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1、第三部分：数三真题及答案解析 一、选择题 1 8 小题每小题 4 分，共 32 分 当0 x时，用)(xo表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A）)()(32xoxox （B）)()()(32xoxoxo（C）)()()(222xoxoxo （D）)()()(22xoxoxo【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当0 x时)()(),()(2332xoxxgxoxxxf，但)()()(xoxgxf而不是)(2xo故应该选（D）2函数xxxxxfxln)1(1)(的可去间断点的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详解】当0
2、lnxx时，xxexxxxln11ln，1lnlnlimln)1(1lim)(lim000 xxxxxxxxxfxxxx，所以0 x是函数)(xf的可去间断点 21ln2lnlimln)1(1lim)(lim011xxxxxxxxxfxxxx，所以1x是函数)(xf的可去间断点 xxxxxxxxxfxxxxln)1(lnlimln)1(1lim)(lim111，所以所以1x不是函数)(xf的可去间断点 故应该选（C）设kD是圆域1|),(22yxyxD的第k象限的部分，记kDkdxdyxyI)(，则（）（A）01I （B）02I （C）03I （D）04I【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
3、 22122110222)1(|cossin31)sin(sin31)cos(sin)(kkkkkkDkddrrddxdyxyIk 所以32,32,04231IIII，应该选（B）设na为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A）若1nnaa，则11)1(nnna收敛；（B）若11)1(nnna收敛，则1nnaa；（C）若 1nna收敛则存在常数1P，使npnanlim存在；（D）若存在常数1P，使npnanlim存在，则 1nna收敛【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（）此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件0limnna
4、，显然错误而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造 设，均为n阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵 C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价（B）矩阵 C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价（C）矩阵 C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价（D）矩阵 C的列向量组与矩阵 B的列向量组等价【详解】把矩阵 A，C列分块如下：nnCA,2121，由于，则可知),2,1(2211nibbbniniii，得到矩阵 C的列向量组可用矩阵 A的列向量组线性表示同时由于 B可逆，即1 CBA，同理可知矩阵 A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组与
5、矩阵 A的列向量组等价应该选（B）6矩阵1111aabaa与矩阵00000002b相似的充分必要条件是（A）2,0 ba （B）0a，b为任意常数 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列（C）0,2 ba （D）2a，b为任意常数【详解】注意矩阵00000002b是对角矩阵，所以矩阵 A=1111aabaa与矩阵00000002b
6、相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等)22)2(111122abbaabaaAE 从而可知bab2222，即0a，b为任意常数，故选择（B）7 设321,XXX是 随 机 变 量，且)3,5(),2,0(),1,0(23221NXNXNX，22iiXPP，则（A）321PPP （B）312PPP（C）123PPP （D）231PPP【详解】若),(2NX，则)1,0(NX 1)2(21P，1)1(212122222XPXPP，)13737)1(3523535222333XPXPP，23PP0)1(32)1(3371 故选择（A）8设随机变量 X和 Y相互独立，且 X和 Y的概率分布分别
7、为 X 0 1 2 3P P 1/2 1/4 1/8 1/8 Y-1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 则2YXP（）（A）121 （B）81 （C）61 （D）21 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列【详解】612412411211,30,21,12YXPYXPYXPYXP，故选择（C）二、填空题（本题共 6 小题，每小题
8、 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9设曲线)(xfy 和xxy2在点0,1处有切线，则2limnnnfn 【详解】由条件可知 1)1(,01ff所以 2)1(22222)1(221lim2limfnnnfnfnnnfnn 10设函数 yxzz,是由方程xyyzx确定，则)2,1(|xz 【详解】设xyyzzyxFx)(,，则1)(),(,)ln()(,xzxxyzxzyxFyyzyzzyxF，当2,1 yx时，0z，所以2ln22|)2,1(xz 11xdxx12)1(ln 【详解】2ln|1ln)1(1|1ln11ln)1(ln111112xxdxxxxxxxdxdxx 12微
9、分方程041yyy的通解为 【详解】方程的特征方程为041r，两个特征根分别为2121，所以方程通解为221)(xexCCy，其中21,CC为任意常数 13设ijaA是三阶非零矩阵，A为其行列式，ijA为元素ija的代数余子式，且满足)3,2,1,(0jiaAijij，则A=【详解】由条件)3,2,1,(0jiaAijij可知0*TAA，其中*A为 A的伴随矩阵，从而可知 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不
10、正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列AAAAT 13*，所以A可能为1或 0 但由结论1)(,01)(,1)(,)(*nArnArnArnAr可知，0*TAA可知*)()(ArAr,伴随矩阵的秩只能为 3，所以.1A 14设随机变量 X服从标准正分布)1,0(NX，则 XXeE2 【详解】XXeE2dxexedxexdxexexxxx2)2(222)2(22222)22(2221 22222222)(2222eeXEedtedtteett 所以为22e 三、解答题 15（本题满分 10 分）当0 x时，xxx3cos2coscos1与nax是等价无
11、穷小，求常数na,【分析】主要是考查0 x时常见函数的马克劳林展开式【详解】当0 x时，)(211cos22xoxx，)(21)()2(2112cos2222xoxxoxx，)(291)()3(2113cos2222xoxxoxx，所以)(7)(291)(21)(211(13cos2coscos122222222xoxxoxxoxxoxxxx，由于xxx3cos2coscos1与nax是等价无穷小，所以2,7 na 16（本题满分 10 分）设 D是由曲线3xy，直线ax)0(a及x轴所转成的平面图形，yxVV,分别是 D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV 10，求a的值【详解
12、】由微元法可知 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列350320253adxxdxyVaax；370340762)(2adxxdxxxfVaay；由条件yxVV 10，知77a 17（本题满分 10 分）设平面区域 D是由曲线8,3,3yxxyyx所围成，求Ddxdyx2【详解】3416836223320222221 xxxxD
13、DDdydxxdydxxdxdyxdxdyxdxdyx 18（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为,100060QP（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润（2）当 P=50时的边际利润，并解释其经济意义（3）使得利润最大的定价 P【详解】（1）设利润为y，则6000100040)206000(2QQQPQy，边际利润为.50040Qy（2）当 P=50时，Q=10000，边际利润为 20 经济意义为：当 P=50时，销量每增加一个，利润增加 20（3）令0y，得.40100002000060,
14、20000PQ 19（本题满分 10 分）设函数 xf在),0上可导，00 f，且2)(limxfx，证明（1）存在0a，使得;1af（2）对（1）中的a，存在),0(a，使得af1)(【详解】证明（1）由于2)(limxfx，所以存在0X，当Xx 时，有25)(23xf，又由于 xf在),0上连续，且 00 f，由介值定理，存在0a，使得;1af 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为
15、阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列（2）函数 xf在,0a上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a，使得aafaff1)0()()(20（本题满分 11 分）设bBaA110,011，问当ba,为何值时，存在矩阵 C，使得BCAAC，并求出所有矩阵 C【详解】显然由BCAAC可知，如果 C存在，则必须是 2 阶的方阵设4321xxxxC，则BCAAC变形为baxxxxxaxxaxaxx1103243142132，即得到线性方程组baxxxxxaxxaxaxx3243142132110，要使 C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下 baa
16、baaaabA000010000001011101010111011010010|，所以，当0,1ba时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得BCAAC 此时，00000000000011011101|bA，所以方程组的通解为100101110001214321CCxxxxx，也就是满足BCAAC的矩阵C为 211211CCCCCC，其中21,CC为任意常数 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去
17、构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列21（本题满分 11 分）设二次型23322112332211321)()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf记321321,bbbaaa（1）证明二次型f对应的矩阵为 TT2；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 22212yy 【详解】证明：（1）321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,2,2)()(2),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxbbbbbbxxxxxxaaaaaaxxxxbxbxbxaxaxax
18、xxfTTTT 所以二次型f对应的矩阵为 TT2 证明（2）设ATT2，由于0,1T 则2222TTTA，所以为矩阵对应特征值21的特征向量；222TTTA，所以为矩阵对应特征值12的特征向量；而矩阵 A 的秩2)()2()2()(TTTTrrrAr，所以03也是矩阵的一个特征值 故f在正交变换下的标准形为 22212yy 22（本题满分 11 分）设 YX,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为其他,010,3)(2xxxfX，在给定时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的
19、比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列)10(xxX的条件下，Y的条件概率密度为其他,0,0,3)/(32xyxyxyfXY（1）求 YX,的联合概率密度 yxf,；（2）Y的的边缘概率密度)(yfY【详解】（1）YX,的联合概率密度 yxf,：其他,00,10,9)()/(,2xyxxyxfxyfyxfXXY（2）Y的的边缘概率密度)(yfY：其他,010,ln99),()(212yyydxxydxyxfyfyY 23（本题满分 11 分）设总体 X的概率密度为其他,00,);(32xe
20、xxfx，其中为为未知参数且大于零，nXXX,21为来自总体 X的简单随机样本（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量【详解】（1）先求出总体的数学期望 E（X）022)()(dxexdxxxfXEx，令nniXnXXE11)(，得的矩估计量niiXnX11（2）当),2,1(0nixi时，似然函数为 niiixniinnixiexexL11312132)(，时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列取对数，niiniixxnL11ln31ln2)(ln，令0)(lndLd，得0121niixn，解得的极大似然估计量为niiXn112 时所以是函数的可去间断点所以是函数的可去间断点所以所以不是函数的可去间断点故应该选是圆域设的第象限的部若收敛则存在常数使存在若存在常数使存在则收敛详解由正项级数的比较审敛法可知选项正确故应选此小题的选项想不是必要条件选项也不正确反例自己去构造设均为阶矩阵若且可逆则矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价矩阵的列