2023年立体几何中的轨迹问题全面汇总归纳+讲义+练习.pdf

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1、立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理

2、等，求出最值 轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥 SABCD 中，E 是 BC 的中点，P 点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持 PEAC则动点 P 的轨迹与SCD 组成的相关图形最有可能的是 ()解析：如图，分别取 CD、SC 的中点 F、G，连结 EF、EG、FG、BD设 AC 与 BD 的交点为 O，连结 SO，则动点 P 的轨迹是SCD 的中位线 FG由正四棱锥可得 SBAC，EFAC又EGSB EGAC AC平面 EFG，PFG，E平面 EFG，ACPE 另解：本题可用排除法快速求解B 中 P 在 D 点这个特殊位置，显然不满足 PEAC；C 中 P 点所在的轨迹与 CD 平行

3、，它与 CF 成4角，显然不满足 PEAC；D 于中 P 点所在的轨迹与 CD 平行，它与 CF 所成的角为锐角，显然也不满足 PEAC 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹【例2】(1)如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H 分别是 CC1、C1D1、DD1、DC 的中点，N 是 BC 的中

4、点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足 时，有 MN平面 B1BDD1(2)正方体 ABCD A1B1C1D1中，P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，且总保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是 线段 B1C (3)正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是棱 A1B1，BC 上的动点，且 A1E=BF，P 为 EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段 MN(M、N 分别为前右两面的中心)(4)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体的侧面 BCC1B1上到点 A距离为2 3 3 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 若将“

5、在正方体的侧面 BCC1B1上到点 A距离为2 3 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点 A距离为2 3 3 的点的集合”那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 A B C D D1 C1 B1 A1 P N A B C D D1 C1 B1 A1 M G E H F A B C D D1 C1 B1 A1 P A B C D D1 C1 B1 A1 E F P(1)(2)(3)(4)P P P P S C D S C D S C D S C D A B C D A B C D E F G P O M N S【例3】(1)(04 北京)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 是侧面 B

6、B1C1C 内一动点，若 P到直线 BC 与直线 C1D1的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 (D )A A直线 B圆 C双曲线 D抛物线 变式：若将“P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离相等”改为“P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离之比为 1：2(或 2：1)”，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 椭圆(双曲线)(2)(06 北京)平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 于点 C，则动点 C 的轨迹是 (A)A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支 解：设 l 与 l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 A

7、B垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 A 与 AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面 的交线上，故选 A(3)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，M 在棱 AB 上，且 AM=13，点 P 到直线 A1D1的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则点 P 的轨迹为 抛物线 (4)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3，长为 2 的线段 MN 点一个端点 M 在DD1上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 6 【例4】(04 重

8、庆)若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：(D)【例5】四棱锥P-ABCD，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是()A圆 B不完整的圆 C抛物线 D抛物线的一部分 分析：AD面 PAB，BC平面 PAB ADBC 且 ADPA，CBPB APD=CPB tanAPD=tanCPB ADPA=CBPB PB=2PA 在平面 APB 内，以 AB的中点为原点，AB所在直线为 x 轴建立平面直角坐

9、标系，则 A(-3，0)、B(3，0)，设P(x，y)(y0)，则(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2(y0)即(x+5)2+y2=16(y0)P 的轨迹是(B)A B C P A B C P A B C P A B C P A B C D A B C D D1 C1 B1 A1 P l A B C A B C D D1 C1 B1 A1 M P A B C D D1 C1 B1 A1 M N 3 3 2 3 P A B C D 立体几何中的轨迹问题（教师版）1在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的

10、形状为（D）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义因为 B1C1面 AB1，所以 PB1就是 P 到直线 B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选 D 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 2：1，则动点 P 所在曲线的形状为（B）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 3在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 1：

11、2，则动点 P 所在曲线的形状为（C）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 AA1的中点，点 P 在其对角面 BB1D1D 内运动，若 EP 总与直线 AC 成等角，则点 P 的轨迹有可能是（A）A圆或圆的一部分 B抛物线或其一部分 C双曲线或其一部分 D椭圆或其一部分 简析 由条件易知：AC 是平面BB1D1D 的法向量，所以 EP 与直线 AC 成等角，得到 EP 与平面 BB1D1D所成的角都相等，故点 P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分 5已知正方体ABCDA B C D1111的棱长为 a，定点 M 在棱 AB 上（

12、但不在端点 A，B 上），点 P 是平面 ABCD内的动点，且点 P 到直线A D11的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a2，则点 P 的轨迹所在曲线为（A）A抛物线 B双曲线 C直线 D圆 简析 在正方体ABCDA B C D1111中，过 P 作 PFAD，过 F 作 FEA1D1，垂足分别为 F、E，连结 PE则 PE2=a2+PF2，又 PE2-PM2=a2，所以 PM2=PF2，从而 PMPF，故点 P 到直线 AD 与到点 M 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 M 为焦点，AD 为准线的抛物线 6在正方体ABCDA B C D1111中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边

13、界上运动，总有 APBD1，则动点 P 的轨迹为_ 简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面易证 BD1面ACB1，所以满足 BD1AP 的所有点 P 都在一个平面 ACB1上而已知条件中的点 P 是在侧面 BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点 P 在平面 ACB1与平面 BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段 B1C本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹 7在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有 PEAC，则动点 P的轨迹为_ 答

14、案 线段 MN（M、N 分别为 SC、CD 的中点）8若 A、B 为平面的两个定点，点 P 在外，PB，动点 C（不同于 A、B）在内，且 PCAC，则动点 C 在平面内的轨迹是_（除去两点的圆）9 若三棱锥ABCD 的侧面ABC 内一动点P到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D）A A A A P P P P B C B C B C B C A B C D 简析 动点 P 在侧面 ABC 内，若点 P 到 AB 的距离等于到棱 BC 的距离，则点 P 在 ABC的内角平分线上 现在 P 到平面 BCD 的距离等于到棱 AB 的距离，而 P 到

15、棱 BC 的距离大于 P 到底面 BCD 的距离，于是，P 到棱 AB 的距离小于 P 到棱 BC 的距离，故动点 P 只能在 ABC的内角平分线与 AB 之间的区域内 只能选 D 10已知 P 是正四面体 S-ABC 的面 SBC 上一点，P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（B）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等 11已知正方体ABCDA B C D1111的棱长为 1，在正方体的侧面BCC B11上到点 A 距离为2 33的

16、点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_ 简析 以 B 为圆心，半径为33且圆心角为2的圆弧，长度为36 12已知长方体ABCDA B C D1111中，ABBC63,，在线段 BD、AC11上各有一点 P、Q，PQ 上有一点M，且PMMQ2，则 M 点轨迹图形的面积是 提示 轨迹的图形是一个平行四边形 13已知棱长为 3 的正方体ABCDA B C D1111中，长为 2 的线段 MN 的一个端点在DD1上运动，另一个端点N 在底面 ABCD 上运动，求 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积 简析 由于 M、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”

17、，结合动点 P 的几何性质，连结DP，因为 MN=2，所以 PD=1，因此点 P 的轨迹是一个以 D 为球心，1 为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163 14已知平面/平面，直线l，点lP，平面、间的距离为 4，则在内到点 P 的距离为 5 且到直线l的距离为29的点的轨迹是（）A一个圆 B两条平行直线 C四个点 D两个点 简析：如图，设点 P 在平面内的射影是 O，则 OP 是、的公垂线，OP=4在内到点 P 的距离等于 5 的点到 O 的距离等于 3，可知所求点的轨迹是内在以 O 为圆心，3为半径的圆上又在内到直线

18、l的距离等于29的点的集合是两条平行直线 m、n，它们到点 O 的距离都等于32174)29(22，所以直线 m、n 与这个圆均相交，共有四个交点因此所求点的轨迹是四个点，故选 C 16在四棱锥ABCDP中，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（）A圆 B不完整的圆 C抛物线 D抛物线的一部分 简析：因为AD面 PAB，BC面 PAB，所以 AD/BC，且90CBPDAP 又8BC,4AD,CPBAPD，可得CPBtanPBCBPAADAPDtan，即得2ADCBPAPB 在平面 PAB 内

19、，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 A（-3，0）、B（3，0）设点 P（x，y），则有2y)3x(y)3x(|PA|PB|2222，整理得09x10yx22 由于点 P 不在直线 AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选 B 17如图，定点 A 和 B 都在平面内，定点 P,PB,C 是内异于 A 和 B的动点且ACPC，那么动点 C 在平面内的轨迹是（）A一条线段，但要去掉两个点 B一个圆，但要去掉两个点 C一个椭圆，但要去掉两个点 D半圆，但要去掉两个点 简析：因为PCAC，且 PC 在内的射影为 BC，所以BCAC，即90ACB所以点 C

20、的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点，故选 B 18如图，在正方体1111DCBAABCD 中，P 是侧面1BC内一动点，若 P 到直线 BC与直线11DC的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A直线 B圆 C双曲线 D抛物线 简析：因为 P 到11DC的距离即为 P 到1C的距离，所以在面1BC内，P 到定点1C的距离与 P 到定直线 BC 的距离相等由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线，故选 D 19已知正方体1111DCBAABCD 的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线11DA的距离等于点 P到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的

21、曲线是（）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D直线 简析：如图 4，以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系设P（x，y），作ADPE 于E、11DAPF 于F，连 结EF，易 知1x|EF|PE|PF|2222 又作CDPN 于 N，则|1y|PN|依题意|PN|PF|，即|1y|1x2，化简得0y2yx22 故动点 P 的轨迹为双曲线，选 B 20如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点 P在平面a内运动，使得ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是（）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线 分析：由于线段 AB是定长线段，而ABP的面积为定值，所

22、以动点 P到线段 AB的距离也是定值由此可知空间点 P 在以 AB为轴的圆柱侧面上又 P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线 21如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于MN，设BPx，MNy，则函数()yf x的图象大致是（）分析：将线段 MN投影到平面 ABCD 内，易得 y 为 x 一次函数 22已知异面直线 a，b 成60角，公垂线段 MN 的长等于 2，线段 AB 两个端点 A、B 分别在 a，b 上移动，且

23、线段 AB 长等于 4，求线段 AB 中点的轨迹方程 图 5 简析：如图 5，易知线段 AB 的中点 P 在公垂线段 MN 的中垂面上，直线 a、b为平面内过 MN 的中点 O 分别平行于 a、b 的直线，aAA 于A，bBB 于B，则PBAAB，且 P 也为BA的中点 由已知 MN=2，AB=4，易知,2AP,1AA得32BA 则问题转化为求长等于32的线段BA的两个端点A、B分别在 a、b上移动时其中点 P 的轨迹现以OBA的角平分线为 x 轴，O 为原点建立如图 6 所示的平面直角坐标系 A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O

24、y x D O 图 6 设)y,x(P，n|OB|,m|OA|，则)n21,n23(B),m21,m23(A)nm(41y),nm(43x 222)32()nm(41)nm(43 消去 m、n，得线段 AB 的中点 P 的轨迹为椭圆，其方程为1y9x22 点评：例 5 和例 6 分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力 立体几何中的轨迹问题 1在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为 （）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分

25、D抛物线的一部分 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 2：1，则动点 P 所在曲线的形状为 （）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 3在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 1：2，则动点 P 所在曲线的形状为 （）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 AA1的中点，点 P 在其对角面 BB1D1D 内运动，若 EP 总与直线 AC 成等角，则点

26、P 的轨迹有可能是 （）A圆或圆的一部分 B抛物线或其一部分 C双曲线或其一部分 D椭圆或其一部分 5已知正方体ABCDA B C D1111的棱长为 a，定点 M 在棱 AB 上（但不在端点 A，B 上），点 P 是平面 ABCD内的动点，且点 P 到直线A D11的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a2，则点 P 的轨迹所在曲线为（）A抛物线 B双曲线 C直线 D圆 6 若三棱锥ABCD 的侧面ABC 内一动点P到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 （）A A A A P P P P B C B C B C B C A B C D A

27、B C D 7已知 P 是正四面体 S-ABC 的面 SBC 上一点，P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 （）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 8已知平面/平面，直线l，点lP，平面、间的距离为 4，则在内到点 P 的距离为 5 且到直线l的距离为29的点的轨迹是 （）A一个圆 B两条平行直线 C四个点 D两个点 9在四棱锥ABCDP 中，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是 （）A圆 B不完整的圆 C抛物线 D抛物线的一部分 10如图，定点 A

28、和 B 都在平面内，定点 P,PB,C 是内异于 A 和 B的动点且ACPC，那么动点 C 在平面内的轨迹是（）A一条线段，但要去掉两个点 B一个圆，但要去掉两个点 C一个椭圆，但要去掉两个点 D半圆，但要去掉两个点 11已知正方体1111DCBAABCD 的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线11DA的距离等于点 P到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 （）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D直线 12如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点 P 在平面a内运动，使得ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是（）A圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行直线 13如

29、图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于MN，设BPx，MNy，则函数()yf x的图象大致是 （）14在正方体ABCDA B C D1111中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，总有 APBD1，则动点 P 的轨迹为_ 15在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有 PEAC，则动点 P的轨迹为_ 16若 A、B 为平面的两个定点，点 P 在外，PB，动点 C（不同于 A、B）在内，且 PCAC，则动点 C 在平面内的轨迹是_ 17已知正方体ABCD

30、A B C D1111的棱长为 1，在正方体的侧面BCC B11上到点 A 距离为2 33的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_ 18已知长方体ABCDA B C D1111中，ABBC63,，在线段 BD、AC11上各有一点 P、Q，PQ 上有一点M，且PMMQ2，则 M 点轨迹图形的面积是 19已知棱长为 3 的正方体ABCDA B C D1111中，长为 2 的线段 MN 的一个端点在DD1上运动，另一个端点N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 20已知异面直线 a，b 成60角，公垂线段 MN 的长等于 2，线段 AB 两个端点 A、B 分别在 a，b 上移动，且线段 AB 长等于 4，求线段 AB 中点的轨迹方程 A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O