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1、动力学例题供参考第1页，本讲稿共23页解解：（1 1）小小车车水水平平加加速速运运动动时时，摆摆锤锤的的受受力力如如图图。在如图坐标系中有在如图坐标系中有解得解得mg第2页，本讲稿共23页小小车车沿沿斜斜面面向向上上时时摆摆锤锤的的受受力力如如图图。在在如如图图坐坐标标系系中有中有第3页，本讲稿共23页解得解得 利利用用一一个个系系统统中中的的单单摆摆悬悬线线的的取取向向，可可测测定定这这个个系系统直线运动时的加速度。统直线运动时的加速度。若若=0=0，a a2 2=a=a1 1,即为情况（即为情况（1 1）若若a a2 2=-gsin=-gsin,即为小车沿斜面自由下滑的情况，即为小车沿斜面
2、自由下滑的情况，此时可见此时悬线方向与斜面垂直。可见此时悬线方向与斜面垂直。第4页，本讲稿共23页例题例题2.如图所示，在水平转台上放置一质量为如图所示，在水平转台上放置一质量为M=2kg的小物块的小物块A，物块与转台间的静摩擦系数，物块与转台间的静摩擦系数=0.2，一条，一条光滑的绳子一端系在物块光滑的绳子一端系在物块A A上，另一端则由转台中心上，另一端则由转台中心处的小孔穿下并悬一质量为处的小孔穿下并悬一质量为m=0.8kg的物块的物块B B。转台。转台以以=4rad/s的角速度绕竖直中心轴转动，求：转台的角速度绕竖直中心轴转动，求：转台上面的物块上面的物块A A与转台相对静止时，物块转
3、动半径的最与转台相对静止时，物块转动半径的最大值和最小值。大值和最小值。分析分析:以地面为参照以地面为参照,M作作圆周运动圆周运动,摩擦力和张力提摩擦力和张力提供向心运动的向心力供向心运动的向心力;若若以转台为参照以转台为参照,则则M相对静相对静止止,此时作用在其上的力还此时作用在其上的力还要考虑惯性离心力要考虑惯性离心力.第5页，本讲稿共23页解：质量为解：质量为M的物块作圆周运动的向心力，由它与平的物块作圆周运动的向心力，由它与平台间的摩擦力台间的摩擦力f和质量为和质量为m的物块对它的拉力的物块对它的拉力F的合力的合力提供，当提供，当M物块有物块有离心趋势离心趋势时，时，f和和F同向同向，
4、而当，而当M物物块有块有向心向心运动趋势时，两者的运动趋势时，两者的方向相反方向相反。因。因M物块相物块相对于转台静止，故有对于转台静止，故有m物块是静止的，因而物块是静止的，因而 又 故故 第6页，本讲稿共23页例例题题3.在在半半径径为为R R的的光光滑滑球球面面的的顶顶点点处处,一一质质点点开开始始滑滑落落,取取初初速速度度接接近近于于零零.试试问问质质点点滑滑到到顶顶点点以以下下多多远远的的一点时一点时,质点离开球面？质点离开球面？分分析析:小小球球沿沿球球面面下下滑滑,作作变变加加速速圆圆周周运运动动.离离开开球球面面时时,受受光光滑球面对它的支持力为零滑球面对它的支持力为零.解解:
5、以以小小球球为为研研究究对对象象.取取自自然然坐坐标标,作作受受力力分分析析见见图图。某某时时刻刻,设设小小球球沿沿球球面面运运动动的的速速率率为为v,由由牛牛顿运动方程顿运动方程:第7页，本讲稿共23页顶点至脱离球面处的垂直距离顶点至脱离球面处的垂直距离 脱离球面时,由(2)式,得 将将 代入代入(1)式式,得得两边积分两边积分 得得 第8页，本讲稿共23页将将(4)(4)式代入式代入(5)(5)式式,得得 由由(3)(3)式式得得顶顶点点至至脱脱离离球球面面处处的的垂直距离垂直距离(本题用机械能守恒定律求解更简单本题用机械能守恒定律求解更简单.).)第9页，本讲稿共23页例题例题例题例题4
6、 4 4 4、由地面沿铅直方向发射质量为由地面沿铅直方向发射质量为m m的宇宙飞船。的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计空气阻力及其它作用力，设地球半径为计空气阻力及其它作用力，设地球半径为6378000m）解：解：解：解：设地球半径为设地球半径为R R，地球表面的重力近似等于引力，地球表面的重力近似等于引力宇宙飞船受的引力：宇宙飞船受的引力：运动方程：运动方程：运动方程：运动方程：mgvy第10页，本讲稿共23页两边积分：两边积分：飞船脱离地球引力时：飞船脱离地球引力时：令令 v=0第11页，本讲稿共23页例题5.一根缆绳
7、绕在固定的圆柱形木桩上,绳与木桩之间的静摩擦系数为 ,绳的一端用 的力拉着,另一端用 的力拉着而处于平衡.设缆绳所绕部分对应的圆心角为 .问拉力 的最大值是多少时才能使绕在木桩上的绳产生滑动?当 ,绳在木桩上绕两圈,问 的最大值是多少牛顿?解解:在绕于木桩的绳上取长度在绕于木桩的绳上取长度为为dl的一段微元的一段微元,考察其受力考察其受力.两端的张力两端的张力T和和T+dT,木桩的木桩的法向作用力法向作用力N和绳与木桩之和绳与木桩之间的切向静摩擦力间的切向静摩擦力f,方向如方向如图所示图所示.T+dTTNfd第12页，本讲稿共23页在这四个力作用下在这四个力作用下,该段绳处该段绳处于平衡于平衡
8、,其平衡方程的法向分其平衡方程的法向分量式为量式为切向分量式为切向分量式为由于由于d很小很小,可取可取sin(dsin(d/2)=d/2)=d/2,cos(d/2,cos(d/2)=1,/2)=1,再略去高价无穷小量再略去高价无穷小量,上述两式变为上述两式变为T+dTTNfd第13页，本讲稿共23页又因为是静摩擦又因为是静摩擦,所以所以于是于是,由上两式消去由上两式消去N后得到后得到两边积分两边积分得到得到可见拉力可见拉力T1的最大值为的最大值为代入数据可求得代入数据可求得如果绕上三圈如果绕上三圈,可得可得T1的最大值约为的最大值约为1.2410105 5牛顿牛顿,即可以拉住大一万倍以上的力即
9、可以拉住大一万倍以上的力!T+dTTNfd第14页，本讲稿共23页例题例题例题例题6 6(教材教材P72 题题2.5)图中图中A为定滑轮为定滑轮,B为动滑轮为动滑轮,三个物体三个物体m1=200g,m2=100g,m3=50g,求求:(1)每个物体的加速度每个物体的加速度;(2)两根绳子中的张力两根绳子中的张力T1与与T2.假定滑轮及绳的质量以及摩擦假定滑轮及绳的质量以及摩擦均可忽略不计均可忽略不计.第15页，本讲稿共23页分析:牛顿定律仅适用于惯性参照系.本题中,若以a1,a2,a3分别表示m1、m2、m3相对地面(惯性系)运动的加速度,应注意m2、m3相对滑轮B的加速度不是对地加速度,要运
10、用相对运动的加速度关系.若取滑轮B为参照系时,则应注意添加相应的惯性力.第16页，本讲稿共23页解解1:以以m1、m2、m3为研究对象为研究对象,选选“地面地面”参照系参照系.取坐标取坐标Oy向下为正向下为正.作受力分析如解图所示作受力分析如解图所示.设设m1、m2向下向下,m3向上运动向上运动,并分别以并分别以a1,a2,a3表示表示m1、m2、m3对地的加速度对地的加速度,以以a2表示表示m2、m3相对滑轮相对滑轮B的加的加速度速度.注意到注意到,可得可得第17页，本讲稿共23页m2对地的加速度大小 m3对地的加速度大小 对m1:(1)对m2:(2)对m3:()轻绳,且不计摩擦:(4)第1
11、8页，本讲稿共23页解(1),(2),(3),(4)式,得m/s2 m/s2 NNm/s2 m/s2 第19页，本讲稿共23页解2:对m1仍取地面为参照系.对m2、m3取滑轮B为参照系(非惯性系),则需添加惯性力,使牛顿第二定律形式上成立.取坐标以及对三个物体运动状态的假设同解1.受力分析如解图.设m1对地的加速度a1,m2、m3相对滑轮B的加速度大小为.第20页，本讲稿共23页m2受惯性力大小为受惯性力大小为:m3受惯性力大小为受惯性力大小为:对对m1:对对m2:对m3:轻绳轻绳,且不计摩擦且不计摩擦:(1)(2)()(4)改写改写(2),(3)式式,得得 (2)(3)方程方程(1),(2)
12、,(3),(4)与解与解1的方程完全相同的方程完全相同.对m3:()第21页，本讲稿共23页例题例题7（教材（教材P76 2.22）.直九型直升机的每片旋翼长直九型直升机的每片旋翼长5.97m.若按宽度一定、厚度均匀的薄片计算若按宽度一定、厚度均匀的薄片计算,旋翼以旋翼以400r/min旋转时旋转时,其根部受的拉力为其所受重力的几倍其根部受的拉力为其所受重力的几倍?解：旋翼上离转轴解：旋翼上离转轴r处的一质元的质量为处的一质元的质量为式中为旋翼材料密度，式中为旋翼材料密度，S为旋翼截面积。此质元受的法为旋翼截面积。此质元受的法向的力为向的力为由牛顿第二定律由牛顿第二定律对全长积分可得旋翼根部受的拉力为对全长积分可得旋翼根部受的拉力为第22页，本讲稿共23页此结果的负号表示拉力方向与此结果的负号表示拉力方向与r的正向相反，即指向的正向相反，即指向转轴，亦即旋翼根部受到的是拉力。此拉力是旋翼所转轴，亦即旋翼根部受到的是拉力。此拉力是旋翼所受重力倍数为受重力倍数为第23页，本讲稿共23页