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1、分数阶傅立叶变换第1页，本讲稿共55页简介n19291980 早期未被人们重视的研究。n1980年，V.Namias 从特征值和特征函数的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分数幂形式。n1994年，L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频面上的坐标轴旋转。第2页，本讲稿共55页主要研究方向和成果nFRFT的基本性质nFRFT与其他时频分析工具的关系nFRFT的光学实现技术和应用nFRFT的数值计算与快速算法nFRFT在信号处理中的应用n高维分数阶傅立叶变换的研究第3页，本讲稿共55页FRFT的一般研究思路：1.将傅立叶变换的应用直接推广到将傅立叶变换的应用直接推广
2、到FRFT。传统的傅立叶变换是将信号在一组正交完备的正弦基上展开，所以正弦信号的傅立叶变换是一个函数。分数阶傅立叶变换是将信号在一组正交的chirp信号上展开，则一个chirp信号的某一阶次的FRFT也是一个函数。第4页，本讲稿共55页FRFT的一般研究思路：n单分量、多分量Chirp信号的检测和参数估计。n雷达信号的目标检测和识别。nSAR和ISAR成像。n运动目标检测和识别。n宽带干扰抑制。第5页，本讲稿共55页FRFT的一般研究思路：2.将将FRFT视为时频面上的旋转算子视为时频面上的旋转算子 信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一个旋转。可用于信号间的分离，噪声抑制。这是分数阶傅立叶
3、域滤波或扫频滤波的基本原理。进一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概念。可以应用于多路复用技术。第6页，本讲稿共55页FRFT的一般研究思路：3.研究研究FRFT与其他时频分析方法的关系与其他时频分析方法的关系 研究与Wigner_Ville分布、小波变换、短时傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。利用已有的研究成果研究分数阶傅立叶变换的应用。第7页，本讲稿共55页FRFT的一般研究思路：例如：分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在该方向的Radon_Wigner变换。利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶变换的噪声背景下的线性调频
4、信号检测方法。第8页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的定义：第9页，本讲稿共55页第10页，本讲稿共55页讨论：n变换核的性质：第11页，本讲稿共55页讨论：n变换的性质：第12页，本讲稿共55页性质4的证明：第13页，本讲稿共55页FRFT的其他定义：n特征函数和特征值（V.Namias,1980)第14页，本讲稿共55页第15页，本讲稿共55页计算：第16页，本讲稿共55页第17页，本讲稿共55页第18页，本讲稿共55页n分数阶傅立叶变换定义3：tuv第19页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的性质：n线性性：n逆：第20页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的性质：n可交换性：n可结合性：第2
5、1页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的性质：n特征值与特征函数：nParseval准则：第22页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的性质：n与Wigner分布的关系：第23页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的运算性质第24页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的运算性质：第25页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的运算性质：第26页，本讲稿共55页例：第27页，本讲稿共55页例：第28页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的运算性质：第29页，本讲稿共55页常见信号的分数阶傅立叶变换第30页，本讲稿共55页常见信号的分数阶傅立叶变换第31页，本讲稿共55页常见信号的分数阶傅立叶变换第32页，本讲稿共55页
6、常见信号的分数阶傅立叶变换第33页，本讲稿共55页常见信号的分数阶傅立叶变换第34页，本讲稿共55页常见信号的分数阶傅立叶变换第35页，本讲稿共55页分数阶傅立叶变换的不确定性原理：第36页，本讲稿共55页例：方波的分数阶傅立叶变换第37页，本讲稿共55页第38页，本讲稿共55页第39页，本讲稿共55页第40页，本讲稿共55页分数阶卷积：第41页，本讲稿共55页n傅立叶变换卷积定理成立的原因：第42页，本讲稿共55页1.线性调频信号相乘2.变尺度傅立叶变换3.线性调频信号相乘第43页，本讲稿共55页分数阶卷积的定义：第44页，本讲稿共55页分数阶卷积的定义：第45页，本讲稿共55页定理：第46页，本讲稿共55页思考题：n两个函数的乘积的分数阶傅立叶变换有什么特点？n两个函数相关的分数阶傅立叶变换应该如何定义？有什么特点？第47页，本讲稿共55页离散分数阶傅立叶变换的计算nFRFT的离散化问题第48页，本讲稿共55页离散分数阶傅立叶变换的计算n目前DFRFT的四种离散化算法第49页，本讲稿共55页离散分数阶傅立叶变换的计算第50页，本讲稿共55页第51页，本讲稿共55页2.分解方法：时间和频率的无量纲化：由于时域和频域采用不同的量纲，我们需要对时间和频率的无量纲化处理。第52页，本讲稿共55页第53页，本讲稿共55页第54页，本讲稿共55页第55页，本讲稿共55页