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1、 2020 年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题 26 动点综合问题【共 45 题】一选择题（共11 小题）1（2020铜仁市）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D，设点 P 运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）A B C D【分析】分别求出 0 x4、4x7 时函数表达式，即可求解【解析】由题意当 0 x4 时，y=12 ADAB=12 346，当 4x7 时，y=12 PDAD=12（7x）4142x 故选：D 2（2020安徽）如图，ABC 和DEF 都是边长为 2 的等边三
2、角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E 重合现将ABC 在直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动在此过程中，设点 C 移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（）A B C D【分析】分为 0 x2、2x4 两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得 y 与x 的函数关系式，于是可求得问题的答案【解析】如图 1 所示：当 0 x2 时，过点 G 作 GHBF 于 H ABC 和DEF 均为等边三角形，GEJ 为等边三角形 GH=32EJ=32x，y=12EJ GH=34x2 当 x2 时，y=3
3、，且抛物线的开口向上 如图 2 所示：2x4 时，过点 G 作 GHBF 于 H y=12FJ GH=34（4x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 故选：A 3（2020江西）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，连接 AB，将 RtOAB 向右上方平移，得到 RtOAB，且点 O，A落在抛物线的对称轴上，点 B落在抛物线上，则直线 AB的表达式为（）Ayx Byx+1 Cyx+12 Dyx+2【分析】求得 A、B 的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出 A（1，n），则 B（4，n+3），把 B（4，n+
4、3）代入抛物线解析式求得 n，即可求得 A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的表达式【解析】如图，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，令 y0，解得 x1 或 3，令 x0，求得 y3，A（3，0），B（0，3），抛物线 yx22x3 的对称轴为直线 x=221=1，A的横坐标为 1，设 A（1，n），则 B（4，n+3），点 B落在抛物线上，n+31683，解得 n2，A（1，2），B（4，5），设直线 AB的表达式为 ykx+b，+=24+=5，解得=1=1 直线 AB的表达式为 yx+1，故选：B 4（2020衡阳）如图 1，在平面直角坐标
5、系中，ABCD 在第一象限，且 BCx 轴直线 yx 从原点 O 出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴上平移的距离 m的函数图象如图 2 所示那么 ABCD 的面积为（）A3 B3 2 C6 D6 2【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边 AD 的长和边 AD 边上的高 BM 的长，从而可以求得平行四边形的面积【解析】过 B 作 BMAD 于点 M，分别过 B，D 作直线 yx 的平行线，交 AD 于 E，如图 1 所示，由图象和题意可得，AE642，DE761，BE2，AB2+13，直线 BE 平行直线 yx，BMEM
6、=2，平行四边形 ABCD 的面积是：AD BM3 2=3 2 故选：B 5（2020辽阳）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2，CDAB 于点 D点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PEAC 于点 E，作 PFBC 于点 F设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（）A B C D【分析】根据 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2，可得 AB4，根据 CDAB 于点 D可得ADBD2，CD 平分角 ACB，点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点
7、C 停止，分两种情况讨论：根据 PEAC，PFBC，可得四边形 CEPF 是矩形和正方形，设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，进而可得能反映 y 与 x 之间函数关系式，从而可以得函数的图象【解析】在 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2，AB4，A45，CDAB 于点 D，ADBD2，PEAC，PFBC，四边形 CEPF 是矩形，CEPF，PECF，点 P 运动的路程为 x，APx，则 AEPEx sin45=22x，CEACAE2 2 22x，四边形 CEPF 的面积为 y，当点 P 从点 A出发，沿 AD 路径运动时，即 0 x2 时，yPE CE =22x
8、（2 2 22x）=12x2+2x=12（x2）2+2，当 0 x2 时，抛物线开口向下；当点 P 沿 DC 路径运动时，即 2x4 时，CD 是ACB 的平分线，PEPF，四边形 CEPF 是正方形，AD2，PDx2，CP4x，y=12（4x）2=12（x4）2 当 2x4 时，抛物线开口向上，综上所述：能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是：A 故选：A 6（2020孝感）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AB4，BC6，BAD30动点P 沿路径 ABCD 从点 A出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动过点 P 作 PHAD，垂足为 H设点 P 运动的时间为 x（
9、单位：s），APH 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）A B C D【分析】分别求出点 P 在 AB 上运动、点 P 在 BC 上运动、点 P 在 CD 上运动时的函数表达式，进而求解【解析】当点 P 在 AB上运动时，y=12AHPH=12 APsinAAPcosA=12 x234=38x2，图象为二次函数；当点 P 在 BC 上运动时，如下图，由知，BHABsinA412=2，同理 AH2 3，则 y=12 AHPH=12（2 3+x4）22 3 4+x，为一次函数；当点 P 在 CD 上运动时，同理可得：y=12（2 3+6）（4+6+2x）（3+3）（12x），为一次
10、函数；故选：D 7（2020淄博）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则ABC 的面积是（）A12 B24 C36 D48【分析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC 边上的高为 8（即此时BP8），即可求解【解析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC 边上的高为 8（即此时 BP8），当 y8 时，PC=22=10282=6，ABC 的面积=12 ACBP=12 8
11、1248，故选：D 8（2020广元）如图，AB，CD 是O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OCBO 的路线匀速运动，设APDy（单位：度），那么 y 与点 P 运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A B C D【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点 P 沿 OC 运动时；（2）当点 P 沿 CB 运动时；（3）当点P 沿 BO 运动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可【解析】（1）当点 P 沿 OC 运动时，当点 P 在点 O 的位置时，y90，当点 P 在点 C 的位置时，OAOC，y45，y 由 90
12、逐渐减小到 45；（2）当点 P 沿 CB 运动时，根据圆周角定理，可得 y90245；（3）当点 P 沿 BO 运动时，当点 P 在点 B 的位置时，y45，当点 P 在点 O 的位置时，y90，y 由 45逐渐增加到 90 故选：B 9（2020金昌）如图，正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点动点 P 从点 E 出发，沿着 EOBA的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 A，在此过程中线段 AP 的长度 y 随着运动时间 x 的函数关系如图所示，则 AB的长为（）A4 2 B4 C3 3 D2 2【分析】连接 AE，由题意 DEOE，设 DEOEx，则
13、OAOD2x，AE2 5，在 RtAEO 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【解析】如图，连接 AE 四边形 ABCD 是正方形，ACBD，OAOCODOB，由题意 DEOE，设 DEOEx，则 OAOD2x，AE2 5，x2+（2x）2（2 5）2，解得 x2 或2（不合题意舍弃），OAOD4，ABAD4 2，故选：A 10（2020台州）如图 1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度 v（单位：m/s）与运动时间 t（单位：s）的函数图象如图 2，则该小球的运动路程 y（单位：m）与运动时间 t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A B C
14、D【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程 y 是 t 的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断【解析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程 y 是 t 的二次函数，图象是先缓后陡，在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C 11（2020河南）如图，在 ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（）A（32，2）B（2，2）C（114，2）D（4，2）【分析】根据已知条件得到 AC6，OC2，OB7，求得 BC9，根据正方形的性质得到 D
15、EOCOE2，求得 OEOC2，根据相似三角形的性质得到 BO3，于是得到结论【解析】如图，设正方形 DCOE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方形，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0），AC6，OC2，OB7，BC9，四边形 OCDE 是正方形，DEOCOE2，OEOC2，EOBC，BOEBCA90，EOAC，BOEBCA，=，26=9，BO3，OC7232，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2），故选：B 二填空题（共 11 小题）12（2020通辽）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是边 BC上一动点，
16、设 PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象上的最低点那么 a+b的值为 4+2 3 【分析】点 A关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，进而求解【解析】如图，将ABC 沿 BC 折叠得到ABC，则四边形 ABAC 为菱形，菱形的对角线交于点 O，设菱形的边长为 2m，在ABC 中，BC2BO2ACsinOAC4msin602 3m，从图 看，AB+BE3 3=3m，解得：m=3；点 A关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，ABAC，BAC120，则BAA60，故 AAB 为等边三角形，
17、E 是 AB 的中点，故 AEAB，而 ABAC，故PAC 为直角，则 aPC=230=433m，此时 bAA2m，则 a+b2m+433m4+2 3 故答案为 4+2 3 13（2020连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 y=34x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小值为 2 【分析】如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N首先证明点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C求出 M
18、N，当点 C 与 C重合时，CDE的面积最小 【解析】如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N ACCB，AMOM，MC=12OB1，点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C 直线 y=34x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，D（4，0），E（0，3），OD4，OE3，DE=32+42=5，MDNODE，MNDDOE，DNMDOE，=，3=35，MN=95，当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小，最小值=12 5（95 1）2，故答案为 2 14（2020福建）设 A，B，C，D 是反比例函数 y=图象上的
19、任意四点，现有以下结论：四边形 ABCD 可以是平行四边形；四边形 ABCD 可以是菱形；四边形 ABCD 不可能是矩形；四边形 ABCD 不可能是正方形 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【分析】如图，过点 O 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 A，C，B，D，得到四边形 ABCD证明四边形 ABCD 是平行四边形即可解决问题【解析】如图，过点 O 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 A，C，B，D，得到四边形 ABCD 由对称性可知，OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形，当 OAOCOBOD 时，四边形 ABCD 是矩形 反比例函数的图象在一，三象限，直线 A
20、C 与直线 BD 不可能垂直，四边形 ABCD 不可能是菱形或正方形，故选项 正确，故答案为，15（2020淮安）如图，等腰ABC 的两个顶点 A（1，4）、B（4，1）在反比例函数 y=1（x0）的图象上，ACBC过点 C 作边 AB 的垂线交反比例函数 y=1（x0）的图象于点 D，动点 P 从点 D出发，沿射线 CD 方向运动 3 2个单位长度，到达反比例函数 y=2（x0）图象上一点，则 k2 1 【分析】用待定系数求得反比例函数 y=1，再与直线 yx 联立方程组求得 D 点坐标，再题意求得运动 后 P 点的坐标，最后将求得的 P 点坐标代入 y=2（x0）求得结果【解析】把 A（1
21、，4）代入 y=1中得，k14，反比例函数 y=1为=4，A（1，4）、B（4，1），AB 的垂直平分线为 yx，联立方程驵=4=，解得=2=2，或=2=2，ACBC，CDAB，CD 是 AB 的垂直平分线，CD 与反比例函数 y=1（x0）的图象于点 D，D（2，2），动点 P 从点 D 出发，沿射线 CD 方向运动 3 2个单位长度，到达反比例函数 y=2（x0）图象上一点，设移动后的点 P 的坐标为（m，m）（m2），则(+2)2+(+2)2=(3 2)2，x1，P（1，1），把 P（1，1）代入 y=2（x0）中，得 k21，故答案为：1 16（2020德州）如图，在矩形 ABCD 中
22、，AB=3+2，AD=3把 AD 沿 AE折叠，使点 D 恰好落在 AB边上的D处，再将AED绕点E顺时针旋转，得到AED，使得EA恰好经过BD的中点F AD交 AB 于点 G，连接 AA有如下结论：AF 的长度是 6 2；弧 DD的长度是5 312；AAFAEG；AAFEGF上述结论中，所有正确的序号是 【分析】由折叠的性质可得DADE90DAD，ADAD，可证四边形 ADED是正方形，可 得 ADADDEDE=3，AE=2AD=6，EADAED45，由勾股定理可求 EF 的长，由旋转的性质可得 AEAE=6，DED，EADEAD45，可求 AF=6 2，可判断；由锐角三角函数可求FED30
23、，由弧长公式可求弧 DD的长度，可判断；由等腰三角形的性质可求EAAEAA52.5，AAF7.5，可判断；由“HL”可证 RtEDGRtEDG，可得DGEDGE52.5，可证AFAEFG，可判断，即可求解【解析】把 AD 沿 AE折叠，使点 D 恰好落在 AB边上的 D处，DADE90DAD，ADAD，四边形 ADED是矩形，又ADAD=3，四边形 ADED是正方形，ADADDEDE=3，AE=2AD=6，EADAED45，DBABAD2，点 F 是 BD中点，DF1，EF=2+2=3+1=2，将AED绕点 E 顺时针旋转 ，AEAE=6，DED，EADEAD45，AF=6 2，故 正确；ta
24、nFED=13=33，FED30 30+4575，弧 DD的长度=753180=5312，故正确；AEAE，AEA75，EAAEAA52.5，AAF7.5，AAFEAG，AAEEAG，AFA120EAG，AAF 与AGE 不全等，故 错误；DEDE，EGEG，RtEDGRtEDG（HL），DGEDGE，AGDAAG+AAG105，DGE52.5AAF，又AFAEFG，AFAEFG，故正确，故答案为：17（2020东营）如图，在 RtAOB 中，OB2 3，A30，O 的半径为 1，点 P 是 AB边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（其中点 Q 为切点），则线段 PQ 长度的最小值为
25、2 2 【分析】连接 OP、OQ，作 OPAB于 P，根据切线的性质得到 OQPQ，根据勾股定理得到 PQ=21，根据垂线段最短得到当 OPAB时，OP 最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可【解析】连接 OP、OQ，作 OPAB于 P，PQ 是O 的切线，OQPQ，PQ=22=21，当 OP 最小时，线段 PQ 长度的最小，当 OPAB 时，OP 最小，在 RtAOB 中，A30，OA=6，在 RtAOP中，A30，OP=12OA3，线段 PQ 长度的最小值=321=2 2，故答案为：2 2 18（2020广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，
26、等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，ABC90，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN4，E 为 MN 的中点，点 D 到BA，BC 的距离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 2 5 2 【分析】如图，连接 BE，BD求出 BE，BD，根据 DEBDBE 求解即可【解析】如图，连接 BE，BD 由题意 BD=22+42=2 5，MBN90，MN4，EMNE，BE=12MN2，点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2 为半径的弧，当点 E 落在线段 BD 上时，DE 的值最小，DE 的最
27、小值为 2 5 2 故答案为 2 5 2 19（2020鄂州）如图，半径为 2cm 的O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方 形的中心，直线OE过F点 当正方形ABCD沿直线OF 以每秒（2 3）cm的速度向左运动 1或（11+6 3）秒时，O 与正方形重叠部分的面积为（23 3）cm2 【分析】分两种情形：如图 1 中，当点 A，B 落在O 上时，如图 2 中，当点 C，D 落在O 上时，分别求解即可解决问题【解析】如图 1 中，当点 A，B 落在O 上时，O 与正方形重叠部分的面积为（23 3）cm2 此时，运动时间 t（2 3）（2 3）1（秒）
28、如图 2 中，当点 C，D 落在O 上时，O 与正方形重叠部分的面积为（23 3）cm2 此时，运动时间 t4+2（2 3）（2 3）（11+6 3）（秒），综上所述，满足条件的 t 的值为 1 秒或（11+6 3）秒 故答案为 1 或（11+6 3）20（2020鄂州）如图，已知直线 y=3x+4 与 x、y 轴交于 A、B 两点，O 的半径为 1，P 为 AB上一动点，PQ 切O 于 Q 点当线段 PQ 长取最小值时，直线 PQ 交 y 轴于 M 点，a 为过点 M 的一条直线，则点 P 到直线 a 的距离的最大值为 2 3 【分析】在直线 y=3x+4 上，x0 时，y4，y0 时，x=
29、433，可得 OB4，OA=433，得角 OBA30，根据 PQ 切O 于 Q 点可得 OQPQ，由 OQ1，因此当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时 OPAB，若使点 P 到直线 a 的距离最大，则最大值为 PM，且 M 位于 x 轴下方，过点 P 作 PEy 轴于点 E，根据勾股定理和特殊角 30 度即可求出 PM 的长【解析】如图，在直线 y=3x+4 上，x0 时，y4，当 y0 时，x=433，OB4，OA=433，tanOBA=33，OBA30，由 PQ 切O 于 Q 点可知：OQPQ，PQ=22，由于 OQ1，因此当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时 OPAB，OP=12
30、OB2，此时 PQ=2212=3，BP=4222=2 3，OQ=12OP，即OPQ30，若使点 P 到直线 a 的距离最大，则最大值为 PM，且 M 位于 x 轴下方，过点 P 作 PEy 轴于点 E，EP=12BP=3，BE=(2 3)2(3)2=3，OE431，OE=12OP，OPE30，EPM30+3060，即EMP30，PM2EP2 3 故答案为：2 3 21（2020成都）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，E，F 分别为 AB，CD 边的中点动点 P 从点E 出发沿 EA 向点 A 运动，同时，动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动，连接 PQ，过点 B 作 BH
31、PQ于点 H，连接 DH若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A的过程中，线段 PQ长度的最大值为 3 2，线段 DH 长度的最小值为 13 2 【分析】连接 EF 交 PQ 于 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 OH，OD，过点 O 作 ONCD 于 N首先利用相似三角形的性质证明 EM2FN，推出 EM2，FN1，当点 P 与 A重合时，PQ 的值最大，解直角三角形求出 OD，OH 即可解决问题【解析】连接 EF 交 PQ 于 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 OH，OD，过点 O 作 ONCD 于 N 四边形 ABCD 是矩形，DF
32、CF，AEEB，四边形 ADFE 是矩形，EFAD3，FQPE，MFQMEP，=，PE2FQ，EM2MF，EM2，FM1，当点 P 与 A 重合时，PQ 的值最大，此时 PM=2+2=22+22=2 2，MQ=2+2=12+12=2，PQ3 2，MFONBC，MOOB，FNCN1，DNDF+FN3，ON=12(+)=2，OD=2+2=32+22=13，BHPQ，BHM90，OMOB，OH=12BM=1222+22=2，DHODOH，DH 13 2，DH 的最小值为 13 2，故答案为 3 2，13 2 22（2020泰州）如图，直线 ab，垂足为 H，点 P 在直线 b 上，PH4cm，O 为
33、直线 b 上一动点，若以1cm 为半径的O 与直线 a 相切，则 OP 的长为 3cm 或 5cm 【分析】当点 O 在点 H 的左侧O 与直线 a 相切时，OPPHOH；当点 O 在点 H 的右侧O 与直线a 相切时，OPPH+OH，即可得出结果【解析】直线 ab，O 为直线 b 上一动点，O 与直线 a 相切时，切点为 H，OH1cm，当点 O 在点 H 的左侧，O 与直线 a 相切时，如图 1 所示：OPPHOH413（cm）；当点 O 在点 H 的右侧，O 与直线 a 相切时，如图 2 所示：OPPH+OH4+15（cm）；O 与直线 a 相切，OP 的长为 3cm 或 5cm，故答案
34、为：3cm 或 5cm 三解答题（共 23 小题）23（2020临沂）如图，菱形 ABCD 的边长为 1，ABC60，点 E 是边 AB 上任意一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N（1）求证：AFEF；（2）求 MN+NG 的最小值；（3）当点 E 在 AB 上运动时，CEF 的大小是否变化？为什么？【分析】（1）连接 CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到 CFEF 和 CFAF 即可得证；（2）连接 AC，根据菱形对称性得到 AF+CF 最小值为 AC，再根据中位线的性质得到 MN+NG 的最小值为 AC 的一半
35、，即可求解；（3）延长 EF，交 DC 于 H，利用外角的性质证明AFCFCE+FEC+FAE+FEA，再由 AFCFEF，得到AEFEAF，FECFCE，从而推断出AFDFAE+ABFFAE+CEF，从而可求出ABFCEF30，即可证明【解析】（1）连接 CF，FG 垂直平分 CE，CFEF，四边形 ABCD 为菱形，A和 C 关于对角线 BD 对称，CFAF，AFEF；（2）连接 AC，M 和 N 分别是 AE和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点，MN=12AF，NG=12CF，即 MN+NG=12（AF+CF），当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时，AF+CF 最小，即
36、此时 MN+NG 最小，菱形 ABCD 边长为 1，ABC60，ABC 为等边三角形，ACAB1，即 MN+NG 的最小值为12；（3）不变，理由是：延长 EF，交 DC 于 H，CFHFCE+FEC，AFHFAE+FEA，AFCFCE+FEC+FAE+FEA，点 F 在菱形 ABCD 对角线 BD 上，根据菱形的对称性可得：AFDCFD=12AFC，AFCFEF，AEFEAF，FECFCE，AFDFAE+ABFFAE+CEF，ABFCEF，ABC60，ABFCEF30，为定值 24（2020金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 OB，OC
37、的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F，已知 OB8（1）求证：四边形 AEFD 为菱形（2）求四边形 AEFD 的面积（3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 D），点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P，Q，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可（2）连接 DE，求出ADE 的面积即可解决问题（3）首先证明 AK3DK，当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形当AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4
38、，图 5 两种情形 如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形分别利用相似三角形的性质求解即可【解答】（1）证明：如图 1 中，AEDF，ADEF，四边形 AEFD 是平行四边形，四边形 ABOC 是正方形，ACABOCOB，ACEABD90，E，D 分别是 OC，OB 的中点，CEBD，CAEABD（SAS），AEAD，四边形 AEFD 是菱形 （2）解：如图 1 中，连接 DE SADBSACE=12 8416，SEOD=12 448，SAEDS正方形ABOC2SABDSEOD64216824，S菱形AEFD2SAED48 （3）解：如图 1 中，连接 AF，设 AF 交
39、 DE 于 K，OEOD4，OKDE，KEKD，OKKEKD2 2，AO8 2，AK6 2，AK3DK，当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形：如图 2 中，设 AG 交 PQ 于 H，过点 H 作 HNx 轴于 N，交 AC 于 M，设 AMt 菱形 PAQG菱形 ADFE，PH3AH，HNOQ，QHHP，ONNP，HN 是PQO 的中位线，ONPN8t，MAHPHN90AHM，PNHAMH90，HMAPNH，=13，HN3AM3t，MHMNNH83t，PN3MH，8t3（83t），t2，OP2ON2（8t）12，P（12，0）如图 3 中，过点 H 作
40、 HIy 轴于 I，过点 P 作 PNx 轴交 IH 于 N，延长 BA交 IN 于 M 同法可证：AMHHNP，=13，设 MHt，PN3MH3t，AMBMAB3t8，HI 是OPQ 的中位线，OP2IH，HIHN，8+t9t24，t4，OP2HI2（8+t）24，P（24，0）当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形：如图 4 中，QH3PH，过点 H 作 HMOC 于 M，过 D 点 P 作 PNMH 于 N MH 是QAC 的中位线，MH=12AC4，同法可得：HPNQHM，=13，PN=13HM=43，OMPN=43，设 HNt，则 MQ3t，MQ
41、MC，3t843，t=209，OPMN4+t=569，点 P 的坐标为（569，0）如图 5 中，QH3PH，过点 H 作 HMx 轴于 M 交 AC 于 I，过点 Q 作 QNHM 于 N IH 是ACQ 的中位线，CQ2HI，NQCI4，同法可得：PMHHNQ，=13，则 MH=13NQ=43，设 PMt，则 HN3t，HNHI，3t8+43，t=289，OPOMPMQNPM4t=89，P（89，0）如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形：过点 H 作 HMy 轴于于点 M，交 AB于 I，过点 P 作 PNHM 于 N HIx 轴，AHHP，AIIB4，PNIB4，
42、同法可得：PNHHMQ，=13，MH3PN12，HIMHMI4，HI 是ABP 的中位线，BP2IH8，OPOB+BP16，P（16，0），综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）25（2020连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为 3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间（1）经过多长时间，盛水筒 P
43、 首次到达最高点？（2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？（3）若接水槽 MN 所在直线是O 的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO8m求盛水筒 P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上（参考数据：cos43sin471115，sin16cos741140，sin22cos6838）【分析】（1）如图 1 中，连接 OA求出AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题（2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时AOP3.4517，过点 P 作 PDOC 于 D，解直角三角形求出 CD 即可 （3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出POM，CO
44、M，可得POH 的度数即可解决问题【解析】（1）如图 1 中，连接 OA 由题意，筒车每秒旋转 36056 605，在 RtACO 中，cosAOC=2.23=1115 AOC43，180435=27.4（秒）答：经过 27.4 秒时间，盛水筒 P 首次到达最高点（2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时AOP3.4517，POCAOC+AOP43+1760，过点 P 作 PDOC 于 D，在 RtPOD 中，ODOP cos60312=1.5（m），2.21.50.7（m），答：浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面 0.7m（3）如图 3 中，点 P 在O 上，且
45、MN 与O 相切，当点 P 在 MN 上时，此时点 P 是切点，连接 OP，则 OPMN，在 RtOPM 中，cosPOM=38，POM68，在 RtCOM 中，cosCOM=2.28=1140，COM74，POH180POMCOM180687438，需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒 P 从最高点开始，至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上 26（2020潍坊）如图 1，在ABC 中，A90，ABAC=2+1，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且ADAE1，连接 DE现将ADE 绕点 A顺时针方向旋转，旋转角为 （0 360），如图 2，连接 CE，BD，CD（1）当 0 1
46、80时，求证：CEBD；（2）如图 3，当 90时，延长 CE 交 BD 于点 F，求证：CF 垂直平分 BD；（3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数 【分析】（1）利用“SAS”证得ACEABD 即可得到结论；（2）利用“SAS”证得ACEABD，推出ACEABD，计算得出 ADBC=2+2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时，BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解【解答】（1）证明：如图 2 中，根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90，CAE+B
47、AEBAD+BAE90，CAEBAD，在ACE 和ABD 中，=，ACEABD（SAS），CEBD；（2）证明：如图 3 中，根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90，在ACE 和ABD 中，=，ACEABD（SAS），ACEABD，ACE+AEC90，且AECFEB，ABD+FEB90，EFB90，CFBD，ABAC=2+1，ADAE1，CABEAD90，BC=2AB=2+2，CDAC+AD=2+2，BCCD，CFBD，CF 是线段 BD 的垂直平分线；（3）解：BCD 中，边 BC 的长是定值，则 BC 边上的高取最大值时BCD 的面积有最大值，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上
48、时，BCD 的面积取得最大值，如图 4 中：ABAC=2+1，ADAE1，CABEAD90，DGBC 于 G，AG=12BC=2+22，GAB45，DGAG+AD=2+22+1=2+42，DAB18045135，BCD 的面积的最大值为：12 =12(2+2)(2+42)=3 2+52，旋转角 135 27（2020苏州）如图，已知 MON90，OT 是MON 的平分线，A是射线 OM 上一点，OA8cm动点 P 从点 A出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以 1cm/s的速度沿 ON 竖直向上作匀速运动连接 PQ，交 OT 于点 B
49、经过 O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、QC设运动时间为 t（s），其中 0t8（1）求 OP+OQ 的值；（2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由（3）求四边形 OPCQ 的面积 【分析】（1）由题意得出 OP8t，OQt，则可得出答案；（2）如图，过点 B 作 BDOP，垂足为 D，则 BDOQ 设线段 BD 的长为 x，则 BDODx，OB=2BD=2x，PD8tx，得出=，则88=，解出 x=828由二次函数的性质可得出答案；（3）证明PCQ 是等腰直角三角形则 SPCQ=12PC QC=1222 22PQ=14
50、PQ2在 RtPOQ 中，PQ2OP2+OQ2（8t）2+t2由四边形 OPCQ 的面积 SSPOQ+SPCQ可得出答案【解析】（1）由题意可得，OP8t，OQt，OP+OQ8t+t8（cm）（2）当 t4 时，线段 OB 的长度最大 如图，过点 B 作 BDOP，垂足为 D，则 BDOQ OT 平分MON，BODOBD45，BDOD，OB=2BD 设线段 BD 的长为 x，则 BDODx，OB=2BD=2x，PD8tx，BDOQ，=，88=，x=828 OB=2 828=28(4)2+2 2 当 t4 时，线段 OB 的长度最大，最大为 2 2cm（3）POQ90，PQ 是圆的直径 PCQ9