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1、函数极限的性质第1页，本讲稿共18页2 函数极限的性质 在1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）()xfx+lim；2）()xfx-lim；3）()xfx lim；4）()xfxx+0lim；5）()x fx x-0lim；6）()x fx x0lim 它们具有与数列极限相 类似的一些性质，下面以第6）种类 型的极限 为代表来叙述 并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其 证明，只要相 应 的作些修改即可。第2页，本讲稿共18页过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 第3页，本讲稿共18页v定理1(函数极限的唯一性)如果当xx0时f(x)的极限存在 那么这极限是唯一的 证明，
2、x x f B A 时的极限 当 都是 设 0,(1)(0,0,0 1 0 1 e d d e-$A x f x x 时有 当 则,(2)(0,0 2 0 2 e d d-$B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取，x x)2(),1(0),min(0 2 1 d d d d-.2)()()()(e-+-B x f A x f B x f A x f B A.即其极限唯一 的任意性得 由 B A e 第4页，本讲稿共18页v定理1(函数极限的唯一性)v定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 如果当xx0时f(x)的极限存在
3、 那么这极限是唯一的 证明有 使得 则 取 设);(,0,1,)(lim 0 0 d d e x U x A x f x x o$.1)(1)(+-A x f A x f.);()(0 内有界 在 即 d x U x f o 第5页，本讲稿共18页v定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数rA(或 r 0(或f(x)-r 0)证明);(,0,),A,0(,0 0 d d e x U x r A r A$-使得 则 取 设.)(r A x f-e 有.0 的情形类似可证 对于 r 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而 且 f(
4、x)A(xx0)那么A0(或A0)第6页，本讲稿共18页v定理4(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内有 极限都存在且在 时 如果 d o,)(lim,)(lim 0 0 B x g A x f x x x x 设)1(),(0,0,0 1 0 1 x f A x x-$e d d e 时有 当 则)2(.)(0,0 2 0 2 e d d+-$B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与 不等式 时 则当 令，x g x f x x)2(),1()
5、()(,0,min 0 2 1-d d d d d,)()(e e+-B x g x f A.,2 B A B A+的任意性知 由 从而 e e 第7页，本讲稿共18页v定理5(函数极限的迫敛性)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)f(x)h(x)g(x)(2)lim f(x)A limg(x)A 那么limh(x)存在 且lim h(x)A 证明),(0,0,0 1 0 1 x f A x x，-$e d d e 时有 当 按假设.)(0,0 2 0 2 e d d+-$A x g x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等式与 则当 令,)()()(0,min 0 2
6、1 x g x h x f x x-d d d d,)()()(e e+-A x g x h x f A.)(lim)(0 A x h，A x h x x-即 由此得 e 第8页，本讲稿共18页此性质又称为夹逼准则.注意:夹逼定理示意图.的极限是容易求的与并且键是构造出利用夹逼准则求极限关fgf(x)g(x)与第9页，本讲稿共18页 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)climf(x)推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)nlimf(x)n 定理6.极限的四则运算法则 第10页，本讲稿共18页 利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一
7、些较复杂的极限例1求解 由第一章第3节习题12，知当时有而 故由迫敛性得另一方面，当 时有综上，我们得到故由迫敛性又可得第11页，本讲稿共18页例2 求解由及第一节例4所得的并按四则运算法则有第12页，本讲稿共18页例3求极限解对任意正整数k，当 时有故第13页，本讲稿共18页例4证明证任给 为使（9）即 利用对数函数时的严格增性,只要（不妨设于是，令则当时，就有（9）式成立。（当第14页，本讲稿共18页 解 例5 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例6 第15页，本讲稿共18页讨论提示先用x3去除分子及分母 然后取极限 解:例7 第16页，本讲稿共18页 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 我们将在下节讨论.例7 第17页，本讲稿共18页(1),唯一性;作业 小结(2),局部有界性;(3),局部保号性;(4),保不等式性;(5),迫敛性;P51:1(2)(4)(6)(8),6(6),四则运算法则.第18页，本讲稿共18页