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1、第 1 页 共 13 页 人教版第一章-有理数知识点、考点、难点总结归纳-副本 第一章 有理数知识点总结归纳 及典型例题 一、正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0 小的数；正数：比 0 大的数。0 既不是正数，也不是负数 注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量.习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负 .比
2、如：零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-8 二、有理数 1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分第 2 页 共 13 页 数统称为分数 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。2数轴（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据
3、实际需要规定的。（2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来。（3）利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。第 3 页 共 13 页（4）数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数 3 相反数：(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0 的相反数
4、是 0；(2)互为相反数的两数的和为 0，即：若 a、b 互为相反数，则 a+b=0（3）相反数的求法：求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5）；求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b），化简得-5a-b）；求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5 的相反数是-（-5），化简得 5)（4）多重符号的化简 多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果
5、为正。4.绝对值：（1）绝对值的几何定义 数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫做 a 的绝对值，记作：第 4 页 共 13 页 a (2)求绝对值：正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；可用字母表示为：如果 a0，那么|a|=a；如果 a|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a 0，|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）（3）若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为
6、0）4.有理数比大小：（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数 比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。（3）大数-小数 0，小数-大数 0.4.倒数：（1）乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；（2）若 a,b 互为倒数，则 ab=1;（3）求倒数 求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带第 5 页 共 13 页 分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于
7、它本身的数是 1 或-1；三、有理数的加减法 1、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0 相加，仍得这个数.2 有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加 “相反数结合法”；符号相同的两个数先相加 “同号结合法”；分母相同的数先相加 “同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加 “凑整法”；整数与整数、小数与小数相
8、加 “同形结合法”。3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）.四、有理数的乘除法 1.有理数乘法法则：法则一：第 6 页 共 13 页 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同 0 相乘，都得 0；法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.2.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3
9、）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.3.有理数除法法则：（1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 4.有理数的加减乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照先乘除，后加减的顺序进行。第 7 页 共 13 页 五、有理数乘方 1.乘方的概念（1）求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。记作：an,在 an
10、 中，a 叫做底数，n 叫做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂 都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。3.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。4.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 10na 的形式(其中 a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数），这种记数法叫科学记数法.强调：a 是整数数位只有一位的数.5.近似数（1）近似数 的精确位：第 8 页 共 13 页 一个近似数，四
11、舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.（2）求近似数：按精确位的要求，用四舍五入法求近似数。（3）有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.有理数知识点归纳及典型例题 一、【正负数】有理数的分类：_ _统称 整数，试举例说明。_统称 分数，试举例说明。_统称 有理数。基础练习 1把下列各数填在相应额大括号内：1，0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 有理数 有理数 正整数集 ；正有理数集 ；负有理数集 负整数集 ；自然数集 ；正分数集 负分数集 2 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5
12、.8 元的意义 是；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的卖价是。二、【数轴】规定了、的直线，叫数轴 基础练习 1 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是第 9 页 共 13 页（）2 在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来。4，-|-2|，-4.5，1，0 3 下列语句中正确的是（）数轴上的点只能表示整数 数轴上的点只能表示分数 数轴上的点只能表示有理数 所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、比 3 大的负整数是 _；已知是整数且-40）时，a=；（2）当 a 是负数（即 a0）时，a=；（3）当 a=0 时，a=.绝对值的非负性：任意有理数 a
13、，有 a O 1-5 的相反数是；-（-8）的相反数是；-+（-6）=0 的相反数是；a 的相反数是；21 的相反数的倒数是 _ 2 若 a 和 b 是互为相反数，则 a+b（）A.2a B.2b C.0 D.任意有理数 3(1)如果 a 13，那么 a _；(2)如果-a 5.4，那么 a _；(3)如果 x 6，那么 x _；(4)x 9，那么 x _.4 已知 a、b 都是有理数，且|a|=a，|b|=-b、，则 ab 是（）A负数；B.正数；C.负数或零；D.非负数 四、【绝对值】一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的 叫做数 a 的绝对值，记作 a.一个正数的绝对值是；一个负数的绝对
14、值是它的；0 的绝对值是.基础练习 1 第 10 页 共 13 页 2 的绝对值表示它离开原点的距离是 个单位，记作.2|-8|=。-|-5|=。绝对值等于 4 的数是 _。3 绝对值等于其相反数的数一定是（）A负数 B正数 C负数或零 D正数或零 4 7x，则 _x；7x，则 _x 5 如果 aa 22 ，则 a 的取值范围是（）A a O B a O C a O D a O 6 如果 3a，则 _3 a，_3 a 7 绝对值不大于 11 的整数有（）A 11 个 B 12 个 C 22 个 D 23 个 五、【有理数的运算】有理数加减法法则课本 P-18-22 页 有理数乘除法法则课本 P
15、-29-34 页 求几个相同因数的积的运算，叫做 有理数的乘方。即：aaaa n (有 n 个 a)有理数乘除法法则 同号得 ，异号得，再把绝对值相乘（除）。“奇负偶正”的应用 1、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：-+-(-2)=-2 2、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如：第 11 页 共 13 页(-1)(-2)(-3)(+4)=-24(-1)(-2)(-3)(-4)=24 3、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：(-2)3=-8,(-3)2=9 4、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，但改变一个或三个都
16、改变时，分数的值就变相反了），如：；基础练习 1从运算上看式子 a ，可以读作；从结果上看式子 a 可以读作.2 33=；（21）2=；-52=；22 的平方是；3 下列各式正确的是（）A.225(5)B.1996(1)1996 C.2003(1)(1)0 D.99(1)1 0 4 下列说法正确的是（）A.如果 ab，那么 22ab B.如果 22ab，那么 ab C.如果 ab，那么 22ab D.如果 ab，那么 ab 5 在 2+32（6）这个算式中，存在着 种运算.请你们讨论、交流，上面这个式子应该先算、再算、最后算.6有理数的运算 2 253 39 （-1）10 2+（-2）3 4
17、（-5）3 3 41()2 11 1 1 3 5()5 3 2 11 4 （-10）4+（-4）2 (3+32)2 33 42293 2 5 1 71()24(5)13 8 6 12 第 12 页 共 13 页 2(1 0)8(2)(4)(3)2 3 10110.25(0.5)()(1)82 222 2 23()4(1)8()3 3 3 7 已知 a=3，2b=4，且 ab，求 ab 的值。8 某大楼地上共有 12 层，地下共有 4 层，每层高 2.8 米，请用正负数表示这栋楼每层的楼层号，某人乘电梯从地下 3 层升至地上 7 层，电梯一共上了多少米？9 已知 a4 与 22ba 互为相反数，
18、求 ba 2 的值。10 如 果 有 理 数 a、b、c 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示，求 11a b b a c c 的值.五、【科学记数法】【近似数】把一个大于 10的数记成 a 10n 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法.其中：a:n 的两种求法：1、2、基础练习 1 用 科 学 记 数 数 表 示：1305000000=；-1020=.2 水星和太阳的平均距离约为 57900000 km 用科学记数法表示为.a b 0 c 13 120 万用科学记数法应写成；2.4 万的原数是.4.近似数 3.5 万精确到 位.5 近似数 0.4062 精确到.6 5.47 105 精确到 位 7.3.4030 105 精确到千位是.8 第 13 页 共 13 页 某数有四舍五入得到 3.240，那么原来的数一定介于 和 之间.9 用四舍五入法求 30951 的近似值（精确到百位），结果是