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1、课时提升作业二十三函数的极值与导数(g鲤25分钟练/分值：60分一、选择题(每小题5分，共2 5分)1.(2 016 福州高二检测)函数f(x)=x+l的 极 值 情 况 是()XA.当x=l时，极小值为2,但无极大值B.当x=-l时，极大值为-2,但无极小值C.当x=-l时，极小值为-2,当x=l时，极大值为2D.当x=-l时,极大值为-2;当x=l时,极小值为2【解析】选D.令f (x)=l-二=0,得x=l,函数f (x)在区间(-8,-1)和(1,+8)上单调递增，在(-1,0)和(0,1)上单调递减，所 以 当x=-l时，取极大值-2,当x=l时,取极小值2.2 .已知函数f(x)=
2、x 3+a x?+(a+6)x+l有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A.-K a 2 B.-3 a 6C.a 2 D.a 6【解析】选D.f (x)=3 x2+2 a x+a+6,函数f (x)有极大值和极小值，则f (x)=3 x，2 a x+a+6=0 有两不相等的实数根，即有=(2 a)2-12 (a+6)0,解得a 6.3.(2 016 临沂高二检测)已知函数f(x)=2 x3+a x2+3 6x-2 4在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.+8)C (2,+8)D.(-8,3)解析选 B.f (x)=6x2+2 a x+3 6,因为f (x)在x=2
3、处有极值，所以 f (2)=0,解得a=-15.令 f (x)0 得 x 3 或 x 2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+8).【补偿训练】设a为实数,求函数f (x)=e*-2 x+2 a,x G R的单调区间与极值.【解析】因为f (x)=e、-2,令&(x)=0,解得x=l n 2,当x l n 2时，&(x)l n 2时,f (x)0,函数单调递增；故函数的减区间为(-,I n 2),增区间为(I n 2,+8),当x=l n 2时函数取极小值，极小值 f (I n 2)=el n 2-2 1 n 2+2 a=2-2 1 n 2+2 a.4.(2 016 天津高二检测)函数f(
4、x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 解析选 B.因为 f (x)=2xl n 2+3 x20,所以函数 f (x)=2x+x3-2 在(0,1)上递增，且 f (0)=1+0-2=-10,所以有1 个零点.5.若 a 0,b0,且函数f (x)=4 x3-a x2-2 bx+2 在 x=l 处有极值,则a b 的最大值等于()A.2B.3C.6D.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b 的关系式,再利用基本不等式求最大值.【解析】选 D.&(x)=12 x-2 a x-2 b,因为函数f (x)=4 x3-a x2-2 bx+2 在
5、x=1处有极值,所以 f (1)=12-2 a-2 b=o,2即 a+b=6,则 a b W(坐 广=9(当且仅当a=b=3 时，等号成立).二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2。16 西安高二检测)已知函数f (x)m+a/+a x+b,当 x=-l 时，函 数 f(x)的极值为-3,则 f(2)=12-【解析】f (x)=x2+2 a x+a.由题意知 f (7)=0,f (7)=-,12即1 2a Ia =0,一二1+,H-a,+tb =73 L2f 3=1,解得所以 f (x)=-x3+x2+x-.3所 以 千 卫.4答 案 127.(2 016四川高考改编)已知a为函数f(x)
6、=x3-12 x的极小值点，则a=.【解题指南】求出f (x),解 出 方 程 它(X)=O的根，再根据不等式f (x)o,f(X)O的解集得出函数的极值点.【解析开，00=3 x 2-12=3(x-2)(x +2),令 f (X)=0,得 x=-2 或 x=2,易知 f(x)在(一2 2)上单调递减,在(2,+8)上单调递增，故f(x)的极小值为f (2),所 以a=2.答案:28.(2 016 重庆高二检测)已知函数f (x)x+a x 2+x+l有两个极值点，则实数a的3取值范围是.【解析】f (x)=x 2+2 a x+l,因为函数f (x)有两个极值点，所以方程f (x)=x2+2
7、a x+l=0有两个不相等的实数根，所以=4 a 2-40,解得a l.答案:a-l或a l三、解答题(每小题10分,共2 0分)9.(2 016 烟台高二检测)设f&)=户,其 中a为正实数.1+ax-当a=时，求f(x)的极值点.3(2)若f (x)为R上的单调函数,求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得f (x)=e七 生 潜.(1+。；产 产(1)当 a/时，若 f (x)=0,贝 寸 4 x-8 x+3=0,3角 单 得 X i=,X?=一.2 2当X变化时，&(X)和f(X)的变化情况如表:1/I 33/3 X 百)22(2 +00 J广(X)+00+f(X)/极大值极小值/所
8、以x=3是极小值点，X,是极大值点.2 2 若f(x)为R上的单调函数，则&(X)在R上不变号，结合f (x)与条件a0,知ax2-2 ax+1 20在R上恒成立，由此 =4a2-4a=4a(a-1)WO,又 a0,故 0aW1.10.a为何值时，方 程(-3 x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根？【解析】令 f(x)=x3-3 x2,y二a.f(x)的定义域为R.方程x-3 x2-a=0的根的个数即x3-3 x2=a根的个数，f(x)=x-3 x2与y=a交点个数.由 f(x)=3X2-6X=0.得 x=0 或 x=2,所以当x2时,f(x)0;当 0 x2
9、 时,f(x)0或a_4时，原方程有一个根；当a=0或a-4时，原方程有两个不等实根;当-4a0时，原方程有三个不等实根;由图象可知，原方程不可能无实根.(g诞)20分钟 练/分值：40分一、选择题(每小题5 分，共 10分)1.若函数y=x -3 a x+a 在(1,2)内有极小值,则实数a的 取 值 范 围 是()A.K a 2 B.l a 4C.2 a 4 或 a 0时，y =3 x-3 a=0=x=v a,不难分析当l A/a 2 即 l a 1 时，(x)0;在 x=1 附近的左侧，f (x)0,所以f (1)是极小值.二、填空题(每小题5 分，共 1 0 分)3.(2 0 1 6
10、烟台高二检测)已知函数f (x)=x3-3 x的图象与直线y=a有三个不同的交点,则a的 取 值 范 围 是.【解析】令 f (x)=3 x 2-3=。，得*=1,可得极大值为f (7)=2,极小值为f (1)=-2.y=f (x)的大致图象如图所示，观察图象得当-2 a 0.3 当m=l时,求曲线y=f(x)在点(1,f (1)处的切线的斜率.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)当 m=1 Ht,f (x)=-x3+x2,3&(x)=-x2+2x,故 f (1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)=-x2+2x+m2-1.令 f (x
11、)=0,解得 x=1-m 或 x=1+m.因为m0,所 以1+m1-m.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表：X(-8,1-m)1-m(1-m,1+m)1+m(1+m,+8)&(x)0+0f (x)f (1-m)/f (1+m)所以函数f (x)在(-oo,1-m)和(1+m,+8)上是减函数，在(1-m,1+m)上是增函数.函数f (x)在x=1-m处取得极小值f (1-m),且 f (1-m)-HTi3+m2_-.3 3函数f (x)在x=1+m处取得极大值f (1+m),X呜+8且 f (1 +m)=n n3+m2-.3 36.(2 0 1 6 山东高考)设 f(x)=x l
12、 n x-a x 2+(2 a-l)x,a R.令 g(x)=*(x),求 g(x)的单调区间.(2)已知f (x)在 x=l 处取得极大值,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)通过二次求导，研究 g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点！再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=fz(x)=l n x-2 a x+2 a,所以g (x)=L 2 a=上史.X X当 a W O,x G (Q,+s)时,g (x)0,函数 g(x)单调递增.当 a 0,xG(Q，/)时,gz(x)0,函数 g(x)单调递增，)时,g (x)0,函数g (x)单调递增区间为(Q，3,函数g (x)单调递减区
13、间为(+，+s).由 知 f (1)=0.当 a W O,f (x)单调递增，所以x (Q,l)时，&(x)0,f (x)单调递增，所以f (x)在 x=1 处取得极小值，不合题意.当 0 a 1 时，由(1)知 V (x)在(Q 勺 内 单 调 递 增，所以 x (Q,l)时,f (x)O,f (x)单 调 递 减,勺 时,f (x)O,f(x)单调递增，所以千(x)在 x=1 处取得极小值，不合题意.当 a=1，W=1 时,f (x)在(Q J)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，所以x (Q,+8)时，产(x)W O,f (x)单调递减，不合题意.当 a !，0 O,f(x)单调递增，
14、当x (1,+8)时,f (x)O,f(x)单调递减，所以f(x)在 x=1 处取得极大值，符合题意.综上可知a.2课时提升作业二十四函数的最大(小)值与导数(g g g)2 5 a钟然/分值：60分一、选择题(每小题5分，共 2 5 分)1.(2 0 1 6 临沂高二检测)函数y=2 x3-3 x2-1 2 x+5 在 0,3 上的最大值和最小值分别 是()A.5,-1 5 B.5,4C.-4,-1 5 D.5,-1 6【解析】选 A.y =6x2 _6x_1 2=6(x-2)(x+1),令 y =0,得 x=2 或 x=-1 (舍).因为 f (0)=5,f (2)=-1 5,f (3)=
15、-4,所以 ym ax=5,ymin=-15.【补偿训练】函数y 在区间R,2 上 的 最 小 值 为()x L2 JA.2 e B.-e2 C.-D.e【解析】选D.y 二二二，令y，=0,得x=1,X2故 f (x)m i n=f (1)=e.2.(2 0 1 6 德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均 为 高b 上的可导函数，在 a,b 上连续且f (x)g，(x),则f(x)-g(x)的 最 大 值 为()A.f (a)-g(a)B.f (b)-g(b)C.f (a)-g(b)D.f (b)-g(a)【解析】选 A.f (x)-g(x)=f,(x)-g (x)0,所以函数 f (x
16、)-g(x)在 a,b 上单调递减，所以f (x)-g (x)的最大值为f (a)-g (a).3.(2016 长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)x-.2X令千(x)=x-1，所以*(x)=1+2-xl n 20.2X所以f (x)在(0,+8)上单调递增，所以千(x)f (0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(T ,+8).4.(2016 安庆高二检测)已知函数f (x)=4x：+2ax 2+3x(a0)的 导 数f (x)的最3大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(l)处 的 切 线 方 程 是()A.3x-15 y+4=0 B.15 x-3y-2=0C.15 x-3y+
17、2=0 D.3x-y+l=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值，再求切线方程.解析选 B.因为 f (x)=-x3+2ax2+3x,3所以 f (x)-2x2+4ax+3-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f (x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a0,所以a=1,所以 f (1)=5,f(1)=所 以 在 函 数 f(x)图 象 上 的 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 是 y-=5(x-1),即315 x-3y-2=0.5.(2016 潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6 x2+m(m 为常数)在-2,2 上有最大值3,那么此函数在-2,2 上 的 最 小 值 是
18、()A.-37 B.-29C.-5 D.以上都不对【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在 -2,2 上的最小值.解析选 A.因 为 为(x)=6 x-12x=6 x(x-2),因为f(x)在 -2,0 上为增函数，在 0,2 上为减函数，所以当x=0时，f (x)=m 最大.所以 m=3,从而 f (-2)=-37,f =-5.所以最小值为-37.二、填空题(每小题5分，共 15 分)6.当 x -1,1 时 一,函数f (x)。的值域为.解析&(幻:竺 匕 曰 空 且但 浮2令千/(x)=0,得 Xi 0,X2=2(舍去)当 x 7,0)时,(x)0,所以当x=0时,f(x)取极小
19、值f (0)=0,也是最小值;而 f (-1)=e,f ，e所以f (x)的最大值为f (-1)=e.所以f (x)的值域为 0,e .答案：0,e 7.(2016 .洛阳高二检测)函数f (x)=/(x -2,2)的最大值是-,最小值是，【解析】因为f (x)=2+1产 区+1/，令 f (x)=0,得 x=1 或 X=-1.又因为 f =2,f (7)=-2,f =-,f (-2)=-,5 5所以f(X)在 -2,2 上的最大值为2,最小值为-2.答案：2-28.若函数f (x)=；L(a0)在 1,+8)上的最大值为上则a 的值为_ _ _ _ _ _ _.x2-r a 3【解 析】f
20、(x)=E9 三 二,当 X X 考时，f (x)0,f(x)单调递增；当 x=、G时，f (x)=匹 二 解 得、条三 1,2a 3 2不合题意，所以 f (x)m ax=f (1)=二 虫，所以 a=0,所 以 f(x)在(0,+8)上单调递增.若 a0,则当 x (Q、)时，&(x)0;xG+o o)时,*(x)0时，f (x)在 xg处取得最大值，最大值为 2a-2 等价于 I n a+a-1 0,令 g(a)=In a+a-1,则 g (a)在(0,+8)上单调递增,g (1)=0.于是，当 0 a 1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1).觞 暹 国)2
21、0分钟 练/分 值：40分一、选择题(每小题5分，共 10分)1.(2016 长沙高二检测)设直线x=t 与函数f(x)=x2,g(x)=l n x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小值时t的 值 为()A.1 B.-C.D.2 2 2【解析】选 D.|MN|的最小值，即函数h(x)=x?T n x 的最小值,h (x)=2x=?二X X显然x 是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故22【补偿训练】函数f (x)2e (s i n x+c os x),x 0,1 的值域为.2-【解析】当 0 W x W 1 时，f (x)e (s i n x+c os x)+2
22、e (c os x-s i n x)=e*c os x 0,所以2 2f(x)在 0,1 上 单 调 递 增，则 f(0)W f(x)Wf，即 函 数 f(x)的值域为CQSI).答案：casl)2.(2016 武汉高二检测)当x -2,1 时,不等式ax3-x2+4x+3 0恒成立,则实数a 的 取 值 范 围 是()A.-5,-3 B.-6,-9JC._6,_2 D.-4,-3【解析】选 C.当 x=0时，3 2 0 恒成立，a R.当0 0,h (x)递增,所以 h(x)ma x=h(1)=-6,所以a 2-6.当-2 W x 0得 6*-2 0,所以*吊2.由&(x)。得 x ln 2
23、,所以f(x)在 x=ln 2 处取得最小值.只要 f(x L n W O 即可，所以 eln-2 ln 2+a 0,所以 a W 2 ln 2-2.答案：(-8,2 皿2-2 4.定义在R上的可导函数f(x)=x 2+2 x f (2)+15,在闭区间 0,m 上有最大值15,最小值T,则 m 的 取 值 范 围 是.【解析】函数 f(x)=x 2+2 x f(2)+15 的导函数为 f (x)=2 x+2 f,(2),所以 f =4+2 f (2),所以千(2)=-4,所以f(x)=X2-8X+1 5,且对称轴为x=4.又因为在闭区间 0,m 上有最大值15,最小值-1,且 f(0)=15
24、,f(4)=7,所以 0,4 墨 0,m,且千(m)(0)=15,所以4W mW 8.答案：4,8 三、解答题(每小题10 分,共2 0 分)5.(2 0 16 江苏高考改编)已知函数 f(x)=a X+b x(a 0,b 0,a W l,b N l).设 a=2,b=22(1)求方程f(x)=2 的根.(2)若对任意x G R,不等式f(2 x)2 mf(x)-6 恒成立,求实数m 的最大值.【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.分离变量m,应用基本不等式求最值.【解析】(1)f(x)=2*+(1J ,由 f(x)=2 可得 2、+G y=2=(2 X -l)2=0=2*=1=x=
25、0.(2)由题意得2?*+与 2 m 0 +9-6恒成立，令 t=2x+,则 由 2 0可得七2 2,2 乂 同 与 2,此 时 t-2 m t-6 恒成立，即 m W=H=t+2 恒成立，t t因为t22时 t+2 2 卜,二4,当且仅当t=2 时等号成立，因此实数m 的最大值为4.6.(2016 郑州高二检测)设函数 f (x)=|x3-(l+a)x2+4ax+24a,其中常数 al.(1)讨 论f(x)的单调性.若 当x 2 0时,f (x)0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f,(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由 a1 知，2a2,当 x 0,故1:6)
26、在区间(-8,2)上是增函数；当2x2a时，f (x)2a时，f&)0,故于小)在区间(2 2,+8)上是增函数.综上，当a 1时,f(x)在区间(-8,2)和(2a,+8)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数.由 知，当x 2 0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.f (2a)=-(2a)-(1+a)(2a)2+4a 2a+24a=-a3+4a2+24a,f (0)=24a.3 3a 1,仅 L由假设知 f(2a)0,即 -?a(a +3)(a-6)&的)0,(24a 0.解 得1a2Q 2-x%m,其体积为V n x (20-x2)(0 x 20),3Vz=-n (40 0-3
27、x 2),令 V 二 0,3解得x F 3,X?二 一 史 9舍去.3 2当0 0;当以d Ix 20 时,V，0.所以当X 二,V I 时,V取得最大值.【补偿训练】内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A.R B.2R C.-R D.-R34【解析】选 C.设圆锥的高为h,底面半径为r,贝 I R2=(h-R)2+r2,所以 r2=2R h-h2,drr所以 V/n/h 二 一 h&R h h?)3 32 o T T o ,4 o二-n R h-h,V -n R h-n h,3 3 3令 V=0,得 h=R.344R当 0 h0;当竺玉2R 时,Vz 4Q 0,A.1 0 0单位 B
28、.1 50单位C.20 0单位 D.30 0单位【解析】选D.设总成本为C元，总利润为P元,则 0=20 0 0 0+1 0 0 x,P=R-C=30 Q x -20 0 0 0,0 x 4Q Q,所以 p,二（3Q Q-X,。巴X 巴 40 0,-1 0 0,A 40 0,令 P =0,得 x=30 0.当 0 x 0;当 x 30 0 时，P 0),令V=-空+2=0,解得y y”y=1 6(另一负根舍去)，当0y1 6时，V 1 6时，V0,所以当y=1 6时，函数取得极小值，也就是最小值,此时x=”32.16二、填空题(每小题5 分，共 1 5分)6.(20 1 6 大连高二检测)某商
29、品一件的成本为30元,在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(20 0-x)件,则当每件商品的定价为 元时,利润最大.解析】利润 s (x)=(x-30)(20 0-x)=-X2+230X-60 0 0,S (x)=-2x+230.由s (x)=0,得x=1 1 5,这时利润最大.答案：1 1 57.(20 1 6 洛 阳高二检测)某公司一年购买某种货物40 0吨,每次购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x为 吨.【解析】设该公司一年内总共购买n次货物，则n=,所以总运费与总存储费之和 f (x)=4n+4x=+4x,令 f，(x)=4-
30、驾 J。，解得 x=2 0(-2 0 舍去)，当 0 x 2 0 时，f (x)0,当 2 0 0,所以 x=2 0 是函数 f (x)的极小值点，也是最小值点,故当x=2 0时，运费与总存储费之和最小.答案:2 08 .某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1 2 00+x:产品单价的平方与产品件数7 5X 成反比，生 产 1 0 0 件这样的产品的单价为50 元，总利润最大时，产量应定为.【解 析】设 产 品 单 价 为 a 元，产 品 单 价 的 平 方 与 产 品 件 数 x 成反比，即2 汉=2 5 0000,a=*.总利润 y=5 00v x-x3-1 2 00(x 0),yz=注
31、-由 y =0 得收 7 5 x 区 2 3x=2 5.当 x (0,2 5)时，y 0,当 x (2 5,+8)时，y 0,所以当 x=2 5 时，y 取最大值.答案：2 5 件三、解答题(每小题1 0分,共2 0分)9 .(2 01 6 石家庄高二检测)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时1 0千米时，燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时9 6 元，问轮船的速度是多少时,航行1 千米所需的费用总和最少？【解析】设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p=k v;因为 v=1 0,p=6,所以 k=?=0.006.于是有 p=0.006
32、 V)又设船的速度为每小时v千米时，行 驶 1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006 1+9 6)元，而行驶1千米所用时间为 小时，所以行驶1千V米的总费用为q (0.006 V*9 6)=0.006 v2+.VVq =0.01 2V-(v-8 000),Vs V 2令 q =0,解得 v=2 0.当 v 2 0 时，q 2 0 时，q 0,所以当v=2 0时，q取得最小值.即当速度为2 0 千米/小时时，航 行 1千米所需费用总和最少.1 0.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为1 0 万元/辆，出厂价为1 3 万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次
33、,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0 0,f (x)是增函数；当X 仔,1)时，产(x)0,f(x)是减函数.所 以 当 时，千(x)取极大值，够)=2 0000,因为f (x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.所以当X二-时，本年度的年利润最大，最大利润为2 0000万元.9（g诞）20分钟练/分值：4 0分一、选择题（每小题5分，共1 0分）1.（2 01 6 长沙高二检测）若球的半径为R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值 为（）A.2 J i R2 B.nR2C.4 J i R2 D.IJIR22【解析】选A.设内接圆柱的高为h,底面半径为x,则x=0
34、 2-位，所以 S 后2 n x h=2 n h ；R-V=2 n R 21 12 AN 4令 t=R2h2-,则 t =2 R2h-h3,令t，=0,得h=4 2 R （舍去负值）或h=0（舍去）,当 0h 0,当 M 2 Rh 2 R 时，t 0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x (0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为.【解析】依题意知，存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款 利 息 是0.048kx2,所 以 银 行 的 收 益 是y=0.048kx-kx3(0 x0.048)，故y=0.096kx-3 kx
35、2.令y =0,解得x=0.03 2或x=0(舍去).当 0 x0；当 0.03 2 x0.048 时,y O),则 f (x)=1-,由 f (x)=0 得 x=2.当 0 x2 时,f(x)2 时，f(x)0,所以千(x)在x=2处取得极小值4,也是最小值.所以 80+2 0X4=160.答案：1 60【补偿训练】(2 0 1 6-亳州高二检测)某超市中秋前3 0 天,月饼销售总量f (t)与时 间 t(0 t W3 0,t Z)的关系大致满足f(t)=t 2+1 0 t+1 2,则该超市前t天平均售出(如前1 0 天的平均售出为乂)的月饼最少为1Q 解析】记 g(t)+1 0(0 0,得
36、 t 2 43,令(t)0,得 0 t 2 3,所以函数g (t)在区间(0,2 V3)上单调递减，在区间(2、，3 1 0)上单调递增，又 t Z,且 g(3)=g(4)=1 7,所以g(t)的最小值为1 7,即该超市前t天平均售出的月饼最少为1 7个.答案：1 7个三、解答题(每小题1 0 分,共2 0 分)5.某产品每件成本9 元,售价3 0 元,每星期卖出43 2 件.如果降低价格,销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0 Wx W2 1)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出2 4件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.如何定价
37、才能使一个星期的商品销售利润最大？【解析】(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为k x 2 件.由已知条件，得 k -2?=2 4,解得k=6.若记一个星期的商品销售利润为f (x),则有f (x)=(30-X-9)(432+6x2)=-6x3+1 2 6x-432 x+90 72,x G 0,2 1 .(2)对(1)中函数f (x)求导得f (x)的变化情况如下表:X0(0,2)2(2,12)12(12,2 1)2 1f(X)0+0千(X)9 072极小值/极大值0所以当x=12时，f(x)取得极大值.因为 f(0)=9072,f(12)=11664,f(2 1)=0,所以定价为3 0
38、-12=18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.6.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=-x3-x+8(0 x 12 0).已知甲、120 QQQ 80乙两地相距100千米.当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？【解析】当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了吧=2.5(小时),此时的耗油量为(-X 403-X 40+8)x2.5=17.5(升).X129QOQ 80/因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地
39、需要耗油17.5升.当 速 度 为X千米/小时的时候，汽车从甲地到乙地行驶了吧小时.设耗油量为Xh(x)升，依题意得 h(x)=f X3 X+8)X2+-1 2 8 QQQ 80/X 1 2 8 0 X 4X(X-皑工64Q X2 64QX2令 h(x)=0,得 x=80.考虑到 0 xW12 0,当 x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.2 5(升).因为h(x)在(0,12 0上只有一个极值，所 以11.2 5是最小值.答：当汽车以8 0千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.2 5 升.课时提升作业二十
40、四函数的最大(小)值与导数(g 鲤2 5分钟练/分 值：60分一、选择题(每小题5分，共2 5分)1.(2 0 1 6 临沂高二检测)函数y=2 x3-3x2-1 2 x+5在 0,3上的最大值和最小值分别 是()A.5,-1 5 B.5,4C.-4,-1 5 D.5,-1 6【解析】选 A.y =6x2 _6x_1 2=6(x-2)(x+1),令 y =0,得 x=2 或 x=-1 (舍).因为 f (0)=5,f (2)=-1 5,f (3)=-4,所以 ym ax=5,ym i n=-1 5.【补偿训练】函数y=?在 区 间 上 的 最 小 值 为()A.2 e B.-e2 C.l D.
41、e2e【解析】选D.y 二空至，令y，=0,得x=1,故 f (x)m i n=f (1)=e.2.(2 0 1 6 德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为 a,b 上的可导函数，在 a,b 上连续且f (x)g，(x),则f(x)-g(x)的 最 大 值 为()A.f (a)-g (a)B.f (b)-g(b)C.f (a)-g(b)D.f (b)-g(a)【解析】选 A.f (x)-g(x)=fz(x)-g (x)0,所以函数 f (x)-g(x)在 a,b 上单调递减，所 以f (x)-g (x)的最大值为f (a)-g (a).3.(2 0 1 6 长春高二检测)若存在正数x使2
42、x(x-a)l成立,则a的取值范围是()A.(-8,+)B.(-2,+8)C.(0,+8)D.(-1,+8)【解析】选 D.因为2*(x-a)x-.2X令 f(X)=X-所以千(x)=1+2x I n20.2X所以f(x)在(0,+8)上单调递增，所以千(x)f(0)=0-1=-1,所以a 的取值范围为(T ,+8).4.(2016 安庆高二检测)已知函数f(x)=4x3+2ax2+3x(a0)的 导 数 f(x)的最3大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(l)处 的 切 线 方 程 是()A.3x-15y+4=0 B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0 D.3x-y+l=0
43、【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a 值，再求切线方程.【解析】选 B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,3所以 f (x)-2x2+4ax+3-2(x_a)2+2a2+3,因为导数f(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a0,所以a=1,所以 f(1)=5,f(1)=,3所 以 在 函 数 f(X)图 象 上 的 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 是 y-U=5(X-1),即315x-3y-2=0.5.(2016 潍坊高二检测)已知&)=2*3-6/+111(1 1 1 为常数)在-2,2 上有最大值3,那么此函数在-2,2 上 的 最 小 值 是()A.-37 B.-
44、2 9C.-5 D.以上都不对【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在 -2,2 上的最小值.解析选 A.因为 f (x)=6x2-1 2 x=6x (x-2),因为f(x)在 -2,0 上为增函数，在 0,2 上为减函数，所以当x=0 时，f (x)=m 最大.所以 m=3,从而 f (-2)=-37,f =-5.所以最小值为-37.二、填空题(每小题5 分，共 1 5分)6.当 x -1,1 时 一,函数f (x)。的值域为.解析V(X)=竺上4空 R,(.殍，QX令千/(x)=0,得 Xi 0,X2=2(舍去)当 x 7,0)时,f (x)0,所以当x=0 时，f (x)取极小值
45、f (0)=0,也是最小值；而 f (-1)=e,f(1)A所以f(x)的最大值为f (-1)=e.所以f(x)的值域为 0,e .答案：0,e 7.(2 0 1 6 洛 阳 高 二 检 测)函 数&)=手&-2,2 )的最大值是，最小娟 中 工值是.【解析】因为&(X)二 竺 罂 冷 若:，(X-4 1)2+令 f (x)=0,得 x=1 或 x=-1.又因为 f (1)=2,f (1)=-2,f (2)/,f (-2)=-,5 5所以f(x)在 -2,2 上的最大值为2,最小值为-2.答案：2 -28.若函数f (x)=4 J(a 0)在 1,+8)上的最大值为3,则 a的值为.X2-83
46、【解 析】f (x)=x：a-干=三，当 x,适时，f (x)0,f(x)单 调 递 减；当(x24 a)2-、豕 X0,f(x)单调递增；当 x=&时，f(X)二十二解得、万不合题意，所以 f (x)m a x=f (1)=,所以 a=v 3-1.l+a 3答案7 37三、解答题(每小题1 0 分,共2 0 分)9.(2 0 1 6 宁波高二检测)设函数f (x)=e s i n x.(1)求函数f (x)的单调递增区间.当 x 0,n 时,求函数f (x)的最大值和最小值.【解析】(1)f (x)=ex(s i n x+c os x)=M 2 exs i n x 4-；).fz(x)2 0
47、,所以 s i n(x+：)2 0,所以 2 kT I W x+1 W 2 k n +n,k Z,4即 2 k n-H x2 k n+-n,k e Z.4 4f(x)的单调增区间为鼠6 匕 Zk T c+W i c ,k Z.4 4 由 知 当 x e 0,n 时，是单调增区间，住兀,t 是单调减区间.f (0)=0,f (n)=0,千弓。=6弱，所以f (x)皿 二f修)考 点,f (x)rain=f(0)=f(n)=0.1 0.(2 0 1 5 ,全国卷 I I)已知 f (x)=l n x+a(l-x).(1)讨 论f(x)的单调性.当f(x)有最大值,且最大值大于2 a-2时，求a的取
48、值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+8),它(x)=-a.X若aW 0,则f (x)0,所 以f(x)在(0,+8)上单调递增.若 a0,则当 x(Q，3时，&(x)0;*(；,+8)时，它(x)0时，f (x)在x=g处取得最大值，最大值为千-j=-lna+a-1.因此千(；)2a-2等 价 于I na+a-1 0,令 g(a)=l na+a-1,则g(a)在(0,+8)上单调递增，g(1)=0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).鲍)20分钟练/分值：40分一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2 0 1 6-长沙高二检测)设直线
49、x=t与函数f(x)=x；g(x)=l n x的图象分别交于点 M,N,则当I M N|达到最小值时t 的 值 为()A.1 B.-C.D.2 2 2【解析】选 D.|M N|的最小值，即函数h(x)=x2-l n x 的最小值,h (x)=2 x，一 上X X显然X=3 是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故 t=i .22【补偿训练】函数f (x)e*(s i n x+c os x),x 0,1 的值域为.2-【解析】当 0 W x W 1 时，千(x)(s i n x+c os x)+2 e*(c os x-s i n x)=e*c os x 0,所以2 2f(x)在
50、 0,1 上 单 调 递 增，则 f (0)Wf(x)W f(1),即 函 数 f(x)的值域为cosl答案：;a(s i n l+c Q s l)2.(2 0 1 6 武汉高二检测)当x G-2,1 时，不等式a x x 2+4 x+3 2 0 恒成立,则实数a的 取 值 范 围 是()A.-5,-3 B.-6,-9JC.-6,-2 D.4,-3【解析】选 解 当 x=0 时,3 20恒成立，a R.当 0 0,h (x)递增，所以 h (x)m a x=h (1)=-6,所以a 2-6.器 e(sinl+当 一 2 W x 0得6*-2 0,所以*吊2.由&(x)。得 xln2,所以f(x