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1、精编知识点 北师大版七年级上册数学各章节知识点总结 第一章 丰富的图形世界 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体（1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。3、生活中的立体图形 圆柱 柱 生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱
2、、(按名称分)锥 圆锥 棱锥 4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。5、正方体的平面展开图：11 种 6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个 n 边
3、形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个 n 边形分割成（n-2）个三角形。精编知识点 弧：圆上 A、B两点之间的部分叫做弧。扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。第二章 有理数及其运算 1、有理数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 或 整数 有理数 分数 2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。4、倒数：如果
4、a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算 ：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律 加法交换律 abba 加法结合律 )(
5、)(cbacba 乘法交换律 baab 乘法结合律 )()(bcacab 乘法对加法的分配律 acabcba)(第三章 字母表示数 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。5、整式的运算：整式的加减法：（1）去括
6、号；（2）合并同类项。第四章 平面图形及其位置关系 1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。4、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点
7、 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。5、点和直线的位置关系有两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。6、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。7、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的
8、中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。8、线段的中点：点 M把线段 AB分成相等的两条相等的线段 AM与 BM，点 M叫做线段 AB的中点。9、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。11、角的表示 角的表示方法有以下四种：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。
9、用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。12、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1”，n 度记作“n”。把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1”。把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1”。1=60，1=60”13、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角
10、的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。14、角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。15、平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“AB CD”，读作“AB平行于 CD”。注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。16、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线
11、线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。17、垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB，CD互相垂直，记作“AB CD”（或“CD AB”)，读作“AB垂直于 CD”（或“CD垂直于 AB”）。18、垂线的性质：性质 1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的
12、所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。19、点到直线的距离：过 A点作 l 的垂线，垂足为 B点，线段 AB的长度叫做点 A到直线 l 的距离。20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。第五章 一元一次方程 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。5、解一元一次方程的一般步骤：
13、（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为 1 第六章 生活中的数据 1、科学记数法 一般地，一个大于 10 的数可以表示成na10的形式，其中101 a，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。2、扇形统计图及其画法：扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。画法：（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数
14、与 360的比）。（2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。3、各种统计图的优缺点 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。第七章 可能性 1、确定事件和不确定事件 (1)、确定事件 必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。(2)、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件 何图形的各个部分都在同一
15、平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点(3)、必然事件 确定事件 事件 不可能事件 不确定事件 2、不确定事件发生的可能性 一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。必然事件发生的可能性是 1 不可能事件发生的可能性是 0 北师大版数学（七年级下册）知识点总结 第一章整式的运算 一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。二、多项式 1、多项式、多项式的
16、次数、项 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。三、整式：单项式和多项式统称为整式。四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数nmaaanmnm 何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 2、幂的乘方：),(都是正整数）（nmaamnnm 3、积的乘方：)
17、()(都是正整数nbaabnnn 4、同底数幂的除法：)0,(anmaaanmnm都是正整数 六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：);0(10 aa 2、负整数指数幂：),0(1是正整数paaapp 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。4、单项式除以单项式：单项式相除，把
18、系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。八、整式乘法公式：1、平方差公式：22)(bababa 2、完全平方公式：2222)(bababa 2222)(bababa 第二章 平行线与相交线 一、余角和补角：1、余角：定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。性质：同角或等角的余角相等。2、补角：定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。性质：同角或等角的补角相等。二、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共
19、顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。三、同位角、内错角、同旁内角：直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截），构成八个角。其中1 与5 这两个角 分 别在 AB，CD 的上方，并且在 EF 的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；3与5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个角 叫 做内错角；3 与6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 EF 的同侧，像这样位置的 两 个角叫做同旁内角。何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体
20、图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 四、平行线的判定：1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。五、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错
21、角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。六、尺规作图：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角。第三章 生活中的数据 一、科学记数法：一般地，一个绝对值较小的数可以表示成na 10的形式，其中101a，n 是负整数。二、近似数和有效数字：1、近似数：利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。2、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。三、形象统计图：第四章 概率 一、事件发生的可能性;人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发生的可
22、能性。二、游戏是否公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。三、摸到红球的概率：1、概率的意义 P（摸到红球）=所有可能出现的结果数果数摸到红球可能出现的结 2、确定事件和不确定事件的概率：（1）必然事件发生的概率为 1 记作 P（必然事件）=1（2）不可能事件发生的概率为 0，P（不可能事件）=0（3）如果 A 为不确定事件，那么 0P(A)0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x
23、 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kxy（k0）中的常数 k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式bkxy（k0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。7、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（k、b 为常数，k0）当函数值为 0 时，即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同 结论：由于任何一元一次方程都可转化
24、为 kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值 第七章 二元一次方程组 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解
25、法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：直线 y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx-y+b=0 的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组 的解可看作两个一次函数 和 的图象的交点。当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。第八章 数据的代表 1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数 2、平均数（1）平均数：一般地，对于 n 个数,21nxxx我们把)(121nxxxn叫做这 n 个数
26、的算术平均数，简称平均数，记为x。（2）加权平均数：3、众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。4、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的222111cybxacybxa11111bcxbay22122bcxbay何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 中位数。北师大版数学（八年级下册）知识点总结 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一.不等关系
27、 1.一般地,用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式.2.要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于 0(0)0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0(0)0 和负数 不大于 0 二.不等式的基本性质 1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果 ab,那么 a+cb+c,a-cb-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果 ab,并且 c0,那么 acbc,cbca.(3)不等
28、式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果 ab,并且 c0,那么 acb,那么 a-b是正数;反过来,如果 a-b是正数,那么 ab;如果 a=b,那么 a-b等于 0;反过来,如果 a-b等于 0,那么 a=b;如果 ab,那么 a-b是负数;反过来,如果 a-b是正数,那么 ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb(或 ax0 时,解为abx;当 a=0 时,且 b0,则 x 取一切实数;当 a=0 时,且 b0,则无解;何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧
29、面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 当 a0 时,解为abx;5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;设:设出适当的未知数;列:根据题中的不等关系,列出不等式;解:解出所列的不等式的解集;答:写出答案,并检验答案是否符合题意.五.一元一次不等式与一次函数 六.一元一次不等式组 1.定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部
30、分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 ab ba两大取较大 bxax xa ba两小取小 bxax ax0）或向左（h0）或向下（k0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而增大。若 a0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而减小。最值：若 a0，则当 x=ab2时，abacy442最小；若 a0 抛物线与 x 轴有 2
31、 个交点；acb42=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；acb420 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；当acb420 时，设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，则这两个点之间的距离：2122121224)()(|1xxxxxxxxAB 化简后即为：)04(|4|22acbaacbAB-这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式。第三章 圆 一.车轮为什么做成圆形 1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆 O
32、”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二.圆的对称性:1.与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、
33、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD 为端点的弧记为“”，读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆
34、叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距
35、相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:1.1的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成 360 份时,每一份的角都是 1的圆心角,相应的整个圆也被等分成 360 份,每一份同样的弧叫 1弧.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成AOB=,这是错误的.3.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或
36、等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；四.确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角
37、形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五.直线与圆的位置关系 1.直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的数量特征:设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交.d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.何图形的各
38、个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 3.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和
39、三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六.圆和圆的位置关系.1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(
40、3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2.两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r(Rr)(4)两圆内切 d=R-r(Rr)(5)两圆内含 dr)3.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七.弧长及扇
41、形的面积 1.圆周长公式:圆周长 C=2R(R 表示圆的半径)2.弧长公式:弧长180Rnl(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)3.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式.圆的面积2RS(R 表示圆的半径)何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 图 5 OBCACBAOCBAO6.扇形的面积公式:扇
42、形的面积3602RnS扇形(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图 5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时,三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时,三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的弧是半圆时,扇形弓形SRS221 八.圆锥的有关概念:1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为 r,侧面母线长(扇
43、形半径)是 l,底面圆周长(扇形弧长)为 c,那么它的侧面积是:rlrlclS22121侧)(2lrrrrlSSS底面侧表 九.与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十.圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出理的有关
44、圆的性质定理 1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。如图 6，PA，PB 分别切O 于 A、B PA=PB，PO 平分APB 2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图 7，CD 切O 于 C，则，ACD=B 3和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图 8，AP PB=CP PD 如图 9，若 CDAB 于 P，AB 为O 直径，则 CP2=AP
45、PB 4切割线定理 切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；_ 图 6 _ P_ O _ B _ A _ O _ C _ D _ A _ B _ 图 7 何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图 10，PT 切O 于 T，PA 是割线，点 A、B 是它与O 的交点，则 PT2=PA PB PA、PC 是O
46、的两条割线，则 PD PC=PB PA 5两圆连心线的性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图 11，O1与O2交于 A、B 两点，则连心线 O1O2AB 且 AC=BC。6两圆的公切线 两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图 12，AB 分别切O1与O2于 A、B，连结 O1A，O2B，过 O2作 O2CO1A 于 C，公切线长为 l，两圆的圆心距为 d，半径分别为 R，r 则外公切线长：22)(rRdL 如图 13，AB 分别切O1与O2于 A、B，O2CAB，O2CO1C 于 C，O1半径为 R，O2
47、半径为 r，则内公切线长：22)(rRdL 第四章 统计与概率 1.实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.三.游戏公平吗?1.游戏的公平性是指游戏双方各有 50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.2.表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在 0 与 1 之间.3.概率的预测的计算方法:某事件 A 发生的概率:基本事件的总数包含的基本事件的个数事件AP 4.用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;(2)
48、要弄清楚所有机会均等的结果.（注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；）_ O _ B _ D _ P _ A_ C 图 8 _ 图 9 _ P _ A _ B _ C _ D _ O _ 图 10 _ B _ D _ C _ O _ A _ T _ P _ 图 11 _ B _ C _ A _ O_ 2_ O_ 1_ O _ 2 _ d _ C _ R _ r _ A _ B _ O _ 1 _ 图 13 _ 图 12 _ O _ 1 _ B _ A _ r _ R _ C _ d _ O _ 2 何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一精编知识点 何图形的各个部分都在同一平面内它们是平面图形点线面体几何图形的成线线动成面面动成体生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱有两个底面个侧面共个面条棱条侧棱个顶点正方体的平面展开图种截一