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1、第五章刚体的转动第1页，本讲稿共58页 理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。掌握定轴转动的机械能守恒定
2、律和角动量守恒定律。掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。教学要求教学要求第2页，本讲稿共58页5-1 5-1 5-1 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动 一、刚体（理想模型）一、刚体（理想模型）一、刚体（理想模型）一、刚体（理想模型）刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。行的运动，叫做平动。行的运动
3、，叫做平动。行的运动，叫做平动。因为在平动时因为在平动时因为在平动时因为在平动时刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）1 1、平动、平动、平动、平动
4、在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为称为称为称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。1.1.理想模型；理想模型；理想模型；理想模型；2.2.在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；3.3.内力无穷
5、大的特殊质点系。内力无穷大的特殊质点系。内力无穷大的特殊质点系。内力无穷大的特殊质点系。第3页，本讲稿共58页A A A AB B B B刚体的平动刚体的平动刚体的平动刚体的平动第4页，本讲稿共58页 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚体作转动。则称刚体作转动。则称刚体作转动。则称刚体作转动。若轴线固定不动，则称定轴转动。若轴线固定不动，则称定轴转动。若轴线固定不动，则称定轴转动。若轴线固定不动，则称定轴转动。2 2、转动转动转动转动 刚体的一般运
6、动可视为平动和转动的合成运动。刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。如：如：如：如：滚动滚动滚动滚动轴心的平动轴心的平动轴心的平动轴心的平动 +绕轴心的转动绕轴心的转动绕轴心的转动绕轴心的转动抛体抛体抛体抛体质心的抛物线运动质心的抛物线运动质心的抛物线运动质心的抛物线运动 +绕质心的转动绕质心的转动绕质心的转动绕质心的转动进动进动进动进动绕转轴转动绕转轴转动绕转轴转动绕转轴转动 +转轴绕定轴的转动转轴绕定轴的转动转轴绕定轴的转动转轴绕定轴的转动第5页，本讲稿共58页描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的
7、物理量描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量1.1.角位置，角位移角位置，角位移角位置，角位移角位置，角位移y yx x0 0P P(t t)P P(t t+d dt t)d d 运动方程：运动方程：运动方程：运动方程：角位置角位置角位置角位置 ：位矢与：位矢与：位矢与：位矢与 oxox 轴夹角。轴夹角。轴夹角。轴夹角。角位移角位移角位移角位移 d d ：d dt t 时间内角位置增量。时间内角位置增量。时间内角位置增量。时间内角位置增量。1 1、刚体上各质点的角位移，角速刚体上各质点的角位移，角速刚体上各质点的角位移，角速刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同；度和角加速度均
8、相同；度和角加速度均相同；度和角加速度均相同；2 2、各质点都在垂直转轴的平面内各质点都在垂直转轴的平面内各质点都在垂直转轴的平面内各质点都在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。圆心在运动，且作圆周运动。圆心在运动，且作圆周运动。圆心在运动，且作圆周运动。圆心在转轴上。转轴上。转轴上。转轴上。三、定轴转动三、定轴转动三、定轴转动三、定轴转动刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：第6页，本讲稿共58页定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。3.3.线量与角量的关系线量与角量的关系线量与角量的
9、关系线量与角量的关系 方向垂直方向垂直方向垂直方向垂直 于于于于 和和和和 组成的平面组成的平面组成的平面组成的平面2.2.角速度和角加速度角速度和角加速度角速度和角加速度角速度和角加速度规定：规定：规定：规定：位矢从位矢从位矢从位矢从o xo x 轴逆时针方向转动时角位置轴逆时针方向转动时角位置轴逆时针方向转动时角位置轴逆时针方向转动时角位置 为正，为正，为正，为正，反之，为负。反之，为负。反之，为负。反之，为负。y yx x0 0s第7页，本讲稿共58页若若若若 是定值，刚体的运动称为：是定值，刚体的运动称为：是定值，刚体的运动称为：是定值，刚体的运动称为：若若若若 是定值，刚体的运动称作
10、：是定值，刚体的运动称作：是定值，刚体的运动称作：是定值，刚体的运动称作：匀角速转动匀角速转动匀角速转动匀角速转动匀变速转动（或匀加速转动匀变速转动（或匀加速转动匀变速转动（或匀加速转动匀变速转动（或匀加速转动)刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：为恒矢为恒矢为恒矢为恒矢 为恒值为恒值为恒值为恒值 第8页，本讲稿共58页例例例例1 1 1 1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为、一飞轮作减速运动，
11、其角加速度与角速度关系为、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为解：解：解：解：0 0 0 0=-k k，k k为比例系数，设初始角速度为为比例系数，设初始角速度为为比例系数，设初始角速度为为比例系数，设初始角速度为 0 0 。求：。求：。求：。求：飞轮角速度与时间的关系；飞轮角速度与时间的关系；飞轮角速度与时间的关系；飞轮角速度与时间的关系；当角速度由当角速度由当角速度由当角速度由 0 00 0/2/2 时，在此时间内飞轮转过的圈数。时，在此时间内飞轮转过的圈数。时，在此时间内飞轮转过的圈数。时，在此时间内飞轮转过的圈数。第9页，本讲稿共58页(2 2)当角速度由当角速度由当角速度由当角
12、速度由 0 00 0/2/2 时时时时,所需时间为所需时间为所需时间为所需时间为t t：在此时间内车轮转过的圈数在此时间内车轮转过的圈数在此时间内车轮转过的圈数在此时间内车轮转过的圈数=第10页，本讲稿共58页一、力矩一、力矩一、力矩一、力矩 1 1、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。力矩的表示式力矩的表示式力矩的表示式力矩的表示式 ：大小：大小：大小：大小：方向：方向：方向：方向：5-2 5-2 5-2 5-2 力矩、转动定律、转动惯量力矩、转动
13、定律、转动惯量力矩、转动定律、转动惯量力矩、转动定律、转动惯量注意：注意：第11页，本讲稿共58页2 2、注意：、注意：、注意：、注意：合力矩合力矩合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩合力的力矩合力的力矩 合力矩合力矩合力矩合力矩=力矩的和力矩的和力矩的和力矩的和(矢量和）矢量和）矢量和）矢量和）（对定轴转动而言为代数和）（对定轴转动而言为代数和）（对定轴转动而言为代数和）（对定轴转动而言为代数和）合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零F F1 1F F2 2 转轴转轴转轴转轴（F F1 1=F F2 2）合力矩为零，合力不一定为
14、零合力矩为零，合力不一定为零合力矩为零，合力不一定为零合力矩为零，合力不一定为零F F1 1F F2 2力矩力矩力矩力矩合力合力合力合力中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的 力矩力矩力矩力矩 0 0 0 0。第12页，本讲稿共58页问：一对作用力与反作用力的力问：一对作用力与反作用力的力问：一对作用力与反作用力的力问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？矩和等于多少？矩和等于多少？矩和等于多少？零零零零由此推知：由此推知：由此推知：由此推知：质点组对任一轴的内力矩质点组对任一轴的内力矩质点组对任一轴的内力矩质点组对任一轴的内力矩之和为零。之
15、和为零。之和为零。之和为零。当力不在垂直于转轴的平面内，当力不在垂直于转轴的平面内，当力不在垂直于转轴的平面内，当力不在垂直于转轴的平面内，只有只有只有只有 对转轴力矩有贡献。对转轴力矩有贡献。对转轴力矩有贡献。对转轴力矩有贡献。第13页，本讲稿共58页力力力力 矩：矩：矩：矩：垂直垂直垂直垂直 和和和和 构成的平面。构成的平面。构成的平面。构成的平面。中学表为中学表为中学表为中学表为 ：合力矩：合力矩：合力矩：合力矩：M M 只有两个方向，可用正、负表示。只有两个方向，可用正、负表示。只有两个方向，可用正、负表示。只有两个方向，可用正、负表示。而且有：而且有：而且有：而且有：与转动垂直但通过
16、转轴的力对转动不产生力矩；与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；刚体内各质点间内力矩的合为零。刚体内各质点间内力矩的合为零。刚体内各质点间内力矩的合为零。刚体内各质点间内力矩的合为零。归结起来：归结起来：归结起来：归结起来：o od dP P 第14页，本讲稿共58页力矩是改变转动状态（即产生角加速度）的原因。力矩是改变转动状态（即产生角加速度）的原因。力矩是改变转动状态（即产生角
17、加速度）的原因。力矩是改变转动状态（即产生角加速度）的原因。转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性转动惯转动惯转动惯转动惯性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。若用成反比。若用成反比。若用成反比。若用J J 表示转动惯性（表示转动惯性（表示转动惯性（表示转动惯性（J J 称为转动惯量）则有：称为转动惯量）则
18、有：称为转动惯量）则有：称为转动惯量）则有：在国际单位制中，在国际单位制中，在国际单位制中，在国际单位制中，k k=1 =1 则上式为则上式为则上式为则上式为它说明了力矩的瞬时作用规律。它说明了力矩的瞬时作用规律。它说明了力矩的瞬时作用规律。它说明了力矩的瞬时作用规律。转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点运转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点运转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点运转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点运动中的牛顿第二定律。动中的牛顿第二定律。动中的牛顿第二定律。动中的牛顿第二定律。二、转动定律二、转动定律二、转动定律二、转动定律第15页，
19、本讲稿共58页把刚体看作质元把刚体看作质元把刚体看作质元把刚体看作质元 的集合，对的集合，对的集合，对的集合，对 用牛顿第二定律用牛顿第二定律用牛顿第二定律用牛顿第二定律的切向式与法向式。的切向式与法向式。的切向式与法向式。的切向式与法向式。设一刚体绕定轴转动，某质元受内力设一刚体绕定轴转动，某质元受内力设一刚体绕定轴转动，某质元受内力设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 和外力和外力和外力和外力 作用作用作用作用 转动定律可由牛顿第二定律推求：转动定律可由牛顿第二定律推求：转动定律可由牛顿第二定律推求：转动定律可由牛顿第二定律推求：矢量式：矢量式：矢量式：矢量式：法向式：法向式：法向式：法向式：
20、切向式：切向式：切向式：切向式：转轴转轴转轴转轴以以以以 遍乘切向式两端：遍乘切向式两端：遍乘切向式两端：遍乘切向式两端：第16页，本讲稿共58页将遍乘将遍乘将遍乘将遍乘 后的切向式求和得：后的切向式求和得：后的切向式求和得：后的切向式求和得：刚体所受的合外力矩：刚体所受的合外力矩：刚体所受的合外力矩：刚体所受的合外力矩：（内力不改变角动量）（内力不改变角动量）（内力不改变角动量）（内力不改变角动量）定义定义定义定义：转动定律转动定律转动定律转动定律注意注意注意注意：（：（：（：（1 1）MM,J J,均对同一轴而言，且具有瞬时性均对同一轴而言，且具有瞬时性均对同一轴而言，且具有瞬时性均对同一
21、轴而言，且具有瞬时性；（2 2）改变刚体转动状态的是力矩；）改变刚体转动状态的是力矩；）改变刚体转动状态的是力矩；）改变刚体转动状态的是力矩；（3 3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。）转动惯量是刚体转动惯性的度量。）转动惯量是刚体转动惯性的度量。）转动惯量是刚体转动惯性的度量。第17页，本讲稿共58页 牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系物理量：质点物理量：质点物理量：质点物理量：质点 m m 刚体刚体刚体刚体 J JMM规规规规 律：质点律：质点律：质点律：质点 牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛
22、顿第二定律 刚体刚体刚体刚体 转动定律转动定律转动定律转动定律 第18页，本讲稿共58页不一定不一定不一定不一定例：问：力矩例：问：力矩例：问：力矩例：问：力矩 M M 大，是否大，是否大，是否大，是否 大大大大？不一定不一定不一定不一定 大，是否大，是否大，是否大，是否 M M 大大大大？（M M 大，大，大，大，大，大，大，大，的变化大。的变化大。的变化大。的变化大。可为可为可为可为0 0 0 0）（大，并不代表它的变化大，有可能它的大，并不代表它的变化大，有可能它的大，并不代表它的变化大，有可能它的大，并不代表它的变化大，有可能它的M M=0=0=0=0，匀角速转动。），匀角速转动。），
23、匀角速转动。），匀角速转动。）第19页，本讲稿共58页对分离的质点组：对分离的质点组：对分离的质点组：对分离的质点组：2 2、转动惯量的物理意义：、转动惯量的物理意义：、转动惯量的物理意义：、转动惯量的物理意义：J J是描述刚是描述刚是描述刚是描述刚体转动惯性大小的量度。体转动惯性大小的量度。体转动惯性大小的量度。体转动惯性大小的量度。三、转动惯量三、转动惯量三、转动惯量三、转动惯量1 1、转动惯量的定义：、转动惯量的定义：、转动惯量的定义：、转动惯量的定义：对单个质点对单个质点对单个质点对单个质点：mm1 1r r1 1mm2 2r r2 2mm3 3r r3 3转轴转轴转轴转轴对质量连续分
24、布的刚体：对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：转轴转轴转轴转轴dmJ=mr J=mr 2 2，r r 为质点到转轴的距离。为质点到转轴的距离。为质点到转轴的距离。为质点到转轴的距离。第20页，本讲稿共58页与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 与质量的分布有关与质量的分布有关与质量的分布有关与质量的分布有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关4 4、转动惯量、转动惯量、转动惯量、转动惯量J J 的计算方法的计算方法的计算方法的计算方法：（可将质量元变为线元、面元、：（可将质量元变为线元、面元、：（可将
25、质量元变为线元、面元、：（可将质量元变为线元、面元、体元积分求得）体元积分求得）体元积分求得）体元积分求得）3 3、J J与下列因素有关：与下列因素有关：与下列因素有关：与下列因素有关：第21页，本讲稿共58页例例例例1 1、有一均匀细杆，杆长为、有一均匀细杆，杆长为、有一均匀细杆，杆长为、有一均匀细杆，杆长为 l l ，质量为，质量为，质量为，质量为 m m，c c 为杆的中点。为杆的中点。为杆的中点。为杆的中点。设转轴设转轴设转轴设转轴 oo oo 通过通过通过通过 c c 点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转点且与杆垂直，杆绕轴转动，
26、求转动惯量动惯量动惯量动惯量 J Jc c=？解：取解：取解：取解：取x x 轴方向如图，杆的线密度为轴方向如图，杆的线密度为轴方向如图，杆的线密度为轴方向如图，杆的线密度为 =mm/l l ，取小质元，取小质元，取小质元，取小质元dm dm=dx dx，则，则，则，则0 0 x xo o o ox xdxdxc c若将转轴移到若将转轴移到若将转轴移到若将转轴移到A A点，求点，求点，求点，求 J JA A=？仍有小质元仍有小质元仍有小质元仍有小质元dm=dm=dx dx，（，（，（，（=m/l=m/l）x xo o x xdxdxA Ao oc c第22页，本讲稿共58页可见转轴不同，转动惯
27、量是不同的。那么将转轴从可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从c c点平行移到点平行移到点平行移到点平行移到A A点转动惯量改变了多少？点转动惯量改变了多少？点转动惯量改变了多少？点转动惯量改变了多少？移项得：移项得：移项得：移项得：J JA A=J=JC C+md +md 2 2x xo o x xdxdxA Ao oc cd dd d是转轴是转轴是转轴是转轴 oo oo 到质心的距离。到质心的距离。到质心的距离。到质心的距离。第23页，本讲稿共58页刚刚刚刚体体体体对对对对某某某某轴轴轴轴的的的的
28、转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量J J，等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体对对对对通通通通过过过过质质质质心心心心的的的的平平平平行行行行轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量 J Jc c ，加加加加上上上上刚刚刚刚体体体体质质质质量量量量 mm 乘乘乘乘以以以以两两两两平行轴之间的距离平行轴之间的距离平行轴之间的距离平行轴之间的距离d d 的平方。即：的平方。即：的平方。即：的平方。即：d dc cB B过质心平行轴过质心平行轴过质心平行轴过质心平行轴平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：第24页，本讲稿共58页圆环圆环圆环圆环转轴通过中心转轴通过中心转轴通过中心转轴通过
29、中心与环面垂直与环面垂直与环面垂直与环面垂直圆环圆环圆环圆环转轴沿直径转轴沿直径转轴沿直径转轴沿直径圆盘圆盘圆盘圆盘转轴通过中心转轴通过中心转轴通过中心转轴通过中心与盘面垂直与盘面垂直与盘面垂直与盘面垂直圆筒圆筒圆筒圆筒转轴沿转轴沿转轴沿转轴沿几何轴几何轴几何轴几何轴圆柱体圆柱体圆柱体圆柱体转轴沿转轴沿转轴沿转轴沿几何轴几何轴几何轴几何轴圆柱体圆柱体圆柱体圆柱体转轴过转轴过转轴过转轴过中心与几何轴相垂中心与几何轴相垂中心与几何轴相垂中心与几何轴相垂细棒细棒细棒细棒转轴转轴转轴转轴过中心过中心过中心过中心与棒相垂与棒相垂与棒相垂与棒相垂细棒细棒细棒细棒转轴转轴转轴转轴过端点过端点过端点过端点与棒
30、相垂与棒相垂与棒相垂与棒相垂球体球体球体球体转轴沿直径转轴沿直径转轴沿直径转轴沿直径球壳球壳球壳球壳转轴沿直径转轴沿直径转轴沿直径转轴沿直径几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量第25页，本讲稿共58页例例例例2 2、质量为质量为质量为质量为mm、长度为长度为长度为长度为l l 的均质细直棍的均质细直棍的均质细直棍的均质细直棍，对通过其中心，对通过其中心，对通过其中心，对通过其中心o o且且且且与棍斜交成角的轴的转动惯量。与棍斜交成角的轴的转动惯量。与棍斜交
31、成角的轴的转动惯量。与棍斜交成角的轴的转动惯量。解：取解：取解：取解：取oxox轴如图所示，则棍上任轴如图所示，则棍上任轴如图所示，则棍上任轴如图所示，则棍上任 一段元一段元一段元一段元dxdx的质量的质量的质量的质量 ，至转轴的距离至转轴的距离至转轴的距离至转轴的距离 转动惯量：转动惯量：转动惯量：转动惯量：x xdxdxo or rx x 第26页，本讲稿共58页过棒一端过棒一端过棒一端过棒一端 o o 、仍与棍斜交成、仍与棍斜交成、仍与棍斜交成、仍与棍斜交成角角角角 的轴的转动惯量的轴的转动惯量的轴的转动惯量的轴的转动惯量J Jo o 。讨论：讨论：讨论：讨论：当当当当 时，时，时，时，
32、即为棍对于过它的中心且与即为棍对于过它的中心且与即为棍对于过它的中心且与即为棍对于过它的中心且与 棍垂直的转轴的转动惯量。棍垂直的转轴的转动惯量。棍垂直的转轴的转动惯量。棍垂直的转轴的转动惯量。x xdxdxd do or rx x o o 由平行轴定理由平行轴定理由平行轴定理由平行轴定理 ：第27页，本讲稿共58页例例例例3 3、求质量为、求质量为、求质量为、求质量为m m，半径为，半径为，半径为，半径为R R 的细圆环对过环心垂直于环面的细圆环对过环心垂直于环面的细圆环对过环心垂直于环面的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。解：圆
33、环的线密度为解：圆环的线密度为解：圆环的线密度为解：圆环的线密度为 =m/=m/(2(2 R R)环上取小质元环上取小质元环上取小质元环上取小质元 dm=dm=dl=dl=R dR d 则则则则 dldld d 轴轴轴轴第28页，本讲稿共58页例例例例4 4、求质量为、求质量为、求质量为、求质量为m m，半径为，半径为，半径为，半径为R R 的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。解：圆盘的面密度为解：圆盘的面密度为解：圆盘的面密度为解：圆盘的面密度为 =m/
34、=m/(R R2 2)取一半径为取一半径为取一半径为取一半径为 r r，宽为，宽为，宽为，宽为 dr dr 的圆环为质元的圆环为质元的圆环为质元的圆环为质元 dm dm=2 2 rdrrdr注意：注意：注意：注意：转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体的转动惯量通常只能用实验的方法测量。的转动惯量通常只能用实验的方法测量。的转动惯量通常只能用实验的方法测量。的转动惯量通常只能用实验的方法测量。轴轴轴轴即圆盘对其中心轴的转动惯量为即圆盘对其中心轴的转动
35、惯量为即圆盘对其中心轴的转动惯量为即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J=mRJ=mR2 2/2 2 。r rdrdr第29页，本讲稿共58页例例例例5 5、如图所示，求大圆盘的实心部分对、如图所示，求大圆盘的实心部分对、如图所示，求大圆盘的实心部分对、如图所示，求大圆盘的实心部分对o o 轴（垂直于盘面）的轴（垂直于盘面）的轴（垂直于盘面）的轴（垂直于盘面）的转动惯量。转动惯量。转动惯量。转动惯量。（已知大盘半径（已知大盘半径（已知大盘半径（已知大盘半径R R=2 =2 r r ，质量为，质量为，质量为，质量为M M）解：先将小盘补上面密度相同的刚体，解：先将小盘补上面密度相同的刚体，解：先将小盘
36、补上面密度相同的刚体，解：先将小盘补上面密度相同的刚体，使之质量变为使之质量变为使之质量变为使之质量变为M M ，而小盘的质量，而小盘的质量，而小盘的质量，而小盘的质量为为为为mm，由于转动惯量有可加性，可，由于转动惯量有可加性，可，由于转动惯量有可加性，可，由于转动惯量有可加性，可以先分别求出大盘和小盘对以先分别求出大盘和小盘对以先分别求出大盘和小盘对以先分别求出大盘和小盘对o o 轴的轴的轴的轴的转动惯量，再把小盘的除去即得大转动惯量，再把小盘的除去即得大转动惯量，再把小盘的除去即得大转动惯量，再把小盘的除去即得大盘实心部分对盘实心部分对盘实心部分对盘实心部分对o o 轴的转动惯量。轴的转
37、动惯量。轴的转动惯量。轴的转动惯量。补齐后大盘对补齐后大盘对补齐后大盘对补齐后大盘对o o 轴的转动惯量：轴的转动惯量：轴的转动惯量：轴的转动惯量：J J1 1=M=M R R2 2/2 2 小盘对小盘对小盘对小盘对o o 轴的转动惯量：轴的转动惯量：轴的转动惯量：轴的转动惯量：J J2 2=mr=mr2 2/2 2+mr+mr2 2 =3 3mrmr2 2/2 2o oR RMMrr rmm第30页，本讲稿共58页所以实心部分对所以实心部分对所以实心部分对所以实心部分对o o 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：第31页，本讲稿共58页例例例例6 6、一质量为、一
38、质量为、一质量为、一质量为M M、半径为、半径为、半径为、半径为R R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一的定滑轮上面绕有细绳，绳的一的定滑轮上面绕有细绳，绳的一的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计质量），另一端挂有一质量为质量），另一端挂有一质量为质量），另一端挂有一质量为质量），另一端挂有一质量为m m 的物体而下垂。求物体的物体而下垂。求物体的物体而下垂。求物体的物体而下垂。求物体m m 由静止下落由静止下落由静
39、止下落由静止下落h h 高度时的速度和此时轮的角速度。高度时的速度和此时轮的角速度。高度时的速度和此时轮的角速度。高度时的速度和此时轮的角速度。解：解：解：解：对象：对象：对象：对象：M M 刚体刚体刚体刚体 mm 质点质点质点质点 受力分析：如图所示受力分析：如图所示受力分析：如图所示受力分析：如图所示依依依依牛牛牛牛顿顿顿顿第第第第二二二二定定定定律律律律与与与与转转转转动动动动定定定定律律律律列列列列方程（注意方程（注意方程（注意方程（注意 T T1 1=T T2 2=T T ）对物体有：对物体有：对物体有：对物体有：mg mg-T=m a T=m a 对滑轮有：对滑轮有：对滑轮有：对滑
40、轮有：TRTR=J J =M RM R2 2 /2 /2 角量和线量的关系：角量和线量的关系：角量和线量的关系：角量和线量的关系：a=R a=R 运动学关系：运动学关系：运动学关系：运动学关系：v v2 2 =v v0 02 2 +2 2ah=ah=2 2ah ah h hT T1 1T T2 2mgmgmmmmMM第32页，本讲稿共58页 解方程得：解方程得：解方程得：解方程得：在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物体以物体以物体以物体以v v0 0 的速度匀速上升，撤去力矩后，问的速度匀速上
41、升，撤去力矩后，问的速度匀速上升，撤去力矩后，问的速度匀速上升，撤去力矩后，问过多少时间后滑轮开始反向运动？过多少时间后滑轮开始反向运动？过多少时间后滑轮开始反向运动？过多少时间后滑轮开始反向运动？解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和前面完全一样前面完全一样前面完全一样前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二定。因此对物体应用牛顿第二定。因此对物体应用牛顿第二定。因此对物体应用牛顿第二定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。律和对滑轮应用转动定
42、律的形式完全一样。律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。T T1 1T T2 2mgmgmmMMv v0 0 第33页，本讲稿共58页对物体有：对物体有：对物体有：对物体有：mg mg-T=m a T=m a 对滑轮有：对滑轮有：对滑轮有：对滑轮有：TRTR=J J =MM R R2 2 /2 /2 角量和线量的关系：角量和线量的关系：角量和线量的关系：角量和线量的关系：a=R a=R 运动学关系：运动学关系：运动学关系：运动学关系：v v =v v0 0+at=0 +at=0 由第由第由第由第1 1、2 2、3 3个方程可解得：个方程可解得：个方程可解得：个方程可解得：由第由第由第由第4 4
43、个方程可解得：个方程可解得：个方程可解得：个方程可解得：T T1 1T T2 2mgmgmmMMv v0 0 第34页，本讲稿共58页 右图中，滑轮两边张力不相同右图中，滑轮两边张力不相同右图中，滑轮两边张力不相同右图中，滑轮两边张力不相同 ，两物体的加速度相同。（绳不可伸长）两物体的加速度相同。（绳不可伸长）两物体的加速度相同。（绳不可伸长）两物体的加速度相同。（绳不可伸长）MM1 1mm1 1mm2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 2 2a aa amm1 1g gmm2 2g gMM2 2T TT T 1 1MMmm1 1mm2 2T T1 1T T1 1 a aa
44、amm1 1g gmm2 2g gT T2 2T T2 2第35页，本讲稿共58页 解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）选细杆、刚体为研究对象）选细杆、刚体为研究对象）选细杆、刚体为研究对象）选细杆、刚体为研究对象 受力与受力矩分析如图受力与受力矩分析如图受力与受力矩分析如图受力与受力矩分析如图 由转动定律有方程：由转动定律有方程：由转动定律有方程：由转动定律有方程：（2 2）由于力矩由于力矩由于力矩由于力矩 M=mgM=mg（l/2l/2）coscos 属变力矩，故由属变力矩，故由属变力矩，故由属变力矩，故由 求求求求角速度角速度角速度角速度 时用积分法。时用积分法。时用积分法。时用积分
45、法。得得得得例例例例7 7、质质质质量量量量m m、长长长长为为为为l l 的的的的均均均均质质质质细细细细杆杆杆杆，可可可可绕绕绕绕过过过过固固固固定定定定端端端端o o的的的的水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动，将将将将杆杆杆杆从从从从水水水水平平平平位位位位置置置置由由由由静静静静止止止止释释释释放放放放，如如如如图图图图。试试试试求求求求：转转转转到到到到任任任任一一一一角角角角 时时时时，杆杆杆杆的的的的角角角角加加加加速速速速度度度度 等等等等于于于于多多多多少少少少？此此此此时的角速度时的角速度时的角速度时的角速度 等于多少？等于多少？等于多少？等于多少？l lr r mg
46、mgo o第36页，本讲稿共58页当当当当 =/2/2 （杆转到竖直位置）时，（杆转到竖直位置）时，（杆转到竖直位置）时，（杆转到竖直位置）时，讨论：讨论：讨论：讨论：越小，越小，越小，越小，值越小；值越小；值越小；值越小；越大，越大，越大，越大，值越大。值越大。值越大。值越大。第37页，本讲稿共58页所以刚体的转动动能所以刚体的转动动能所以刚体的转动动能所以刚体的转动动能:一、转动动能一、转动动能一、转动动能一、转动动能 刚刚刚刚体体体体转转转转动动动动时时时时，各各各各质质质质点点点点都都都都绕绕绕绕定定定定轴轴轴轴作作作作圆圆圆圆运运运运动动动动，都都都都具具具具有有有有动动动动能能能能
47、。刚刚刚刚体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。第第第第i i 个质点的动能为个质点的动能为个质点的动能为个质点的动能为 1/2 1/2 mmi iv vi i2 2=1/21/2 mmi i r ri i2 2 2 2 则刚体总动能为则刚体总动能为则刚体总动能为则刚体总动能为 与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。EEk
48、 k=mr=mr2 2 2 2=ML=ML2 2T T-2-25-3 5-3 5-3 5-3 转动动能、力矩的功转动动能、力矩的功转动动能、力矩的功转动动能、力矩的功转轴转轴转轴转轴dm第38页，本讲稿共58页刚体转过刚体转过刚体转过刚体转过d d 角，角，角，角，外力外力外力外力F F 作作作作的元功为的元功为的元功为的元功为 ：二、力矩的功二、力矩的功二、力矩的功二、力矩的功MM：x xd d r rdsds 0 0第39页，本讲稿共58页当刚体在当刚体在当刚体在当刚体在F F 力作用下，从力作用下，从力作用下，从力作用下，从 1 1 转到转到转到转到 2 2 时所作的功为：时所作的功为：
49、时所作的功为：时所作的功为：因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：第40页，本讲稿共58页转动动能定理转动动能定理转动动能定理转动动能定理：合外力：合外力：合外力：合外力(矩矩矩矩)对刚体所作的功，等于刚体对刚体所作的功，等于刚体对刚体所作的功，等于刚体对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。转动动能的增量。转动动能的增量。使用中应注意使用中应注意使用中应注意使用中应注意：E E k k转转转转 是相对量；是相对量；是相对量；是相对量；转动动能定理的表达式为标量式。
50、转动动能定理的表达式为标量式。转动动能定理的表达式为标量式。转动动能定理的表达式为标量式。应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。第41页，本讲稿共58页解：对象：杆解：对象：杆解：对象：杆解：对象：杆由转动动能定理有：由转动动能定理有：由转动动能定理有：由转动动能定理有：l lr r mgmgO O下面用转动动能定理求解例下面用转动动能定理求解例下面用转动动能定理求解例下面用转动动能定理求解例6 6求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律简单。求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律简单。求解杆的