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二、实数的连续性1.1.有理数的定义有理数的定义 分数 有限小数与无限循环小数 12.无理数的发现无理数的发现 大约公元前400年，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现“等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约”（的发现）。芝 诺 悖 论 第一次数学危机的产生及解决。2 十九世纪后半叶，十九世纪后半叶，康托、魏康托、魏尔斯特拉斯、戴德金尔斯特拉斯、戴德金各自独立各自独立地对无理数进行了严格定义，地对无理数进行了严格定义，建立了完整的实数理论。建立了完整的实数理论。33.有理数集与无理数集的比较有理数集与无理数集的比较（1）有理数对四则运算封闭，无理数则不封闭。（2）有理数比无理数轻巧的多。(元素个数；拷贝；集合长度）44.有理数是实数的忠实代表有理数是实数的忠实代表 任意实数可用有理数逼近55.5.有理数的缺陷有理数的缺陷 没有无理数的实数轴将是千疮百孔的，不适于建立分析学。66.6.实数的连续性实数的连续性 没有孔，天衣无缝。实数的连续性是极限的基础，极限是微积分的基础。77.实数的连续性定理实数的连续性定理o有上（下）界的数集必有上（下）确界o单调有界数列必有极限o区间套定理o有限覆盖定理o聚点原理o有界数列必有收敛子列o基本列必收敛8