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1、保角变换数学物理方法第1 页，本讲稿共31 页2重点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射 本章内容：1）保角射的概念；2）分式线性映射和几个初等函数所构成的映射；3）典型实例描述保角映射的应用第2 页，本讲稿共31 页3 1.的几何意义第一节 保角映射的概念第3 页，本讲稿共31 页4 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.3)保角性方向不变的性质,此性质称为保角性.夹角在其大小和方向上都等同于经过第4 页，本讲稿共31 页5 4）伸缩率方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.第5 页，本讲稿共31 页62.共形映射（保角映射）也
2、称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射,称为第二类共形映射质:(1)保角性;(2)伸缩率不变性.第6 页，本讲稿共31 页7称为分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成:3.分式线性映射第7 页，本讲稿共31 页8 分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.第8 页，本讲稿共31 页9 2.如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.分式线性映射将扩充z 平面上的圆周映射成扩充w 平面上的圆周,即具有保圆性
3、.3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：1.此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.第9 页，本讲稿共31 页10 4）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为保对称性.第10 页，本讲稿共31 页114.唯一决定分式线性映射的条件交比不变性第11 页，本讲稿共31 页12判别方法:对确定区域的映射 在分式线性映射下,C的内部不是映射成方法1 在分式线性映射下,如果在圆周C内任取 若绕向相反,则C方法2第12 页，本讲稿共31 页13圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2)当二圆周上有一点映射成无穷远点时,这二围成的区域.3)当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域
4、映成角形区域.1)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域.分式线性映射对圆弧边界区域的映射:第13 页，本讲稿共31 页14 5.几个初等函数所构成的映射映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的 n 倍.第14 页，本讲稿共31 页15特殊地:因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数 所构成的共形映射.0第15 页，本讲稿共31 页1600如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数.0特殊地:0映射特点:第16 页，本讲稿共31 页17三、典型例题解1 利用分式线性映射不变交比和对称点第17 页，本讲稿
5、共31 页18 由交比不变性知第18 页，本讲稿共31 页19 解2由对称点的不变性知，利用不变对称点第19 页，本讲稿共31 页20解3将所求映射设为利用典型区域映射公式第20 页，本讲稿共31 页21例2 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆,且满足条件 解因 映成 的映射为第21 页，本讲稿共31 页22第22 页，本讲稿共31 页23例3 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆，且满足条件 解第23 页，本讲稿共31 页24与 互为反函数，第24 页，本讲稿共31 页25故第25 页，本讲稿共31 页26 解第26 页，本讲稿共31 页27例5 试证明在映射 下,互相正交的直线族 与 依此映射成互相正交的直线族与圆族 证第27 页，本讲稿共31 页28由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得证.证毕第28 页，本讲稿共31 页29 例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.由分式线性映射的保圆性知：将铅直带形域第29 页，本讲稿共31 页30为所求映射.第30 页，本讲稿共31 页31放映结束，按Esc退出.第31 页，本讲稿共31 页