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1、第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论第1页，本讲稿共46页Chapter2 对偶理论对偶理论(Duality Theory)(Duality Theory)线性规划的对偶模型对偶性质对偶问题的经济解释影子价格对偶单纯形法本章主要内容：本章主要内容：本章主要内容：本章主要内容：第2页，本讲稿共46页对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？且看下面详解线性规划线性规划Linear Prog
2、rammingLinear Programming（LPLP）对偶对偶基本理论基本理论第3页，本讲稿共46页唉!我想租您的木工和油漆工一用。咋样？价格嘛好说，肯定不会让您兄弟吃亏讪。引例俩家具制造商间的对话：线性规划线性规划Linear ProgrammingLinear Programming（LPLP）对偶对偶基本理论基本理论 王老板做家具赚了王老板做家具赚了 大钱，可惜我老李有大钱，可惜我老李有 高科技产品，却苦于没有高科技产品，却苦于没有足够的木工和油漆工足够的木工和油漆工 咋办？只有租咯。咋办？只有租咯。Hi：王老板，听说近来家具生意好惨了，也帮帮兄弟我哦!家具生意还真赚钱，但家具生
3、意还真赚钱，但 是现在的手机生意这么好，是现在的手机生意这么好，不如干脆把我的木工和油漆不如干脆把我的木工和油漆工租给他，又能工租给他，又能收租金又可做生意。收租金又可做生意。价格嘛好商量，好商量。只是.王王 老老 板板李李 老老 板板第4页，本讲稿共46页王老板的家具生产模型：x1、x2是椅、桌生产量。Z是家具销售总收入（总利润）。maxZ=50 x1+30 x2s.t.4x1+3x2 1202x1+x2 50 x1，x2 0原始线性规划问题，记为（P）线性规划线性规划Linear ProgrammingLinear Programming（LPLP）对偶对偶基本理论基本理论王老板的资源出租
4、模型：y1、y2单位木、漆工出租价格。W是资源出租租金总收入。minW=120y1+50y2s.t.4y1+2y2 50 3y1+y2 30 y1，y2 0对偶线性规划问题，记为（D）第5页，本讲稿共46页线性规划线性规划Linear ProgrammingLinear Programming（LPLP）对偶对偶基本理论基本理论 王老板按（D）的解y1、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。按时下最流行的一个词，叫什么来着按时下最流行的一个词，叫什么来着按时下最流行
5、的一个词，叫什么来着按时下最流行的一个词，叫什么来着双赢双赢第6页，本讲稿共46页原始（对偶）对偶（原始）关系表线性规划线性规划Linear ProgrammingLinear Programming（LPLP）对偶对偶基本理论基本理论原问题（原问题（对偶问题对偶问题）对偶问题（对偶问题（原问题原问题）目标函数类型目标函数类型max变量个数与约束条件个数的对应关系变量个数与约束条件个数的对应关系目标函数系数与右边项的对应目标函数系数与右边项的对应关系关系原问题变量类型与对偶问题约原问题变量类型与对偶问题约束条件类型的对应关系束条件类型的对应关系原问题约束条件类型与对偶问原问题约束条件类型与对偶
6、问题变量类型的对应关系题变量类型的对应关系min 0变量类型变量类型 0 无限制无限制约束条件个数约束条件个数 m变量个数变量个数 n右边项的系数对应目标函右边项的系数对应目标函数系数数系数目标函数各变量系数对应约束目标函数各变量系数对应约束条件右边项的系数条件右边项的系数约束条件个数约束条件个数 m变量个数变量个数 n 约束条件类型约束条件类型 =约束条件类型约束条件类型 =0变量类型变量类型 0 无限制无限制第7页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工
7、所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表可利用机时数列于下表：产品数据表设备产品ABCD产品利润（元件）甲21402乙22043设备可利用机时数（时）1281612问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？1.对偶问题的现实来源对偶问题的现实来源对偶问题的现实来源对偶问题的现实来源第8页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型解：设甲、乙型产品各生产解：设甲、乙型产品各生产x1及及x2件，则数学模型为：件，则数学模型为：反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机
8、器用于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定价才是最佳决策？第9页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。便争取更多用户。设A、
9、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：第10页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发表示，将会发现一个有趣的现象。现一个有趣的现象。原问题与对偶问题对比表A（y1）B（y2）C（y3）D（y4）甲（x1）21402乙（x2）220431281612minmaxz第11页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型2.原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题（对偶问题）对偶
10、问题（原问题）第12页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型（1）对称形式）对称形式特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变号，变量非负量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非号，变量非负负.已知P，写出D第13页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型例例2.1 写出线性规划问题的对偶问题写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原问题变形为对称形式第14页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型第15页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型(2)非对称型
11、对偶问题若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。第16页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项目标函数max目标函数min约束条件m个m个变量00=无约束变量n个n个约束条件00无约束=第17页，本讲稿共46页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型例例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题.解：原问题的对偶问题为第18页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质例2.3分别求解下
12、列2个互为对偶关系的线性规划问题分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：第19页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质XBb原问题的变量原问题的松弛变量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/20001/41/2XBb对偶问题的变量对偶问题的剩余变量y1y2y3y4y5y21/4-4/510-1/41/4y31/215/2011/2-3/215/2007/23/2原问题最优表对偶问题最优表第20页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：原
13、问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。第21页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题 min W=Y bs.t.YA C Y 0max Z=C Xs.t.AXb X 0第22页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 和 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有推论1:原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届
14、；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。推论2:在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。第23页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质推论推论3 3：在一对对偶问题（在一对对偶问题（P）和（）和（D）中，若一个可行（如）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数），则该可行的问题目标函数值无界。值无界。性质3最优性定理：如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，并且:则是原问题的最优解，是其对偶问题的最优解。第24页，本讲稿共46页对偶性质
15、对偶性质性质性质4 强对偶性强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。性质5互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题和D问题的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：其中：Xs、Ys为松弛变量第25页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质性质性质5的应用：的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法
16、，即已知解的方法，即已知Y求求X或已知或已知X求求Y互补松弛条件互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：因而有下列关系：若若Y0，则，则Xs必为必为0；若；若X0，则，则Ys必为必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。方程组的解即为最优解。第26页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质例例2.4已知线性规划已知线性规划的最优解是X=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y。解：写出原问题的对偶问题，即标准化
17、第27页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质设对偶问题最优解为设对偶问题最优解为Y(y1，y2),由互补松弛性定理可知，由互补松弛性定理可知，X和和 Y满足：满足：即：因为因为X10，X20，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即变量等于零，即y30，y40，带入方程中：，带入方程中：解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y=(1,1)，最优值w=26。第28页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质例例2.5 已知线性规划已知线性规划 的对偶问题的最优解为Y=(0,-2)，求原问题的最优解。解:对偶问题是标准化第29页，本讲稿共46页对
18、偶性质对偶性质设对偶问题最优解为设对偶问题最优解为X(x1，x2，x3)T,由互补松弛性定理由互补松弛性定理可知，可知，X和和 Y满足：满足：将Y带入由方程可知，y3y50，y41。y2=-20 x50又又y4=10 x20将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：x1=-5,x3=-1,所以原问题的最优解为X=(-5,0,-1)，最优值z=-12第30页，本讲稿共46页对偶性质对偶性质原问题与对偶问题解的对应关系小结原问题与对偶问题解的对应关系小结对应关系原问题最优解无界解无可行解对偶问题最优解(Y,Y)(N,N)无界解(Y,Y)无可行解(Y,Y)无法判断第31页，本讲稿共46页
19、思考题思考题判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1 1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划.2 2）原问题第）原问题第i i个约束是个约束是“”“”约束，则对偶变量约束，则对偶变量y yi i0.0.3 3）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解.4 4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解.5 5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解）原问题有多重解，对偶问题也有多重解.6 6）对偶
20、问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解.7 7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解）原问题无最优解，则对偶问题无可行解.8 8）对偶问题不可行，原问题可能无界解）对偶问题不可行，原问题可能无界解.9 9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解.1010）原问题具有无界解，则对偶问题不可行）原问题具有无界解，则对偶问题不可行.1111）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解.1212）若）若X X*、Y Y*是原问题与对偶问题的最优解，则是原问题与对偶问题的
21、最优解，则X X*=*=Y Y*.*.第32页，本讲稿共46页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格1.影子价格的数学分析：影子价格的数学分析：定义：在一对P和D中，若P的某个约束条件的右端项常数bi（第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z*的改变量称为第i种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。由对偶问题得基本性质可得：第33页，本讲稿共46页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格2.影子价格的经济意义影子价格的经济意义1）影子价格是一种边际价格）影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引在其它条件不变的情况
22、下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第就是第 i 种资源种资源的影子价格。即：的影子价格。即：第34页，本讲稿共46页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格2）影子价格是一种机会成本）影子价格是一种机会成本影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。它是一种机会成本。若第i种资源的单位市场价格为mi，则有当yi*mi时，企业愿意购进这
23、种资源，单位纯利为yi*mi，则有利可图；如果yi*mi则购进资源i，可获单位纯利yi*mi若yi*mi则转让资源i，可获单位纯利miyi第35页，本讲稿共46页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格3）影子价格在资源利用中的应用）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0 ,YsX*=0表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资源的影子价格为源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为0时，表明时，表明该种资源在生产中已耗费完。该种资源
24、在生产中已耗费完。第36页，本讲稿共46页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格4）影子价格对单纯形表计算的解释）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数其中cj表示第j种产品的价格;表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和,即产品的隐含成本。当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。第37页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。对
25、偶单纯形法原理对偶单纯形法原理对偶单纯形法原理对偶单纯形法原理对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断条件下，判断XB是否可行（是否可行（XB为非负），若否，通过变换基为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。可得最优解。第38页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法找出一个
26、DP的可行基LP是否可行是否可行（XB 0）保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解最优解是否循环结束第39页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法例2.9用对偶单纯形法求解：解解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数0（求（求max问题）。问题）。第40页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-2-2-1100-100 x5-2-3-1010-120 x6-1-1-500
27、1-14(-9/-1.-12/-1.-15/-5)j-9-12-150000第41页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/5-9/5010-1/5-36/50 x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-
28、15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14第42页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原问题的最优解为：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其对偶问题的最优解为：Y*=（1/3,3,7/3），W*=72第43页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法应注意的问题：用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解 初始表中一定要
29、满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题 j j00，分母，分母a aij ij0 0 这这时必须取绝对值。在极大化问题中，时必须取绝对值。在极大化问题中，j j00，分母，分母a aij ij00，总满足非负，这总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成这里这里 j j 0 0在求在求 k k时就可以不带绝对值符号。时就可以不带绝对值符号。第44页，本讲稿共46页对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。第45页，本讲稿共46页本章小结本章小结学习要点：1.线性规划解的概念以及3个基本定理2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤第46页，本讲稿共46页