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1、学习必备 欢迎下载 因式分解、分式、二次根式 适用学科 数学 适用年级 初三 适用区域 北师大版 课时时长（分钟）120 知识点 因式分解的综合方法 分式的基本性质 分式的混合运算 整体思想求代数式 二次根式的性质与简化 二次根式的混合运算 二次根式的大小比较 教学目标 1、学会因式分解的四种方法，并能熟练的对一个多项式进行因式分解。2、掌握分式的基本性质和运算法则，能够应用在实际问题中。3、掌握二次根式的性质和运算，会比较二次根式的大小。学习必备 欢迎下载 教学重点 1、因式分解的四种方法。2、分式和二次根式的混合运算。教学难点 1、利用整体思想求代数式的值。2、估算二次根式的大小。教学过程
2、 一、复习预习 我们学过的整式乘法是把几个代数式乘除亦或乘方运算计算出来，而我们今天要复习的因式分解则和整式的乘法在形式上正好相反。而分式和二次根式是对整式的进一步扩充，让我们能够解决更多的实际问题。二、知识讲解 考点 1：因式分解的方法（1）提公因式法：)(cbammcmbma（2）公式法：)(22bababa 222)(2bababa（3）分组分解法：)()()(nmbabanbamnbnambma（4）十字相乘法：)()(2bxaxabxbax 考点 2：因式分解的一般步骤 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体
3、思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载 一“提”（提取公因式）二“套”（套公式法）三“查”（检查分解是否彻底，检查分解是否正确）考点 3：分式有意义的条件 因为0不能作除数，所以在分式BA中，若0B则分式BA有意义；若 B=0，则分式BA无意义；若 A=0且 B0，则分式BA=0。考点 4：分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：)0(DDBDABCACBA 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分
4、式的通分。考点 5：分式的混合运算 加减法法则：同分母的分式相加减-分母不变，分子相加减。异分母的分式相加减-先给分母通分华为同分母的分式相加减。乘法法则：分子的乘积做积的分子，分母的乘积做积的分母，能约分的先约分。除法法则：将除法化成乘法运算（对比有理数的除法法则）考点 6：平方根、算术平方根、立方根 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载 非负数有平方根，其中非负根叫做算术平方根；正数、负数和 0 都有立方根，考点 7：最简二
5、次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最贱二次根式。考点 8：同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。考点 9：二次根式的加减 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。（合并同类二次根式与合并同类项的方法类似）考点 10：二次根式的乘除)0,(baabba )0,(baabab 三、例题精析【例题 1】根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够
6、学习必备 欢迎下载【题干】分解因式：2222232ayaxyaxyyx【答案】2222232ayaxyaxyyx 2)()3)(yxayxyx)()3()(yxayxyx yaxayx)3()1()(【解析】运用分组把多项式分成两部分，再分别用十字相乘法和公式法分解，最后应用提取公因式法将多项式彻底分解。【例题 2】【题干】分式392xx,当_时分式的值为零，当时_，分式 xx2121 有意义【答案】3x，21x【解析】注意分式有意义的条件。【例题 3】【题干】下列等式：cbacba)(;xyxxyx;cbacba;mnmmnm中,成立的是（）A B C D【答案】A 根式的大小比较教学目标学
7、会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载【解析】分式的性质及符号的变化。【例题 4】【题干】先比简，再求值：xxxx21)1111(，其中5x【答案】原式=12xx；25【解析】原式=11111xxxxxx=11111xxxxxx=12xx 当5x时，原式251552【例题 5】【题干】下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.a16 B.b3 C.ab D.45【答案】B【解析】因为：A、a16=a24=4 a，可化简；C、ab=aaab=aab，可化简
8、；D、45=532=35，可化简；所以，这三个选项都不是最简二次根式【例题六】【题干】计算：1213212 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载【答案】3【解析】原式=23+2-3-2=3 四、课堂运用【基础】1、下列因式分解正确的是（）Amn（m-n）-m（n-m）=-m（n-m）（n+1）B6（p+q）2-2（p+q）=2（p+q）（3p+q-1）C3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x+2）D3x（x+y）-
9、（x+y）2=（x+y）（2x+y）【答案】A【解析】A、mn（m-n）-m（n-m）=m（m-n）（n+1）=-m（n-m）（n+1），故原选项正确；B、6（p+q）2-2（p+q）=2（p+q）（3p+3q-1），故原选项错误；C、3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x-2），故原选项错误；D、3x（x+y）-（x+y）2=（x+y）（2x-y），故原选项错误 2、若分式)2)(1(12xxx的值为 0，则 x 的值为_。【答案】1 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分
10、式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载【解析】要分式有意义0)2)(1(xx，即有1x且2x，而要分式为 0，则有012x，得到1x，但1x，所以 x 的值为 1。3、化简babbaa22【答案】ba【解析】分式的减法、因式分解、约分。4、要使式子aa2有意义，则 a 的取值范围为_。【答案】2a且0a【解析】分母不能为 0，根号内的数要大于等于 0。5、下列二次根式是最简二次根式的是（）A、31 B、4 C、3 D、18【答案】C【解析】A项：3331；B项：24；D项：2318。【巩固】1、化简：，结果是_。【答案】A 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能
11、熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载【解析】故选 A 2、化简21422xxx的结果是_。【答案】21x【解析】21)2)(2(2)2)(2()2(2)2)(2()2()2)(2(221422xxxxxxxxxxxxxxxxx 3、下列二次根式是最简二次根式的是（）A、x1 B、yx2 C、x8 D、22yx【答案】D【解析】A项：xxx1；B项：yxyx2；C项：xx228。根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教
12、学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载 【拔高】1、已知关于 x 的二次三项式nmxx2有一个因式（x+5），且 m+n=17，试求 m、n 的值 【答案】m=7，n=10【解析】设另一个因式是 x+a，则有axaxaxxnmxx5)5()(5（22 5+a=m，5a=n 这样就的到一个方程组，解得 m、n 的值分别是 7、10 2、先化简，再求值：121132xxxxxx，其中22x。【答案】化简得：原式=x2，值为2。【解析】原式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx22)2(22422113321)1)(1()1()1(3222222 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够学习必备 欢迎下载 代入22x，得到值为2222。3、计算：021212)32(2160sin2。【答案】2-2【解析】原式2-223-2-31）2-3()2(232 课后作业 课后作业见系统 根式的大小比较教学目标学会因式分解的四种方法并能熟练的对一个多解的四种方法分式和二次根式的混合运算教学难点利用整体思想求代数在形式上正好相反而分式和二次根式是对整式的进一步扩充让我们能够