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1、学习必备 欢迎下载 高中数学高考综合复习 专题十二 三角函数的图象与性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题；2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.3、三角函数的周期性；寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.（二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换；2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；4、利用函数图象解决应用问题.
2、（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：ysinx，ytanx；偶函数：ycosx.（2）型三角函数的奇偶性 （）g（x）（xR）学习必备 欢迎下载 g（x）为偶函数 由此得；同理，为奇函数 .（）为偶函数；为奇函数.3、周期性 （1）基本公式 （）基本三角函数的周期 ysinx，ycosx 的周期为；ytanx，ycotx 的周期为.（）型三角函数的周期 的周期为；的周期为.（2）认知 （）型函数的周期 的周期为；的周期为.（）的周期 的周期为；条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判
3、断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 的周期为.均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 y 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（）的区别.（）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验猜想证明.（3）特殊情形研究 （）ytanxcotx 的最小正周期为；（）的最小正周期为；（）ysin4xcos4x 的最小正周期为.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性 （1）基本三角函
4、数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 换元、分解：令 u，将所给函数分解为内、外两层：yf（u），u；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出
5、f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于 u 的不等式；还原、结论：将 u 代入中 u 的不等式，解出 x 的取值范围，并用集合或区间形成结论.（二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 （1）基本三角函数图象的对称性 （）正弦曲线 ysinx 的对称轴为；正弦曲线 ysinx 的对称中心为（，0）.（）余弦曲线 ycosx 的对称轴为；条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 余弦曲线 ycosx 的对称中心 （）正切曲线
6、ytanx 的对称中心为；正切曲线 ytanx 无对称轴.认知：两弦函数的共性：x 为两弦函数 f（x）的对称轴 为最大值或最小值；（，0）为两弦函数 f（x）的对称中心 0.正切函数的个性：（，0）为正切函数 f（x）的对称中心 0 或 不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）（）对于 g（x）或 g（x）的图象 x 为 g（x）的对称轴 为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数 g（x）的对称中心 0.（）对于 g（x）的图象 （，0）为两弦函数 g（x）的对称中心 0 或 不存在.2、基本变换 （1）对称变换 （2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换
7、（左右平移）（5）上、下平移 3、y 的图象 （1）五点作图法 （2）对于 A，T，的认知与寻求：A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A：图像上最高点与最低点在 y 轴上投影 间的距离.：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 ：由 T 得出.：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与 x 轴交点坐标代
8、入函数式求，则须注意检验，以防所得 值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题 例 1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（）化归为 的值域；（）转化为 sinx（或 cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（）在适当的条件下考察y2；（）转化为分段函数来处理；（）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：（1），即所求函数的值域为.（2）由 条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式
9、三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 注意到这里 xR，所求函数的值域为1，1.（3）这里 令 sinxcosxt 则有 且由 于是有 因此，所求函数的值域为.（4）注意到这里 y0，且 即所求函数的值域为.（5）注意到所给函数为偶函数，又当 条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 此时 同理，当 亦有.所求函数的值域为.（6）令 则易见 f（x）为偶函数，且 是
10、 f（x）的一个正周期.只需求出 f（x）在一个周期上的取值范围.当 x0，时，又注意到，x 为 f（x）图象的一条对称轴 只需求出 f（x）在0，上的最大值.而在0，上，递增.亦递增 由得 f（x）在0，上单调递增.即 于是由、得所求函数的值域为.点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于 sinxcosx 与 sinxcosx 的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例 2、求下列函数的周期：（1）；（2）；条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给
11、出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 （3）；（4）；（5）分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 k 的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）所求最小正周期.（2）所求周期.（3）条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 .注意到 的最
12、小正周期为，故所求函数的周期为.（4）注意到 3sinx 及-sinx的周期为 2，又 sinx0（或 sinx0）的解区间重复出现的最小正周期为 2.所求函数的周期为 2.（5）注意到 sin2x 的最小正周期，又 sinx0（或 sinx0）个单位，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值为 。（5）对于函数，给出四个论断：它的图象关于直线 x 对称；它的图象关于点（,0）对称；它的周期为；它在区间，0上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是 。分析：（1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 应填 （2）由 f（x）递增得 易见，
13、由 f（x）递减得 条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 当 k0 时，注意到 而不会属于其它减区间，故知这里 a 的最大值为.（3）（）令 所给函数图象的对称中心为（，0）；（）解法一（直接寻求）在中令 则有 又在中令 k0 得，令 k1 得 所求距离为 解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由得这一函数的最小正周期为 T，故所求距离为.（4）这里 将这一函数图象向左平移 m（m0）个单位，所得图象的函
14、数解析式为 令 条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 则由题设知 f（x）为偶函数 f（x）f（x）所求 m 的最小值为.（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，必须作为条件，而只能作为结论.于是这里只需考察 、与、这两种情形.（）考察、是否成立.由得
15、，故；又由得 注意到.在、之下，易知此时、成立.（）考察、是否成立.由得，故；又由得 注意到.在、之下，易知此时、成立.于是综合（）（）得正确的命题为、与、.点评：对于（4）利用了如下认知：；.对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例 5、已知 的最小正周期为 2，当 时，f（x）取得最大值 2.（1）求 f（x）的表达式；条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必
16、备 欢迎下载 （2）在闭区间 上是否存在 f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用已知条件以及便于考察 f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将 f（x）化为 k 的形式，这是此类问题的解题的基础.解：（1）去 令，即 则有 由题意得 又由知，注意到这里 A0 且 B0，取辅助角，则由得 （2）在中令 解得 xk 解不等式 注意到，故由得 k5.于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为.点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为 k 的形式，解题便胜券在握.例 6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数 g（x
17、）在（0，）上是增函数，且 g（2）0.求当 gf（x）0 且 x0，时，实数 a 的取值范围.条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 分析：由点 A、B 都在函数 的图象上 得：，ba，c1a.此时，由 gf（x）0 且 x0，解出 a 的范围，一方面需要利用 g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用 g（x）的单调性.解：由分析得 定义在非零实数集上的
18、奇函数 g（x）在（0，）上是增函数，且 g（2）0，g（x）在（，0）上是增函数，且 g（2）0 由知，当 x-2或 0 x2 时，g（x）0 又设.则 h（t）at（1a），.gf（x）0 且 x0，gh(t)0，且.由得，当 时，h（t）2 或 0h(t)2 注意到 h（t）at（1a）由 h（t）2 得 h（1）2(a0)或 h()0),由 0h(t)2 得，解得.于是综上可知，所求 a 的取值范围为.点评：在这里，由到的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对 0h(t)2 亦可通过分类讨论来完成.对于 h（t）at（1a），0h(t)0 且 h（t）
19、0，当 a0 时，h(t)在 上递增，由得，h(1)0，显然成立；条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 当 a0（1）a10；当 a0 时，h（t）显然满足 1h(t)0，得 1a0 （2）h(t)0 时，h(t)在 上递增，由得，h()2；当 a0 时，h(t)在 上递减 由得，h(1)2,显然满足条件；当 a0 时，h（t）1，显然满足条件.因此由得 于是综合（1）（2）知，由 0h(t)2 推出 五、高考真题 （一）选择题
20、 1、（2005 湖北卷）若（）A.B.C.D.分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围.由 ，应选 C.2、函数 的部分图象如图，则（）A.B.条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 C.D.分析：由图象得.，又 f(1)=1，注意到，应选 C.（二）、填空题 1、（2005 湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为 。分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或
21、范围，而后综合结论.（1）注意到 sin2x 的最小正周期，而 sinx0的解区间重复出现的最小正周期，而 的最小公倍数为，故所求函数的最小正周期为.（2）由分段函数知，y 的最大值为，于是由（1）（2）知应填.2、（2005 辽宁卷）是正实数，设.若对每个实数 a，的元素不超过两个，且有 a 使 含 2 个元素，则 的取值范围是 。分析：注意到有 a 使 含有两个元素，条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 相邻两 值之差 注意
22、到 的元素不超过两个，相间的两个 值之差 由、得.点评：对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于（2），这里的 决定于 f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.（三）解答题 1、（2005 重庆卷）若函数 的最大值为 2，试确定常数 a 的值.分析：鉴于过去的经验，首先致力于将 f（x）化为 k 的形式，而后便会一路坦途.解：由已知得.点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.2、（2005 全国卷 I）设函数 yf（x）图象的一条对称轴是直线
23、.（1）求；（2）求函数 yf（x）的单调增区间；（3）证明直线 5x2yc0 与函数 yf（x）的图象不相切.分析：对于（3），由于 f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线与（x）的图象不相切，只需证直线的斜率不属于 yf（x）图象上点的切线斜率的取值集合.解：（1）条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 为函数 图象的对称轴，即 又.（2）由（1）知，当 时，yf（x）递
24、增，所求函数 f（x）的增区间为.（3）yf（x）图象上点的切线的斜率范围为2，2.而直线 5x2yc0，直线 5x2yc0 与函数 的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.3、（2003 江苏卷）已知函数 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（）对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定 的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称，则只能导出关于 的可能取值，此时要进一步确定 的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般
25、只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.解：由 f（x）为偶函数得 f（x）f（x）（xR）即 条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 又 故有 由 f（x）图象关于点 M（）对称得 令 x0 得 而 由此解得 当 k0 时，此时 当 k1 时，当 k2时，故此时 因此，综合以上讨论得 或.所求，而 或.点评：对于正弦函数 y k 或余弦函数 y k，在单调区间“完整”的一个周期 T，条件的应用寻求三角函
26、数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 恰是增减区间的长度各为；而在任何一个周期 T 上，增区间（或减区间）的长度均不超过.因此，若区间 的长度大于，则函数在区间 上不会是单调函数.4、（2005 天津卷）设函数 f（x）xsinx（xR）.（1）证明：，其中 k 为正整数.（2）设 （3）设 f（x）在（0，）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：分析：注意到正弦函数为 f（x）的成员函数之一，试题中又指出 f（x）的极值点，故需应用导数研究
27、极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从 f（x）切入.证明：（1）f（x）xsinx（xR）（2）令 显然 cosx0 不是的解，故由得 xtanx ，即有，于是 （3）设 是 的一个正整数根，即，则由直线 yx 与曲线 ytanx 的位置关系知：对每一个，存在，使，注意到 g（x）xtanx 在 上是增函数，且条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得学习必备 欢迎下载 g（x）在 又 cosx 在 内符号不变，（xtanx）cosxsinxxcosx 在 与在 内异号，所有满足 的 都是 f（x）的极值点.由题设 为方程 xtanx 的全部正根.且，再注意到 而 1 由得 于是由、得，点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2），只需满足 即可；对于（3）中的 不仅要满足，还需认定 在点 x 左右两边异号.条件的应用寻求三角函数的单调区间比较大小的判断等三角函数的周期的逆用由给出的一段函数图象求函数解析式三角函数图象的对称轴或对性奇函数偶函数型三角函数的奇偶性为偶函数学习必备欢迎下载由此得