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1、第四章第四章 方阵的对角化方阵的对角化第一节第一节 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量第二节第二节 相似矩阵和矩阵对角化相似矩阵和矩阵对角化第三节第三节 向量的内积和向量的内积和SchmidtSchmidt正交化正交化第四节第四节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化第一节第一节 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念与求法与求法二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质三、小结三、小结 思考题思考题说明说明一、特征值与特征向量的概念与求法一、特征值与特征向量的概念与求法解解例例1 1 例例 解解例例 设设求求A的特
2、征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为：得基础解系为：证明：略证明：略二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质注意注意.属于方阵属于方阵A的不同特征值的特征向量的不同特征值的特征向量是线性无关的是线性无关的.属于属于方阵方阵A的的同一特征值的特征向量的同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得注：注：例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解解解方法一方法一方法二方法二方法三方法三求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答