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1、精品资料 欢迎下载 第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若 yxfz,在区域D上的两个混合偏导数yxz2，xyz2 ，则在D上，xyzyxz22。(2)函数 yxfz,在点00,yx处可微的 条件是 yxfz,在点00,yx处的偏导数存在。(3)函数 yxfz,在点00,yx可微是 yxfz,在点00,yx处连续的 条件。2求下列函数的定义域(1)yxz；(2)22arccosyxzu 3求下列各极限(1)xxyyxsinlim00；(2)11lim00 xyxyyx；(3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx 4设xyxzln，求yxz23及23yxz。5求下
2、列函数的偏导数 (1)xyarctgz；(2)xyzln；(3)32zxyeu。6设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。7设 zyeux，tx，tysin，tzcos，求dtdu。8曲线4422yyxz，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？9求方程1222222czbyax所确定的函数z的偏导数。10设yxyezx2sin2，求所有二阶偏导数。精品资料 欢迎下载 11设 yxfz,是由方程yzzxln确定的隐函数，求xz，yz。12设xyeexy，求dxdy。13设 yxfz,是由方程03xyzez确定的隐函数，求xz，yz，yxz2。14设yyezxcos2，
3、求全微分dz。15求函数222lnyxz在点2,1的全微分。16利用全微分求 2201.498.2的近似值。17求抛物面22yxz与抛物柱面2xy 的交线上的点 2,1,1P处的切线方程和平面方程。18求曲面3914222zyx上点3,1,2 P处的切平面方程和法线方程。19求曲线tx34，2ty，3tz 上点0000,zyxM，使在该点处曲线的切线平行于平面62zyx。20求函数 224,yxyxyxf的极值。21求函数 yyxeyxfx2,22的极值。22要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米 20元，侧面材料单价每平方米 8 元。问应如何设计尺寸，方便材料
4、造价最省？(B)1求下列函数的定义域(1)222410lnlnarcsinyxyxz；(2)222241yxyxu 2(1)设22,yxxyyxf，求 yxf,，xyyxf,。(2)设 yxyxf2,，求 yxfxyf,3求下列函数的极限 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载(1)2222221limyxyxyx；(2)22221100sinlimyxyxyxee 4设 0,0,00,0),(,24yxyxyxxyyxf当当，问
5、 yxfyx,lim00是否存在？5讨论函数的连续性，其中 yxyxyxyxxyxf2,02,22sin,。6二元函数 0,0,00,0,22yxyxyxxyyxf在点0,0处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。7设yyxz21，求xz，yz。8设zyxfu23223，求xf，22xf。9设zyxfu2,3,223，求zf，xzf2。10设2222,yxyxxyfz，f可微，求dt。11设0,xzzyxyf，求xz，yz。12设0zxyz，求111zyxdz。13设sin,cosrrfz 可微，求全微分dz。14设 yxfz,是由方程0,yzzxf
6、所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求xz和yz。15求xyyxz22的偏导数。16设10222zyxzyx，求dzdx，dzdy。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 17设xyzeu，求zyxu3。18求函数xyzu 在点 2,1,5处沿从点 2,1,5到点14,4,9方向的方向导数。19求函数222zyxxu在点2,2,1M沿tx，22ty，42tz在此 点的切线方向上的方向导数。20求函数zyxu228
7、6在点P处沿方向n的方向导数。21判断题：(简单说明理由)(1)00,yxyyxf就是 yxf,在00,yx处沿y轴的方向导数。(2)若 yxf,在00,yx处的偏导数yf，yf存在，则沿任一方向l的方向导数均存在。22证明曲面4323232zyx上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。23证明：球面：1222zyx上任意一点cba,处的法线都经过球心。24求椭球面163222zyx上的一点3,2,1处的切平面与平面0z的交角。25设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：26问函数zxyu2在2,1,1P处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。27求
8、内接于椭球面122222czbyax的最大长方体的体积。28某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：221028311415yxxyyxR，在限定广告费为 1.5 万元的情况下，求相应的最优广告策略。29求函数 yxeyxf,的n阶麦克劳林公式，并写出余项。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 30利用函数 yxyxf,的 2 阶泰
9、勒公式，计算02.111的近似值。(C)1证明0lim2200yxxyyx。2设 yxyxyxf,|,，其中 yx,在点0,0，邻域内连续，问(1)yx,在什么条件下，偏导数 0,0 xf，0,0yf 存在；(2)yx,在什么条件下，yxf,在0,0处可微。3设txfy,而t为由方程0,tyx所决定的函数，且tyx,是可微的，试求dxdy。4设 yxzz,由0ln2dtezzxyt确定，求yxt2。5从方程组1122222vuzyxvuzyx中求出xu，xv，2xu，2xv。6设 byaxeyxuz,，且02yxu，试确定常数a，b，使函数 yxzz,能满足方程：02zyzxzyxz。7证明：
10、旋转曲面22yxfz)0(f上任一点处的法线与旋转轴相交。8 试证曲面azyx(0a)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。9抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。10 设x轴正向到方向l的转角为，求函数 22,yxyxyxf在点1,1沿方向l的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于 0。第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何
11、设计精品资料 欢迎下载(1)若 yxfz,在区域D上的两个混合偏导数yxz2，xyz2 连续 ，则在D上，xyzyxz22。(2)函数 yxfz,在点00,yx处可微的 必要 条件是 yxfz,在点00,yx处的偏导数存在。(3)函数 yxfz,在点00,yx可微是 yxfz,在点00,yx处连续的 充分 条件。2求下列函数的定义域 (1)yxz 解：设定义域为D，由 0y和0 yx，即02yx，0 x 得 yxyxyxD2,0,0|,，如图1 所示(2)22arccosyxzu 解：设定义域为D，由 022yx，即x，y不同时为零，且122yxz，即 222yxz，得 0,|,22222yx
12、yxzzyxD。3求下列各极限(1)xxyyxsinlim00 (2)11lim00 xyxyyx 解：原式yxyxyyxsinlim00 解：原式)11)(11()11(lim00 xyxyxyxyyx 001 211lim00 xyyx y O(0,1)x 图 1 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载(3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx 解：原式 222222222200422sin2limyxyxy
13、xyxyx 220011lim21yxyx 4设xyxzln，求yxz23及23yxz 解：1lnlnxyxyyxxyxz xxyyxz122，023yxz，yxyxyxz12，2231yyxz 5求下列函数的偏导数(1)xyarctgz 解：222222211yxyyxyxxxyxxyxz 类似地22211yxxxyyxyxz(2)xyzln 解：xyxxyxyxxxzln211lnln121lnln 同理可证得：xyyyzln21(3)32zxyeu 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单
14、价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 解：32323232zxyzxyezyzxyxexz 3223322zxyzxyexyzzxyyeyu 323222323zxyzxyezxyzxyzezu 6设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。解：utvutuvuuzsincos22，uvutuvvvz2cos2，utzcos 依复合函数求导法则，全导数为 dtdttzdtdvvzdtduuzdtdz 1c o s12s in2utuveutvt tttteteteettc o sln2sinln2 7设 zyeux，tx，tysin，tzcos，求dt
15、du。解：dtdzzudtdyyudtdxxudtdu tetezyexxxs i nc o s tets in2 8曲线4422yyxz，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？解：242xxxz，tgzz15,4,2，故4。9求方程1222222czbyax所确定的函数z的偏导数。解：关于x求导，得到 02222xzczax，即zaxczx22 关于y求导，有 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 02222yzcz
16、by，即zbyczy22。10设yxyezx2sin2，求所有二阶偏导数。解：先求一阶偏导数，得 yyexzx2sin22，yxeyzx2cos22 再求二阶偏导数，得 xxyeyyexxzxxz222242sin2，yeyyeyxzyyxzxx2cos222sin2222，yeyxeyyzxxyzxx2c o s222c o s2222，yxyxeyyzyyzx2s in42c o s2222 11设 yxfz,是由方程yzzxln确定的隐函数，求xz，yz。解一：记yzzxzyxFln,，则 zFx1，yyzzyFy12，221xzxzzxFz 当0zF时，便得zxzzxzFFxzzx22
17、1，zxyzzzxyFFyzzy221。解二：（提示）直接对方程yzzxln两边求偏导数，并明确z是x、y的函数，即可得xz，yz。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 12设xyeexy，求dxdy。解：令 xyeexyyxF,，则xxeyF，yyexF，则 yxyxexeyFFdxdy。13设 yxfz,是由方程03xyzez确定的隐函数，求xz，yz，yxz2。解：方程两边对x求偏导数，有 03yxzxzez，即 013y
18、xzez 解得 zeyxz13 类似地，方程两边对y求偏导数，解得 zexyyz132 再求二阶混合偏导数，得 2322113zzzeyzeyeyxzyyzz 把上述yz的结果代入，便得：33222113zzzeexyeyyxz。14设yyezxcos2，求全微分dz。解：由于22xxyexz，yeyzxsin2，所以全微分为 dyyedxxyedyyzdxxzdzxxsin222。15求函数222lnyxz在点2,1的全微分。解：72222,1222,1yxxxz，74222,1222,1yxyyz 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物
19、柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 所以dydxdz7472。16利用全微分求 2201.498.2的近似值。解：设22yxz，则全微分yyxyxyxxdz2222 由近似关系dzz，得 yyxyxyxxyxyyxx22222222 上式中取3x，02.0 x，4y，01.0 y，得 01.043402.04334301.498.222222222 996.4008.0012.05 因此，所求近似值 996.401.498.222。17求抛物面22yxz与抛物柱面2xy 的交线上的点 2,1,1P处的切线方程和平面方
20、程。解：交线方程222yxzxy，只要取x作参数，得参数方程：,422xxzxyxx 则有1dxdx，xdxdy2，342xxdxdz，于是交线在点 2,1,1P处的切线向量为 6,2,1T。切线向量为622111zyx 法平面方程为 026121zyx，即01562zyx。18求曲面3914222zyx上点3,1,2 P处的切平面方程和法线方程。解：记3914,222zyxzyxF，则 2,xzyxFx，yzyxFy2,，zzyxFz92,的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧
21、面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 于是曲面在点P处的法线向量为 32,2,13,1,2,3,1,2,3,1,2zyxFFFn 从而，切平面方程为 03321221zyx，即06322zyx，法线方程为3232112zyx。19求曲线tx34，2ty，3tz 上点0000,zyxM，使在该点处曲线的切线平行于平面62zyx。解：曲线在点0000,zyxM处的切线方程为 000000tzzztyyytxxx 又切线与平面62zyx平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有0121000tztytx，即03434200tt，得320t 所以0M点的坐标为278,94,98。20
22、求函数 224,yxyxyxf的极值。解：解方程组 024,024,yyxfxyxfyx，求得驻点 2,2，由于 022,2xxfA，02.2xyfB，22,2yyfC，02 BAC，所以在点 2,2 处，函数取得极大值，极大值为 92,2f。21求函数 yyxeyxfx2,22的极值。解：解 方 程 组 022,01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx，得 驻 点 1,21。由 于 124,22yyxeyxfAxxx，142yexyfBxxy，xyyeyxfC22,在点 1,21处，02 eA，0B，eC2，224eBAC，所以函数在点 1,21处取得的偏导数设求全导数设求曲线在点
23、处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 极小值，极小值为21,21ef。22要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米 20元，侧面材料单价每平方米 8 元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？解：设水池的长为x米，宽为y米，高为z米，则材料造价为 yxxzxyu1620，(0 x，0y，0z)，且x，y，z必须满足 10 xyz，从解出xyz10代入，得yxxyu116020，(0 x，0y)，于是问题就成为求u当0 x，0y时的
24、最小值，由极值的必要条件，有.016020;01602022yxyuxyxu 解此方程组得2yx。据题意存在最小造价，而2x，xy 是唯一驻点，所以当2x，2y，25z时，水池的材料造最小。(B)1求下列函数的定义域(1)222410lnlnarcsinyxyxz 解：设定义域D。使2a r c s i nyx 有意义的区域为：12yx，即1122yx，1122yxy，使22410lnlnyx 有 意 义的 区域为：141022yx，即194922yx。故定义域 1949,11|,2222yxyxyyxD。如图 2 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值
25、求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 (2)222241yxyxu 解：设定义域为D。由根式性质可知，必须0412222yxyx，且0422yx，即04012222yxyx或04012222yxyx解得：41|,22yxyxD。如图 3 2(1)设22,yxxyyxf，求 yxf,，xyyxf,。解：设vxyuyx，则得vuvyvux11 由此 vvuvuvvuvuf1111,222 从而 yyxyxf11,2 xyxyyxxyyxf11,2(2)设 yxyxf2,，求 yxfxyf,解：xyyxyxxy
26、yxfxyyxfxyf4222,2,.3求下列函数的极限(1)2222221limyxyxyx y y 1.5 x x 3 0 图 2 0 1 0 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 解：原式442222221limeyxyxyx(2)22221100sinlimyxyxyxee 解：原式1sinlim22221100yxyxyxee 4设 0,0,00,0),(,24yxyxyxxyyxf当当，问 yxfyx,lim00是否
27、存在？解：取沿直线xy 的途径，当 0,0,yxP时，有 111limlim,lim202400 xxxxxyxfxxxyxxy，沿抛物线xy 的途径，当 0,0,yxP时，有 01limlim,lim30400 xxxxxxyxfxxxyyxy 可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限 yxfyx,lim00不存在。5讨论函数的连续性，其中 yxyxyxyxxyxf2,02,22sin,。解：在0,0处，0,0022sinlim,lim0000fyxyxxyxfyxyx 所以 yxf,在0,0处连续 若0200 yx，则取路径yx2，0y则 000022,222sinlim,lim00
28、yxfxyyxyxxyxfxxyxxxyx 因此，间断点为直线yx2，除0,0以外的其他点。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 6二元函数 0,0,00,0,22yxyxyxxyyxf在点0,0处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。解：应选 事实上，由于222001limkkyxxykxyx，随k的值不同而改变，所以极限不存在，因而 yxf,在点0,0处不连续，又000lim0,0
29、220 xxxfxx，类似地 00,0yf，所以 yxf,在0,0处的偏导数存在。7设yyxz21，求xz，yz。解：令yxu21，yv，于是vuz，得 xvvzxuuzxz 1221120ln2yvvyxxyuuxyvu，yvvzyuuzyz 1ln21uuxvuvv yxyxyxyxyy221221ln11。8设zyxfu23223，求xf，22xf。解：zyxfxxf2326232，fxf xxf4223612。9设zyxfu2,3,223，求zf，xzf2。解：32 fzf，312212fxxzf。10设2222,yxyxxyfz，f可微，求dt。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线
30、对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 解：dyyzdxxzdz，先求xz，yz 21221222ffyxyfxfxfxyyfxz，21221222ffxyxfyfyfxyxfyz，所以dyffxyxfdxffyxyfdz21221222。11设0,xzzyxyf，求xz，yz。解：关于x求导，而 yxzz,，得 0321xzxzFxzFyF 即 03231xzxFFzFyF (*)得：32312FFFFyxz 相仿地，可得3212FxFFxFyz。12设0zxyz，
31、求111zyxdz。解：令zxyzF，yyxzzzzFxFxzzxxlnln1，yyxzzyzFyFyzzxzln11 dyyzdxxzdz，于是在 1,1,1处dydz。13设sin,cosrrfz 可微，求全微分dz。解：drrdfdzsincossincos21rdfrdf 21c o ss ins inc o sfdrdrfdrdr rdffdrffsincossincos1221。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载
32、14设 yxfz,是由方程0,yzzxf所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求xz和yz。解：方程两边求全微分，得 021yzdfzxdf，即0211udzzdyfdzfdxf，即 02121dzf yfdyf zdxf，当021 f yf时，解出 dyf yff zdxf yffdz212211 由此得到211f yffxz，212f yff zyz。15求xyyxz22的偏导数。解：令22yxu，xyv，则vuz，z是x，y的复合函数。1vvuuz，uuvzvln，xxu2，yyu2，yxv，xyv 于是，22222221ln2ln2yxyyxyxyxyuuxvuxzxy
33、vv，22222221ln2ln2yxxyxxyyxxuuyvuyzxyvv 16设10222zyxzyx，求dzdx，dzdy。解：所给方程组确定两个一元隐函数：zxx 和 zyy，将所给方程的两边对z求导，得 zdzdyydzdxxdzdydzdx2221 在 022211zyyxD的条件下 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 yxzyDyzdzdx2211，yxxzDzxdzdy2211。17设xyzeu，求zyxu3。
34、解：xyzyzexu，xyzyeyzyxu2xyzxyzxyzexyzzxyzeez1 xyexyzzzxyeexyzzuxuxyzxyzxyz113 xyzezyxxyz22231.18求函数xyzu 在点 2,1,5处沿从点 2,1,5到点14,4,9方向的方向导数。解：12,3,4214,14,59L 13|L，134cos,133cos，1312cos。因为coscoscoszuyuxulu xyxzyz1312133134 所以1398513121014221342,1,5lu。19求函数222zyxxu在点2,2,1M沿tx，22ty，42tz在此 点的切线方向上的方向导数。解：因
35、曲线过2,2,1M点，所以10t，10 tx，40 ty，80 tz，切线的方向余弦为98,94,91，又2782322222MMxzyxzyu，类似地，272Myu，272Mzu，故24316982729427291278lu。20求函数zyxu2286在点P处沿方向n的方向导数。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 解：zuyuxudugra,，14686622PPyxzxxu，1488682PPyxzyyu，1486222
36、zyxzuP 由0ndugrauu，曲面的外侧法线向量为 1,3,222,6,4Pzyxn 则 7111,3,214114,148,146uu。21判断题：(简单说明理由)(1)00,yxyyxf就是 yxf,在00,yx处沿y轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。(2)若 yxf,在00,yx处的偏导数yf，yf存在，则沿任一方向l的方向导数均存在。解：错。由于偏导数仅刻画了 yxf,在00,yx处沿x轴或y轴的变化率，要确定函数00,yx处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在00,yx处可微。22证明曲面4323232zyx上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
37、证：令4,323232zyxzyxF。由于曲面0,zyxF的法向量是zyxFFF,，故曲面上任一点zyx,处法线方向向量为31313132,32,32zyx，设ZYX,为点zyx,处切平面上任一点，则切平面方程为0323232313131zZzyYyxXx，即4313131ZzYyXx，其截距式为1444313131zZyYxX，由此得截距的平方和为：6441616323232zyx。23证明：球面：1222zyx上任意一点cba,处的法线都经过球心。证：令1,222zyxzyxF，则cba,，axxFcbacba22,，的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的
38、近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 byyFcbacba22,，czzFcbacba22,，法线方程为：cczbbyaax222，于是任一法线都过原点。24求椭球面163222zyx上的一点3,2,1处的切平面与平面0z的交角。解：设 163,222zyxyzxF，则法向量为xFx6，yFy2，zFx2，在3,2,1处的法向量 3,2,326,4,6n。又平面0z的法向量 1,0,01n，由平面夹公式：22313)2()3(1130203cos22，即223arccos。25设u，v都是x，y，z
39、的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：dvugraduvgrauvdrga)(。证：kzuvjyuvixuvduvgra kzvuzuvjyvuyuvixvuxuv kzvjyvixvukzujyuixuv dvugraduvgra 26问函数zxyu2在2,1,1P处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。解：22,2,xyxyzzyuuudugrazyx 1,4,22,2,1dugra是方向导数最大值的方向。21142222dugra是此方向导数的最大值。27求内接于椭球面122222czbyax的最大长方体的体积。解：设zyxP,是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长
40、方体的体积为：xyzV8 (0 x，0y，0z)(*1)的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 由于 yzxP,在椭球面上，故x，y，z应满足条件：122222czbyax，于是问题即求函数(*1)在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L函数 18,222222czbyaxxyzzyxF 令)4(01)3(,028)2(,028)1(,028222222222czbyaxFczxyFbyxzFaxyzFzyx 得：328xyz，
41、得唯一解：3ax，3by，3cz 由题意，所求的最大体积存在故以点(3a,3b,3c)为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大。最大体积为abccbaV9383338。28某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报 纸广 告费x及电视广告费y(单位：万 元)之 间的 关系 有如下 经验 公式：221028311415yxxyyxR，在限定广告费为 1.5 万元的情况下，求相应的最优广告策略。解；作L函数：5.11028311415,22yxyxxyyxzyxF 令05.102083104813yxFyxFxyFyx 得5.1962yxyx，得
42、唯一解：0 x，5.1y。又由题意，存在最优策略，所以将1.5 万全部投到电视广告的方案最好。29求函数 yxeyxf,的n阶麦克劳林公式，并写出余项。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 解：10,0f，10,0 xf，10,0yf，同理 10,00,0yxnyxefmnm，所以 nknknnyxRkyxRyxnyxyxyxe022!12!211其中 yxnenyxR!1（10）。30利用函数 yxyxf,的 2 阶泰勒公式，
43、计算02.111的近似值。解：在点1,1处将 yxyxf,展开成三阶泰勒公式：11,1f，11,11,11yxyxf，0ln1,11,1xxfyy，011,11,12yxxxyyf，1ln1,11,111xyxxfyyxy，0ln1,11,12xxfyyy 所以 2112!211111,11,Ryxxxyxfyxfy 1111yxx 故102.102.01.01.011102.1。(C)1证明0lim2200yxxyyx。证明：因为xyyx222，即2|22yxxy 所以2222222222yxyxyxyxxy 0，取2 当220yx时，就有 2202222yxyxxy 所以0lim2200y
44、xxyyx。2设 yxyxyxf,|,，其中 yx,在点0,0，邻域内连续，问(1)yx,在的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 什么条件下，偏导数 0,0 xf，0,0yf 存在；(2)yx,在什么条件下，yxf,在0,0处可微。分析：从定义出发，进行推演 解：(1)0,00,lim00,lim0,00,0lim000 xxxxxfxfxxx 0,00,lim0,00,0lim00 xxfxfxx 0,0,0lim,0lim0
45、,00,0lim000yyyyyfyfyyy 0,0,0lim0,00,0lim00yyfyfyy 若00,0，则偏导数 0,0 xf，0,0yf 存在，且 00,00,0yxff。(2)0,00,0fyxff yxyx,|2|2222yxyxyxyx，故若00,0，当 022yx时，有 yxyfxffyx220,00,0 0,22yxyxyx 所以当00,0时，yxf,在0,0处可微，且0df。3设txfy,而t为由方程0,tyx所决定的函数，且tyx,是可微的，试求dxdy。分析：可依隐函数求导法则求出dxdy。解；由txfy,，得 dxdttfxfdxdy (1)由0,tyx，得 的偏导
46、数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 0dxdttdxdyyx (2)将(2)代入(1)，得 tdxdyyxtfxfdxdy tytfxtftxf。4设 yxzz,由0ln2dtezzxyt确定，求yxt2。解：对0ln2dtezzxyt两边关于x求导，得 012 xexzzxz，解得：12zzexzx (1)原式两边对y求导，得 012 yeyzzyz 解得12zzeyzy (2)(1)式两边对y求导得 yzzezyzzezeyzy
47、xzxxx222111222 以(2)式代入即得：32122zzeyxzyx 5从方程组1122222vuzyxvuzyx中求出xu，xv，2xu，2xv。解：将u，v看作x，y，z的函数，将方程组对x求偏导，得 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 001xxxxvvuuxvu (*)解得uvvxux，uvxuvx 再将方程组(*)对x求偏导数，得 010222222xxxxxxvvvuuuvu 解得：uvuvxuuvvxuv
48、vuuxxx2222112 vuuvxuuvvxvuvuvxxx2222112 6设 byaxeyxuz,，且02yxu，试确定常数a，b，使函数 yxzz,能满足方程：02zyzxzyxz。解：byaxbyaxbyaxeauxuaueexuxz，byaxbyaxbyaxebuyubueeyuyz，byaxbyaxbeauxueyuayxuyxz22 byaxeabuyuaxubyxu2 byaxeabuyuaxub，代入方程得 0111 byaxeubaabxubyuya 故必须1a，1b。7证明：旋转曲面22yxfz)0(f上任一点处的法线与旋转轴相交。的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切
49、线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米元问应如何设计精品资料 欢迎下载 证明：因为fyxxxz22，fyxyyz22 所以，在000,zyx处法线方程为：10220020200zzfyxyyyfyxxxx 当0yx时，202020200yxfyxzz 即法线与旋转轴的交点为202020200,0,0yxfyxz。8 试证曲面azyx(0a)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。证明：设azyxzyxF,，则zyxn21,21,21，在曲面上任取一点000,zyxM，则在点M处的切平面方程
50、为 0111000000zzzyyyxxx，即azyxzzyyxx000000，化为截距式，得 1000azzayyaxx。所以截距之和为 azyxaazayax000000。9抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上点的坐标为zyx,，则原点到椭圆上这一点的距离平方为2222zyxd，其中zyx,同时满足22yxz和1zyx，令1,2221222zyxyxzzyxzyxF，由 的偏导数设求全导数设求曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少求方程全微分求的近似值求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平贮水池底面材料单价每平方米元侧面材料单价每平方米