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1、优秀学习资料 欢迎下载 列方程（组）解应用题的方法及步骤：（1）审题：要明确已知什么，未知什么及其相互关系，并用 x 表示题中的一个合理未知数。（2）根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。（关键一步）（3）根据相等关系，正确列出方程，即所列的方程应满足等号两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同。（4）解方程：求出未知数的值。（5）检验后明确地、完整地写出答案。检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。2.应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系：（1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）变形后的体积（容积）。（2）调配类应用题的特点是：调配前的数
2、量关系，调配后又有一种新的数量关系。（3）利息类应用题的基本关系式：本金利率利息，本金利息本息。（4）商品利润率问题：商品的利润率 ，商品利润商品售价商品进价。（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体 1，其中，工作效率工作总量工作时间。（6）行程类应用题基本关系：路程速度时间。相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程乙走的路程总路程。追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程前者走的路程两地间的距离。环形跑道题：甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。
3、飞行问题、基本等量关系：顺风速度无风速度风速 逆风速度无风速度风速 航行问题，基本等量关系：顺水速度静水速度水速 逆水速度静水速度水速 （7）比例类应用题：若甲、乙的比为 2：3，可设甲为 2x，乙为 3x。（8）数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这三位数为：。1 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？甲处 乙处 原有人数 27 18 现有人数 27+x 18-x 相等关系 2 甲处人数乙处人数 解 设应调往甲处x人，根据题意，得
4、27+x=2（18-x）.解这个方程，得x=3.答：从乙处调 3 人到甲处.2 变题 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 2 人，应调往甲、乙两处各多少人？分析 设应调往甲处x人，题目中涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：优秀学习资料 欢迎下载 甲处 乙处 原有人数 27 18 增加人数 x 20-x 现有人数 27+x 18+20-x 等量关系 2 甲处人数乙处人数+2 解 设应调往甲处x人，根据题意，得 27+x=2（18+20-x）+2.解这个方程，得x=17.20-x=3.答：应
5、调往甲处 17 人，乙处 3 人.3 某中学组织同学们春游，如果每辆车座 45 人，有 15 人没座位，如果每辆车座60 人，那么空出一辆车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？4 某车间一共有 59 个工人，已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 15 个，或乙种零件 12 个，或丙种零件 8 个，问如何安排每天的生产，才能使每天的产品配套？（3 个甲种零件，2 个乙种零件，1 个丙种零件为一套）5 一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成，已知一立方米木料可做桌面 50 个或桌腿300 根，现在 5 立方米木料，恰好能做桌子多少张？解：设在这 5 立方米木料中，用 x 立方米木料做桌面，用 y
6、立方米木料做桌子腿，由题意可得：xyxy 514503002()()解之可得：xy32 即用 3 立方米木料做桌面，2 立方米木料做桌腿。3501502300600 答：能做成桌子 150 张。6 某班有 50 名学生，在一次数学考试中，女生的及格率为 80%，男生的及格率为75%，全班的及格率为 78%，问这个班的男女生各有多少人？7 一份试卷共有 25 道题，每道题都给出了 4 个答案，其中只有一个正确答案，每道题选对得 4 分，不选或错选倒扣 1 分，如果一个学生得 90 分，那么他做对了多少道题。8 有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七
7、分之一正休息，还剩 3 个女学生。”问毕达哥拉斯的学校中多少个学生。列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 9 有一些分别标有 5,10,15,20,25的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大 5，小明拿到了相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数之和为 240。（1）小明拿到了哪 3 张卡片？（2）你能拿到相邻的 3 张卡片，使得这些卡片上的数之和是 63 吗？10 个连续整数的和为 72，则这三个数分别是 11：(准备小
8、勇 6 年后上大学的学费 5000 元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。(1)直接存一个 6 年期，年利率是 2.88；(2)先存一个 3 年期的，3 年后将本利和自动转存一个 3 年期。3 年期的年利率是 2.7。你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。设开始存入 x元。如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：x(1 十 2.886)5000 解得 x4263(元)如果按照第二种蓄储方式，可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和本金十利息 利息：本
9、金X 利率 X 期数 等量关系是：第二个 3 午后本利和5000 所以列方程 1.081x(1 十 2.73)5000 解得 x4279 这就是说，大约 4280 元，3 年期满后将本利和再存一个 3 年期，6 年后本利和达到 5000 元。因此第一种储蓄方式即直接存一个 6 年期)开始存人的本金少。13 答下列各问题：(1)据北京日报2000 年 5 月 16 日报道：北京市人均水资源占有 300 立方米，仅是全国人均占有量的81，世界人均占有量的321，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源占有量是多少立方米?(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至
10、少有 6l05个水龙头，2l05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉 a 立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉 b 立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含 a、b 的代数式表示)(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费 1.3 元，超标部分每立方米水费 2.9 元，某住楼房的三口之家某月用水 12 立方米，交水费 22 元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?14 伐木队按计划每天应采伐 48m3的木材，
11、因每天采伐543m，故提前 3 天完成任务，且比原列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 计划多伐1383m，求原计划采伐多少木材？解：方法 1：以实际工作量为中介量，可得方程54483138()xx 方法 2：以实际采伐时间为中介量，可得方程xx13854483 方法 3：以计划时间为中介量，可得方程xx 13854348 x 2400，即原计划采伐木材24003m.15 某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过 2
12、0 立方米，则每立方米水价按 1.2元收费；若超过 20 立方米，则超过部分每立方米按 2 元收费。如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米 1.5 元，那么他这个月共用了_立方米的水。（贵州省，1999）16 国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于 800 元的不纳税；（2）稿费高于 800 元又不高于 4000 元的应缴纳超过 800 元的那一部分稿费的 14%的税；（3）稿费高于 4000 元的应缴纳全部稿费的 11%的税。今知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税 420 元，问丁老师的这笔稿费有_元。（黄冈市，1999）17 工人师傅制作了一个容
13、积是843cm，高为 6cm 的长方体盒子，已知盒子底面的长比宽多5cm，那么盒子底面的宽是_cm。18、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6 天可以完成；如果单独工作，乙队比甲队多用 5天，两队单独工作各要多少天？19 一个水池装有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管 45 分钟注满水池，单开乙管 60 分钟注满水池，单开丙管 90 分钟可注满水池。如果三管一齐开_分钟注满水池。说明：商家将一件成本是 100 元的夹克,按成本价提高 50%后,标价 150 元,后按标价的 8 折出售给某顾客,请算一算,在这笔交易中商家有没有赚钱?成本价_标价_售价_利润_利润率_1、某商品的进价为 150 元,销
14、售价为 180 元,此商品的利润率是_.2、某商场有一件商品需要降价处理，现把它降价 25%后售价 75 元，设这件商品降价前的原列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 价卖x元，列方程为 .3、某商品的进价为 200 元,标价为 300 元,打折销售时的利润为 5%,此商品是按几折销售的?20 理一批图书，由一个人做要 40 小时完成，现在计算由一部分人先做 4 小时，再增加 2 人和他们一起做 8 小时，完成这项工作，假设
15、这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？分析：1、这里把什么看作单位 1；2、由一个人独做要 40 小时完成，那么每人做 1 小时的工作量是多少？3、一个人独做 4 小时的工作量是多少？4、本题的等量关系是什么？如何列出一元一次方程？140)2(8404xx 21 种货物，连续两次均以 10%的幅度降价后，售价为 486 元，则降价前的售价为_元。22 家商店里某种服装每件的成本价是 50 元，按标价的 8 折（即按标价的 80%）优惠卖出。（1）、如果每件仍获利 14 元，这种服装的标价是多少元？（2）、如果利润率为 20%，这种服装的标价是多少元？商场将一件成本价为 100元的夹克，按
16、成本价提高 50%后，标价 150 元，后按标价的 8 折出售给某顾客，请算一算，在这笔交易中商家有没有赚？学生计算，同桌之间交流后，教师提问检查：15080%-100=20（元）每件夹克商家赚了 20 元。23 商店积压了 100 件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的 2.5 倍，再作三次降价处理：第一次降价 30%，标出“亏本价”；第二次降价 30%，标出“破产价”；第三次降价 30%，标出“跳楼价”。三列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类
17、应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 次降价处理销售结果如下表：价次数 售价数 0 0 一抢而光（1）跳楼价占原价的百分比是多少？（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案赢利多？24 商品按定价销售，每个可获利 45 元，现在按定价的 8.5 折出售 8 个所能获得的利润与按定价每个减价 35 元出售 12 个所获得利润一样。问这种商品每个的进价、定价各是多少元？思考题：（1）、据了解，个体服装销售只要高出进价的 20%便可盈利，但老板常以高出进价的 50%100%标价。假如你准备买一件标价为 200 元的服装，应在什么范围内还价？25、乙两相距 6
18、 千米，两人同时出发，同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇，两人的平均速度各是多少？解：设甲的平均速度是每小时行 x 千米，乙的平均速度是每小时行 y，根据题意，得：3x=3y+6 x+y=6 解这个方程组，得：x=4 y=2 答：平均每小时甲行 4 千米，乙行 2 千米。26 乙两人从相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时 48 分相遇，如果甲比乙早出发40 分钟，那么在乙出发 1 小时 30 分相遇，求甲、乙二人各自的速度。1.解：设甲的速度为 x 公里/小时，乙的速度为 y 公里/小时，则根据题意：18181233232182.()()()()xyxy 解之
19、得：xy4555.27从甲地到乙地，先下山后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时 12 千米的速度下山，而以每小时 9 千米速度通过平路，到乙地 55 分钟。他回来时以每小时 8 千米的速度通过平路，而以每小时 4 千米速度上山，回到甲地用112小时，求甲、乙两地的距离。分析：列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 山路 平路 用时 长度 用时 长度 去时 x12 x 111212x 9111212()x 回时 x4 x 112
20、4x 8 1124()x 根据“去时所走平路长=回时所走平路长”列方程求解。解：设山路长为 x 千米，依题意列方程为：91112128 1124()()xx 解这个方程，得x 3。代入方程左边，算得平路长为：911123126()()千米 两地距离为（千米）369 答：甲乙两地距离为 9 千米。28 甲、乙两人在周长是 400 米的环形跑道上散步若两人从同地同时背道而行，则经过 2 分钟就相遇若两人从同地同时同向而行，则经过 20 分钟后两人相遇已知甲的速度较快，求二人散步时的速度(只列方程，不求出)分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度有两个相等关系，
21、即(1)背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400米；(2)同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400米(让学生自己设未知数，列方程组，教师请一名学生将自己所列的方程组写在黑板上)解：设甲人速度为每分钟 x 米，乙人速度为每分钟行走 y 米依题意，得 列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 29 人骑自行车绕 800 米长的环形跑道行驶，他们从同一地点出发，如果方向相反，每 1 分 20 秒相遇一次如果方向相同，每 13
22、分 20 秒相遇一次求各人的速度 30 某一铁路桥长 1000 米现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 1 分钟，整列火车完全在桥上的时间为 40 秒钟求火车速度 31 地相距 280 千米，一艘轮船在其间航行 顺流用了 14 小时，逆流用了 20 小时 求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 甲、乙两相距 36 千米两地相向而行，如果甲比乙先走 2 时，那么他们在乙出发 2.5 时后相遇；如果乙比甲先走 2 时，那么他们在甲出发 3 时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？解：设甲、乙两人每小时分别行走 x 千米、y 千米。根据题意可得：4.5x+2.5y=36 x=6 3x+
23、5ky=36 解此方程可得 ：y=4 所以甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。32 乙两码头相距 60 千米，某船往返两地，顺流时用 3 小时，逆流时用 4 小时，求船在静水中的航速及水流速度。分析：复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系。顺流航行的船速=在静水中的船速度+水流速度 逆流航行的速度=在静水中的船速度-水流速度 师生共同分析两个相等关系 顺流航行的速度3=60 千米 逆流航行的速度4=60 千米 解：设船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时。由题意得 3（+）=60 4(-)=60 解这个方程组;得 =17.5 =2.5 答：略 练习：P
24、48 7.33.两地之间的路程为 20 千米，甲从 A地，乙从 B地同时出发，相向而行，2 小时侯在 C点相遇，相遇后甲原速反回 A地，乙仍向 A地前进。甲回到 A地时，乙离 A地还有 2 千米，求甲乙两地的时速。学生活动：独立分析、思考、找相等关系，一个学生板演。解：设甲速为每小时千米，乙速为每小时千米，根据题意，列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 2（+）=20 2-2=2 解得=5.5=4.5 答：甲速为每小时 5.
25、5 千米，乙速为每小时 4.5 千米。甲、乙二人从 C 点同向而行，甲回到 A地的时间是 2 小时，在相同的时间内，乙到达点，距 A地还有 2 千米，从而可得相等关系：甲行程以行程2 千米 34 乙两人由上午 8 时自 A、B两地同时相向而行，上午 10 时相距 36 公里，两人继续前进，到12 时又相距 36 公里，已知甲每小时比乙多走 2 公里，求 A、B两地距离。(108 公里)35、B两地相距 5 公里，一辆汽车与一辆自行车同时从 A地出发，驶向 B地，当汽车到达 B地时，自行车才走完全程的41。汽车在 B停留半小时后，以原速度返回 A地，经过 24 分钟与自行车相遇。求汽车、自行车的
26、速度。分析：根据在汽车到达 B 地时自行车才走完全程的41，得到汽车的速度是自行车的速度的 4 倍。剩下43的路程，等于自行车行驶半小时加 24 分钟所走过的距离加上汽车行驶 24 分钟走过的距离。A、B 之间的路程全长是已知的，只需设自行车和汽车的速度分别为x公里/小时，y公里/小时，就可列出方程。解：设自行车的速度为x公里/小时。汽车的速度为y公里/小时。依题意列方程组：43506024)602421(4yxxy 解此方程组得：6015yx 答：自行车速度为 15 公里/小时，汽车速度为 60 里/小时。36 辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用相同时间，若车速每小时 60 千米，就能超
27、过桥 2 千米；若车速每小时 50千米，就差 3 千米才到桥。问甲地与桥相距多远？用了多长时间？列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 37 少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时 12 公里的速度 下山，以每小时 9 公里的速度通过平路，到学校共用了 55 分钟，回来时，通过平路速度不 变，但以每小时 6 公里的速度上山，回到营地共花去了 1 小时 10 分钟，问夏令营到学校有 多少公里？分析：路程分
28、为两段，平路和坡路，来回路程不变，只是上山和下山的转变导致时间的不 同，所以设平路长为 x 公里，坡路长为 y 公里，表示时间，利用两个不同的过程列 两个方程，组成方程组 解：设平路长为 x 公里，坡路长为 y 公里 依题意列方程组得：60101696055129yxyx 解这个方程组得：36yx 经检验，符合题意 xy=9 答：夏令营到学校有 9 公里 38 一列快车长 168 米，一列慢车长 184 米，如果两车相向而行，从相遇到离开需 4 秒，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需 16 秒钟，求两车的速度。分析：如果两车相向而行，则其相对速度为速度之和，如果两车同向而行，则其相对速度为速
29、度之差，但是相对移动的距离则均为两辆火车的长度之和。解：设快车时速为 x 公里/小时，慢车时速为 y 公里/小时，据分析可以得到方程组 41 6 8 1 8 41 61 6 8 1 8 4()()xyxy 将其化简得xyxy 8822 解这个方程组得xy5533 答：快车每小时行驶 55 公里，慢车每小时行驶 33 公里。39 余的两个角的比是 2:3，求这两个角各是多少度？分析：两角互余，和为 90 。解：设互余的两个角分别为 2x 和 3x。2x+3x=90 x=18 2x=36 3x=54 答：两角分别为 36，54。列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类
30、应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 40 个角的补角与它的余角的 2 倍的差是平角的31，求这个角的度数。分析：设这个角为x，则这个角的补角为(180 x)，这个角的余角为(90 x)解：设这个设为x，则 (180 x)2(90 x)=31180 x=60 答：这个角为 60。41、在等腰三角形中，一个角是另一个角的 2 倍，求三个角？_ 42：在等腰三角形中，一个边另一个边 2 倍，求三个边？_ 43数，甲数在 20 和 30 之间，乙数在 10 和 20 之间，甲、乙两数之比为 4:3，
31、如果甲、乙两数的个位数字与十位数字交换位置，这两个数之和为 123，求甲、乙两数。3.解：设甲数的个位数字为 x，乙数的个位数字为 y 则 解之可得 所以这两个数字为 24 和 18 42 三位数的数字之和是 17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数大 3，如把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大 495，求原数 未知数，即各个数位上的数字 题中有三个等量关系：三个数字之和等于 17；百位数字与十位数字的和再与个位数字的差是 3；调换后新数与原数之差是 495(由学生自己设未知数，列方程组，求答案教师提问一学生并板演解题过程)解：设这个三位数的百位数字，十位数字，个位数字分别是 x，y，z依题意，得 列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把优秀学习资料 欢迎下载 解这个方程组，得 答：这个三位数是 287 44.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小 3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的41，求这个两位数。列的方程应满足等号两边的量要相等方程两边的代数式的单位要相同解系等积类应用题的基本关系式变形前的体积容积变形后的体积容积调配商品售价商品进价工程类应用题中的工作量并不是具体数量因而常常把