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1、有理数知识点总结 正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-8 3.0 表示的
2、意义 0 表示“没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如：有理数 1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8 也是偶数，-1,-3,-5 也是奇数。2.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分
3、 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0 不能忽视）正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整数 正有理数、0 统称为非负有理数 负有理数、0 统称为非正有理数 数轴 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可
4、用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，
5、则 a0 时，-a0（正数的相反数是负数）当 a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时，-a=0，（0 的相反数是 0）6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.可用字母表示为：如果 a0，那么|a|=a；如果 a0，那么|a|=-a；如果 a=0，那么|a
6、|=0。可归纳为：a0，|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0，|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。即0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0|a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a
7、+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则 a=0且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5.绝对值的化简 当 a0 时，|a|=a；当 a0 时，|a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上
8、表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。有理数的加减法 1.有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结
9、合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即：当 b0 时，a+ba 当 b0 时，a+b0，b0 Ba0 Cab0 D以上均不对 （）下列交换加数位置的变形中，正确的是（）（A）1-4+5-4=1-4+4-5 （B）1-2+3-4=2-1+4-3（C）4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7 （D）-31+43-61-41=41+43-31-61（）近似数 2.30 104的有效数字有（）（A）5 个
10、（B）3 个 （C）2 个 （D）以上都不对）若-a 不是负数，那么 a 一定是（）。（A）负数 （B）正数 （C）正数和零 （D）负数和零（）如图，在数轴上有 a、b 两个有理数，则下列结论中，不正确的是（）（A）a+b0 （B）a-b0 （C）ab0 2个有理数相加，若和为负数，则加数中负数的个数（）(A)有2个 (B)只有1个 (C)至少1个 (D)也可能是0个 若三个有理数的和为0，则下列结论正确的是（）(A)这三个数都是0 (B)最少有两个数是负数 (C)最多有两个正数 (D)这三个数是互为相反数 两个数的差是负数,则这两个数一定是()(A)被减数是正数,减数是负数 (B)被减数是负
11、数,减数是正数(C)被减数是负数,减数也是负数 下列四个式子：(1),1,(1)3,(1)8.其中计算结果 为 1 的有()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 20XX年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空飞向月球。已知地球距离月球表面约为 384000 千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（）（A）3.84 410千米（B）3.84 510千米（C）3.84 610千米（D）38.4 410千米 计算)12()4131211(，运用哪种运算律可避免通分（）(A)加法交换律 (B)加法结合律(C)乘法交换律 (D)分配律 数a四舍五入后的近似值为3.1
12、,则a的取值范围是()(A)3.05a3.15 (B)3.14a3.15 (C)3.144a3.149 (D)3.0 a3.2 一个数的立方就是它本身,则这个数是()(A)1 (B)0 (C)1 (D)1或 0 或1 三计算题（能用简便算法的用简便算法）（1）8(41)5(0.25)（2）82+7236（3）721143(919)（4）2543+(25)2125(41)（5）(79)24194(29)（6）(1)3(1 21)33(3)2（7）2(x-3)-3(-x+1)(8)a+2(a-1)-(3a+5)（）（413-312）（-2）-223（-12）15(41)15(0.25)（）（-14
13、）2（-12）4（-1）4-（138+113-234）24)8()9()2()5()8()2()7()15()3(15()3()85.1()432()75.0(85.0 ()31()325(2()43)31()21(1 ()111174417431115（）)32(9449)81(;（）292423(-12)（）2543(25)2125(41)）3-(+63)-(-259)-(-41)；）231)-(+1031)+(-851)-(+352)；）598-5412-5331-84；）-8721+532119-1279+43212 )1279543(361;|97|2)4(31)5132(322)4
14、3(6)12(7311 四、比较下列各对数的大小（1）54与43 （2）54与54 （3）25与52（4）232与2)32(、五在数轴上表示数：，2112,0,1,1.522按从小到大的顺序用连接起来 六、（4 分）（1）将下列各数填入相应的圈内：221，5 ，0 ，1.5 ，2 ，3。正数集合 整数集合 （2）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合：。七、已知：4)2(,412yx，求yx 的值.（5 分）八(8 分)数轴上 A,B,C,D四点表示的有理数分别为 1,3,5,8(1).计算以下各点之间的距离：A、B两点,B、C两点,C、D两点,九、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5 和它
15、的相反数，21和它的倒数，绝对值等于 3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“0 x，y0，求32xyyx的值。十二：应用题.(10分)某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走 100 米到聪聪家,再向西走 150 米到青青家,再向西走 200 米到刚刚家,请问:(1)聪聪家与刚刚家相距多远?(2)如果把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(数轴上一格表示50 米).(3)聪聪家向西210 米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少?(4)你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离?学校组织
16、同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时出发，于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为 6 元，3 千米后每千米收1.2元，不足 1 千米的按 1 千米计算。请你回答下列问题：（1）小明乘车 3.8 千米，应付费_元。（3）小明乘车 X（X是大于 3 的整数）千米，应付费多少钱？（4）小明身上仅有 10 元钱，乘出租车到距学校 7 千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由。、一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是 4，小明此时在山顶测得的温度是2，已知该地区高度每升高 100 米，气温下降0.8，问这个山峰有多高？(5 分)、下表列出了国
17、外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午800（1）求现在纽约时间是多少？（2）斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？3 分 城 市 时差/时 纽 约 13 巴 黎 7 （4 分）某商店营业员每月的基本工资为 300 元，奖金制度是：每月完成规定指标 10000元营业额的，发奖金 300 元；若营业额超过规定指标，另奖超额部分营业额的 5%，该商店的一名营业员九月份完成营业额 13200 元，问他九月份的收入为多少元？、淮海商场经理对今年上半年每月的利润作了如下记录：1、2、5、6 月盈利分别是 33万元、32 万元、52.5 万元、
18、28 万元，3、4 月亏损分别是 17.7 万元和 17.8 万元。试用正、负数表示各月的利润，并算出该商场上半年的总利润额。(6 分)、（请你帮忙算一算）在“十一”黄金周期间，淮北市风景区在 7 天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 人数变化单位：万人 1.6 0.8 0.4-0.4-0.8 0.2-1.2 请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2)若 9 月 30 日的游客人数为 2 万人，求这 7 天的游客总人数是多少万人？8 分 十三拓展题 1如果规定符号“”的意义是ab=abab，求 2(3)4 的值。2已知|1|x=4，2(2)4y，求xy的值。、小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：+5 ，3，+10 ，8，6，+12，10 问：（1）小虫是否回到原点O？（2）小虫离开出发点O最远是多少厘米？（3）、在爬行过程中，如果每爬行 1 厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？、计算：12345+678+9101112+2005200620072008 51491.751531311