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1、第三节无穷小和无穷大第1 页，本讲稿共22 页2.3.1 无穷小量 1.定义1 设 f(x)在某U(x0)内有定义.若 则称 f(x)为当 xx0 时的无穷小量.例如：第2 页，本讲稿共22 页(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.如sinx是x0时的无穷小量，但注(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;(3)关于有界量.第3 页，本讲稿共22 页2.无穷小量的运算性质时,有定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当 时,为无穷小量.第4 页，本讲稿共22 页定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,
2、有取 则当 时,就有故 即是时的无穷小.推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.第5 页，本讲稿共22 页其中 为时的无穷小量.定理2.3.1.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.第6 页，本讲稿共22 页2.3.2、无穷大定义2.若任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X),记作总存在概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限).第7 页，本讲稿共22 页注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数
3、为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以 时,不是无穷大!第8 页，本讲稿共22 页例.证明证:任给正数 M,要使即只要取 则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:第9 页，本讲稿共22 页无穷小与无穷大的关系若 为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则 为无穷大.则定理2.3.2 在自变量的同一变化过程中,第10 页，本讲稿共22 页2.3.3 无穷小量阶的比较都是无穷小,引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.第11 页，本讲稿共22 页若则称 是比 高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的
4、同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作定义2.3.3第12 页，本讲稿共22 页例如,当时又如，故时 是关于 x 的二阶无穷小,且第13 页，本讲稿共22 页例1.证明:当时,证:第14 页，本讲稿共22 页命题2.3.2证:即即例如,故第15 页，本讲稿共22 页命题2.3.3 设且存在,则证:例如,第16 页，本讲稿共22 页无穷小量的等价替换定理 求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小量来代替 因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计算简化 定理3.12的意义:2.3.3第17 页，本讲稿共22 页常用等价无穷小:第18 页，本讲稿共22 页无穷小量的等价替换定理的几何意义 第19 页，本讲稿共22 页 解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以 第20 页，本讲稿共22 页 说明 说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.例.求解:原式 第21 页，本讲稿共22 页2.3.4 等价无穷小代换在极限运算中的应用第22 页，本讲稿共22 页