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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 极值点偏移问题总结 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(xfy 在区间),(ba内只有一个极值点0 x，方程0)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若0212xxx，则称函数)(xfy 在区间),(21xx上极值点0 x偏移；（2）若0212xxx，则函数)(xfy 在区间),(21xx上极值点0 x左偏，简称极值点0 x左偏；（3）若0212xxx，则函数)(xfy 在区间),(21xx上极值点0 x右偏，简称极值点0 x右偏。2、极值点偏移的判定定理 判定定理 1 对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上
2、只有一个极大（小）值点0 x，方程0)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若0)2(21 xxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy 在区间),(21xx上极大（小）值点0 x右（左）偏；（2）0 若0)2(21xxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy 在区间),(21xx上极大（小）值点0 x左（右）偏。证明：（1）因为可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0 x，则函数)(xfy 的单调递增（减）区间为),(0 xa，单调递减（增）区间为),(0bx，又bxxa21，有),(221baxx由于0)2(21 xxf，故),(2021xaxx，所以
3、021)(2xxx，即函数极大（小）值点0 x右（左）偏。判定定理 2 对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0 x，方资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 程0)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若)2()(201xxfxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy 在区间),(21xx上极大（小）值点0 x右（左）偏；（2）若)2()(201xxfxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy 在区间),(21xx上极大（小）值点0 x左（右）偏。证明：（1）因为对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0 x
4、，则函数)(xfy 的单调递增（减）区间为),(0 xa，单调递减（增）区间为),(0bx，又bxxa21，有01xx，且0202xxx，又)2()(201xxfxf，故2012)(xxx，所以021)(2xxx，即函数极大（小）值点0 x右（左）偏.结论（2）证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述：（1）求出函数()f x的极值点；（2）构造一元差函数00()()()F xf xxf xx （3）确定函数()F x的单调性；（4）结合(0)0F，判断()F x的符号，从而确定00(),()f xxf xx的大小关系。2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x满足12()
5、()f xf x，0 x为()f x的极值点，求证：1202xxx （1）讨论函数()f x的单调性并求出()f x的极值点0 x；假设此处()f x在0,x上单调递减，在0,x 上单调递增。（2）构造00()()()F xf xxf xx；资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 注：此处根据题意需要还可以构造成0()()(2)F xf xfxx（3）通过求导()Fx谈论()F x的单调性，判断处()F x在某段区间上的正负，并得出0()f xx与0()f xx的大小关系；假设此处()F x在0,上单调递增，那么我们便可以得出00()(0)()()0F xFf xf x，从而
6、得到：0 xx时，00()()f xxf xx（4）不妨设102xxx，通过()f x的单调性，12()()f xf x，00()()f xxf xx与的大小关系得出结论；接上述情况：由于0 xx时，00()()f xxf xx且102xxx，12()()f xf x故1202002002()()()(2)f xf xfxxxf xxxfxx ，又因为10 xx，0202xxx且()f x在0,x上单调递减，从而得到1022xxx，从而1202xxx得证；（5）若要证明12()02xxf还需进一步讨论122xx与0 x的大小，得出122xx所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论
7、得证；此处只需继续证明：因为1202xxx故1202xxx，由于()f x在0,x上单调递减，故12()02xxf 说明：（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求()f x的单调性、极值点，证明00()()f xxf xx与或0()(2)f xfxx与的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 1202xxx或者1202xxx的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 三、例题(一)不含参数的的极值点偏移问题 例 1：（2010 天
8、津理 21）已知函数()()xf xxexR（1）求函数()f x的单调区间和极值；（2）若12xx，且12()()f xf x，求证：122xx 解答：【法一】（1）()1xfxx e，()0,1fxx；,1增 1,减 极大值1(1)fe（2）11()(1)(1)11xxg xfxfxx ex e ，1(1)()xxg xx ee ()0,0g xx；,0减；0,增 0 x时，()(0)0g xg 即(1)(1)fxfx 12xxQ，不妨设12xx，由（1）知121,1xx，12222()()111(1)(2)f xf xfxfxfx 221,21xx Q，()f x在,1上增，122xx，
9、即122xx【法二】欲证122xx，即证212xx 由法一知1201,1xx，故121x 又因为()f x 在1,上是单调递减的，只需证21()(2)f xfx,资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 又因为12()()f xf x，故也即证11()(2)f xfx，构造函数()()(2)h xf xfx，0,1x 由221()()(2)1xxxh xfxfxee()h x在 0,1上单调递增，()(1)0h xh 故原不等式122xx成立【法三】由12()()f xf x得，2112xxx ex e，化简得2121xxxex 不妨设21xx，由法一知1201xx ，令21t
10、xx，则0t，21xtx，代入得：11ttxex，反解出：11ttxe，则121221ttxxxtte，故要证122xx即证221ttte，又因为10te ，等价于证明：2210ttte 构造函数 ()2210tg tttet ，则()11tg tte，()0tgtte，故()0+g t在，上单调递增，()(0)0g tg 从而()0+g t在，上单调递增，()(0)0g tg【法四】由12()()f xf x得，2112xxx ex e，化简得2121xxxex，两边同时取以 e 为底的对数：得221211lnlnlnxxxxxx，即2121lnln1xxxx，从而2211221212122
11、2121111+1lnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，令 211xttx，则欲证122xx等价于证明1ln21ttt，构造 1 ln2()1ln,111ttg tt ttt，资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 则 2212 ln()1tttg tt t ，又令 2()12 ln1h tttt t 则()22ln121lnh ttttt ，由于1lntt 对1,t恒成立，故()0h t，()h t在1,上单调递增，()(1)0h th，()0g t 对1,t恒成立，()g t在1,上单调递增，()(1)g tg 由洛必达法则知：11111 ln1 l
12、n1lim()limlimlim ln211 tttttttttg ttttt 即()2g t，即证式成立，也即原不等式成立 例 2：（2013 湖南 文 21）21()1xxf xex，（1）求函数的单调区间；（2）证明：当1212()()()f xf xxx时，120 xx 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑(二)含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元1,2x x 基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例 1 已知函数()xf xxae
13、 有两个不同的零点12,x x，求证：122xx 例 2.已知函数()lnf xxax，a为常数，若函数()f x有两个不同的零点12,x x，求证：212xxe 例 3：已知12,x x是函数()xf xeax的两个零点，且12xx（1）求证：122xx（2）121xx 例 4：已知函数()(0)axf xxea，若存在12,x x（12xx），使12()()0,f xf x 求证：12xaex 变式训练：1.设函数()()xf xeaxa aR的图像与x轴交于 1212,0,0A xB xxx两点，（1）证明：12()0fx x （2）求证：1212x xxx 2.设函数2()lnf xa
14、xbx，其图像在点2,(2)Pf处切线的斜率为3，当2a 时，令()()g xf xkx，设12,x x（12xx）是方程()0g x 的两个根，0 x是12,x x的等差中项，求证：0()0g x 3.已知函数1()ln()f xax aRx （1）若2a，求函数()f x在 21,e上的零点个数；（2）若()f x有两零点12,x x（12xx），求证：112231axxe 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 4.已知函数 21()1ln2f xxa xax （1）讨论()f x的单调性；（2）设0a，证明：0 xa 时，()()f axf ax (三)(四)含对数式
15、的极值点偏移问题 根据12()()f xf x建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。对数平均不等式的介绍与证明 两个整数a和b的对数平均定义：lnln,abababL a ba ab，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：,2ababL a b 例 1：已知函数2()ln2f xxaxa x （1）讨论()f x的单调性；（2）设0a，证明：当10 xa 时，11()()fxfxaa；（3）若函数()yf x的图像与x轴交于 A,B 两点，线段 AB 中点的横坐标为0 x，证明：0()0fx 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编
16、辑(五)含指数式的极值点偏移问题 2),(,)()(),(,2nmnmmnmnmeebaEenmenmnmeebaEebea不等式有如下关系：根据对数平均，则设在对数平均的定义中，指数不等式：例 1（全国 1 卷 2016 理 21）已知函数2()(2)(1)xf xxea x有两个零点12,x x，证明：122xx 例 2（天津 2010 理 21）已知函数()()xf xxexR （1）求函数()f x的单调区间和极值；（2）若12xx，且12()()f xf x，求证：122xx 例 3.设函数()()xf xeaxa aR的图像与x轴交于 1212,0,0A xB xxx两点，证明：12()0fx x 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 word 可编辑 变式训练：已知函数2()()xf xaxeaR在0,上有两个零点1212,x xxx （1）求实数a的取值范围；（2）求证：124xx；