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1、 1 圆 24.1.1 圆 知识点一 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二 圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
2、两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且 CDAB，C M AM=BM A B 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
3、弦所对的两条弧如上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M，CDAB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。24.1.3 弧、弦、圆心角 2 知识点 弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆
4、心角相同，但此时弧、弦不一定相等。24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径。（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。24
5、.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。（2）用数量关系表示：若设O 的半径是 r，点 P 到圆的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外 dr；点 p 在圆上 d=r；点 p 在圆内 dr。知识点二 过已知点作圆（1）经过一个点的圆（如点 A）以点 A 外的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA 为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。O1 A O2 O3 （2）经过两点的圆（如点 A、B）以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA（或 OB）为半径作圆即可
6、，如图，这样的圆可以作无数个。3 A B （3）经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C 作圆，作法：连接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 O，以点 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。A O B C 知识点三 三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫
7、做这个三角形的外心。知识点四 反证法 （1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方 法叫做反证法。（2）反证法的一般步骤：假设命题的结论不成立；从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设O 的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有：直线 l 和O 相交 d r；直线
8、l 和O 相切 d=r；直线 l 和O 相离 d r。知识点二 切线的判定和性质 （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点 且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三 切线长定理 （1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。4（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（3）注意：切线和切线长是两
9、个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两 个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知识点四 三角形的内切圆和内心 (1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。24.2.3 圆和圆的位置关系 知识点一 圆与圆的位置关系（1）圆与圆的位置关系有五种：如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；如果两个圆只
10、有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：若设两圆圆心之间的距离为 d，两圆的半径分别是 r1 r2,且 r1 r2，则有 两圆外离 dr1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 2-r1dr1+r2 两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 dr2-r1 24.3 正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正
11、多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二 正多边形的性质 （1）正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形。（2）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。（3）正 n 边形的每一个内角等于 (n 2)180，中心角和外角相等，
12、等于 360。n n 5 24.4 弧长和扇形面积 nR 知识点一 弧长公式 l=180 n nR 在半径为 R 的圆中，360的圆心角所对的弧长就是圆的周长 C=2R，所以 n的圆心角所对的弧长的计算公式 l=2R=。360 180 知识点二 扇形面积公式 nR 2 在半径为 R 的圆中，360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=R2，所以圆心角为 n的扇形的面积为 S 扇形=360。比较扇形的弧长公式和面积公式发现：nR 2 nR 1 1 1 S 扇形=360 180 2 R 2 lR,所以s扇形 2 lR 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的
13、侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 r，因此圆锥的侧面积 s圆锥侧 12 2r l rl。圆锥的全面积为 s圆锥全 s圆锥侧 s底 rl r 2。练习：一选择题（共 10 小题）1下列说法，正确的是（）A弦是直径 B 弧是半圆 C半圆是弧 D 过圆心的线段是直径 2如图，在半径为 5cm 的O 中，弦 AB=6cm，OCAB 于点 C，则 OC=（）A3cm B 4cm C 5cm D 6cm （2 题图）（3 题图）（4 题图）（5 题图）（8 题图）3一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点 O
14、 为圆心，5 为半径的圆的一部分，M 是O 中弦 CD 的中点，EM经过圆心 O 交O 于点 E若 CD=6，则隧道的高（ME 的长）为（）A4 B 6 C 8 D 9 4如图，AB 是O 的直径，=，COD=34，则AEO 的度数是（）A51 B 56 C 68 D 78 5如图，在O 中，弦 AC半径 OB，BOC=50，则OAB 的度数为（）6 A25 B 50 C 60 D 30 6O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA=3cm，则点 A 与圆 O 的位置关系为（）A点 A 在圆上 B 点 A 在圆内 C点 A 在圆外 D 无法确定 7已知O 的直径是 10，圆心 O
15、到直线 l 的距离是 5，则直线 l 和O 的位置关系是（）A相离 B 相交 C 相切 D 外切 8如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和的长分别为（）A2，B 2，C，D 2，9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 2，B=135，则的长（）A2 B C D 10如图，直径 AB 为 12 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B 旋转到点 B，则图中阴影部分的面积是（）A12 B 24 C 6 D 36 二填空题（共 10 小题）11 如图，AB 是O 的直径，CD 为O 的一条弦，CDAB 于点 E，已知 CD=4，
16、AE=1，则O 的半径为 （9 题图）（10 题图）（11 题图）（12 题图）12如图，在ABC 中，C=90，A=25，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则的度数为 13如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为O 的直径，点 C 为的中点若A=40，则B=度 （13 题图）（14 题图）（15 题图）（17 题图）14如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的P 的圆心 P 的坐标为（3，0），将P 沿 x 轴正方向平移，使P 与 y 轴相切，则平移的距离为 15如图，点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，则BAO 的度数为 16已知
17、一条圆弧所在圆半径为 9，弧长为 ，则这条弧所对的圆心角是 17如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以 AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留 ）18已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 5，则圆锥的全面积是 19如果圆柱的母线长为 5cm，底面半径为 2cm，那么这个圆柱的侧面积是 7 20半径为 R 的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 三解答题（共 5 小题）21如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CFAD（1）请证
18、明：E 是 OB 的中点；（2）若 AB=8，求 CD 的长 22已知：如图，C，D 是以 AB 为直径的O 上的两点，且 ODBC求证：AD=DC 23如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作O 的切线 DF，交AC 于点 F（1）求证：DFAC；（2）若O 的半径为 4，CDF=22.5，求阴影部分的面积 24如图，OAB 中，OA=OB=4，A=30，AB 与O 相切于点 C，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）25一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积 8 新人教版九年级数学上册第二十四章圆单元试题参
19、考答案 一选择题（共10 小题）1C 2B 3D 4A 5A 6B 7C 8D 9B 10B 二填空题（共 10 小题）11 1250 1370 141 或 5 1554 1650 172 1824 1920cm2 2060 三解答题（共 5 小题）21（1）证明：连接 AC，如图 直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，AC=AD，过圆心 O 的线 CFAD，AF=DF，即 CF 是 AD 的中垂线，AC=CD，AC=AD=CD 即：ACD 是等边三角形，FCD=30，在 RtCOE 中，点 E 为 OB 的中点；（2）解：在 RtOCE 中，AB=8，又BE=OE，OE=2，（21 题图）（
20、22 题图）（23 题图）（24 题图）22证明：连结OC，如图，ODBC，1=B，2=3，又OB=OC，B=3，1=2，AD=DC 23（1）证明：连接 OD，OB=OD，ABC=ODB，AB=AC，ABC=ACB，ODB=ACB，ODAC，DF 是O 的切线，DFOD，DFAC（2）解：连接 OE，DFAC，CDF=22.5，ABC=ACB=67.5，BAC=45，OA=OE，AOE=90，O 的半径为 4，S扇形AOE=4，SAOE=8，S阴影=4 8 24解：连接 OC，AB 与圆 O 相切，OCAB，OA=OB，AOC=BOC，A=B=30，9 在 RtAOC 中，A=30，OA=4，OC=OA=2，AOC=60，AOB=120，AC=2，即 AB=2AC=4，则 S阴影=SAOBS扇形=4 2=4故阴影部分面积 4 25解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为 12，圆锥的底面圆的半径为 5，所以圆锥的母线长=13，所以圆锥的表面积=52+2513=90