位数数数数最最最最少少少少的的的的数数数数为为为为准准准准，其其其其余余余余参参参参与与与与运运运运算算算算的的的的数数数数字字字字及及及及结结结结果果果果中的有效数字位数与之相等。例如：中的有效数字位数与之相等。例如：中的有效数字位数与之相等。例如：中的有效数字位数与之相等。例如：uu也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。也可以
50、比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。例例例例如如如如上上上上面面面面例例例例子子子子中中中中的的的的517.43517.43517.43517.43和和和和4.084.084.084.08各各各各保保保保留留留留至至至至517517517517和和和和4.084.084.084.08，结结结结果果果果为为为为35.535.535.535.5。uu（4 4 4 4）乘方、开方运算：）乘方、开方运算：）乘方、开方运算：）乘方、开方运算：uu运算结果比原数多保留一位有效数字。例如：运算结果比原数多保留一位