《2023年初中数学最值问题典型例题含超详细解析答案分析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初中数学最值问题典型例题含超详细解析答案分析.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀教案 欢迎下载 中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题 造桥选址问题（完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于 点P，则PAPBAB的值最小 例 1、如图，四边形 ABCD
2、是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMB ENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。A B A P l 优秀教案 欢迎下载 例 2、如图 13，抛物线 y=ax2bxc(a0)的顶点为（1,4），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交
3、y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线MNBD，交线段 AD于点 N，连接 MD，使DNM BMD，若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由.题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐
4、标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 3、如图 1，四边形 AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a,b(b2a),且点 F 在AD 上（以下问题的结果可用 a,b 表示）（1）求 SDBF;(2)把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转 450得图 2,求图 2 中的 SDBF;(3)把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度,在旋转过程中,SDBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点
5、点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3。点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A，B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a，b 及sinACP的值（2）设点 P 的横坐标为m 用含m的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为 9：1
6、0？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 5、如图，C的内接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=34,抛物线2yaxbx经过点 A(4,0)与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m与C相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P在线段 OB上，从点 O出发向点 B运动；同时动点 Q在线段 DA上，从点 D出发向点 A运动；点 P的速度为每秒 1 个单位长，点 Q的
7、速度为每秒 2 个单位长，当 PQAD 时，求运动时间 t 的值；（3）点 R在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点 R的坐标.题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 1、证明：（1）ABE 是等边三角形，BA=BE，ABE=60 MBN=60，MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE 又MB=NB，AMB ENB（SAS）（5 分）解：（2）当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，
8、AM+CM的值最小（7 分）如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM的值最小（9 分）理由如下：连接 MN，由（1）知，AMB ENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN 是等边三角形 BM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CM（10 分）根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于 EC 的长（11分）题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标
9、为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 2、解：（1）设所求抛物线的解析式为：2(1)4ya x，依题意，将点 B（3，0）代入，得：2(31)40a 解得：a1所求抛物线的解析式为：2(1)4yx （2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点 H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HFHI 设过 A、E 两点的一次函数解析式为：ykxb（k0），点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x2 代入抛物线2(1)4yx ，得 2(21)43y 点 E 坐标为（2，3）又抛物线2(1)4yx 图像分别与
10、x 轴、y 轴交于点 A、B、D 当 y0 时，2(1)40 x ，x1 或 x3 当 x0 时，y143,点 A（1，0），点 B（3，0），点 D（0，3）又抛物线的对称轴为：直线 x1，点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GDGE 分别将点 A（1，0）、点 E（2，3）代入 ykxb，得：023kbkb 解得：11kb 过 A、E 两点的一次函数解析式为：yx1 当 x0 时，y1 点 F 坐标为（0，1）DF=2 又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，点 I 坐标为（0，1）2222242 5EIDEDI 又要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值，只要使 DGGHH
11、I 最小即可 由图形的对称性和、，可知，DGGHHFEGGHHI 只有当 EI 为一条直线时，EGGHHI 最小 设过 E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为：111(0)yk xb k，分别将点 E（2，3）、点 I（0，1）代入11yk xb，得：111231kbb 题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 解得：1121kb 过 A、E 两点的一次函数解析式为：y2x1 当 x1 时，y1；当 y0 时，x12；点 G
12、坐标为（1，1），点 H 坐标为（12，0）四边形 DFHG 的周长最小为：DFDGGHHFDFEI 由和，可知：DFEI22 5 四边形 DFHG 的周长最小为22 5。（3）如图 7，由题意可知，NMD MDB，要使，DNM BMD，只要使NMMDMDBD即可，即：2MDNMBD 设点 M 的坐标为（a，0），由 MNBD，可得 AMN ABD，NMAMBDAB 再由（1）、（2）可知，AM1a，BD3 2，AB4 (1)3 23 2(1)44AMBDaMNaAB 22229MDODOMa，式可写成：23 29(1)3 24aa 解得：32a 或3a（不合题意，舍去）点 M 的坐标为（32
13、，0）又点 T 在抛物线2(1)4yx 图像上，当 x32时，y152 点 T 的坐标为（32，152）.题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 3、解：（1）点 F 在 AD 上，AF2=a2a2，即 AF=2a。DFb2a。2DBF1113SDF ABb2abbab2222 （）。（2）连接 DF，AF，由题意易知 AFBD，四边形 AFDB 是梯形。DBF 与ABD 等高同底，即 BD 为两三角形的底。由 AFBD，得到
14、平行线间的距离相等，即高相等，2DBFABD1SSb2。（3）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点 A 为圆心，AF 为半径的圆。第一种情况：当 b2a 时，存在最大值及最小值，BFD 的边 BD=2b，当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，SBFD取得最大、最小值。如图，当 DFBD 时，SBFD的最大值=212b2ab2b(b2a)222，SBFD的最小值=212b2ab2b(b2a)222。第二种情况：当 b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，SBFD的最大值=2b2ab2。题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边
15、形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 4、解：（1）由1x+1=02，得到 x=2，A（2，0）。由1x+1=32，得到 x=4，B（4，3）。2y=ax+bx3经过 A、B 两点，4a2b3=016a+4b3=3，解得1a=21b=2。设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0，1）。根据勾股定理，得 AE=5。PCy 轴，ACP=AEO。OA22 5sinACP=sinAEO=AE55。（2）由（1）可知抛物线的解析式为211y=xx322。由点 P 的横坐标为m，得 P211mmm322，C
16、1mm+12，。PC=221111m+1mm3m+m+42222。在 RtPCD 中，2212 559 5PDPC sin ACP=m+m+4=m1+2555，505，当 m=1 时，PD 有最大值9 55。存在满足条件的m值，532m=29或。题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与优秀教案 欢迎下载 例 5、解：（1）将点 A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入2=+y axbx中，得方程组16+4=04-2=6abab，解之，得1=2=-2ab
17、.抛物线的解析式为21=-22yxx.（2）连接 AC交 OB于 E.直线 m切C于 A ACm，弦 AB=AO，ABAO.ACOB，mOB.OAD=AOB，OA=4 tanAOB=43，OD=OAtanOAD=443=3.作 OFAD 于 F.则 OF=OAsinOAD=453=2.4.t 秒时，OP=t,DQ=2t，若 PQAD，则 FQ=OP=t.DF=DQ FQ=t.ODF中，t=DF=22OFOD=1.8 秒.（3）令 R(x,21x22x)(0 x4).作 RGy轴于 G 作 RHOB 于 H交 y 轴于 I.则 RG=x，OG=21x2+2x.RtRIG中，GIR=AOB，tanGIR=43.IG=34x IR=35 x,RtOIH中，OI=IGOG=34x（21x2+2x）=21x232x.HI=54（21x232x）.于是 RH=IR IH=35 x 54（21x232 x）=52 x2+1533x=52 x2+511x=52(x 411)2+40121 当 x=411时，RH最大.SROB最大.这时21x22x=21(411)22411=3255.点 R(411,3255)题背景变式角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题总思路最小点则例如图边形是正方形是等边三角形为对角线不含点上任意一点点为交轴于交轴于其中点的坐标为求抛物线的解析式如图过点的直线与