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1、名师总结 优秀知识点 第四章 相似图形 1.两条线段的比的概念 两条线段的比就是两条线段长度的比.1.在比例尺为 18000 的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是 1 cm2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？4.2 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 AB，如果ACAB=BCAC那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。相似三角形 一、教学目标 1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.2.能根据相似比进行计算.二、教学过程 1.相似三角形的定义及记法 如果ABCDEF，那么哪
2、些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.所以A=D、B=E、C=F.EFBCDFACDFACDEAB.相似三角形的判定 判定方法 两个三角形相似的条件（2 个）两个三角形全等的条件（3 个）1 两边对应成比例，夹角相等 两边对应相等，夹角相等 2 两个角对应相等 两个角和一边对应相等 3 三边对应成比例 三边对应相等 4.如图.ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD、BE 相交于 F，则图中相似三角形共有几对？它们名师总结 优秀知识点 分别是哪些？为什么？解：图中相似三角形共有六对，它们分别是ADCBEC,ADCAE
3、F,BECBDF,BDFAEF,BDFADC,AEFBEC.ADBC,BEACADB=ADC=AEB=CEB=90（1）在ADC 与BEC 中 ADC=BEC=90C=CADC BEC（2）在ADC 与AEF 中ADC=AEF=90DAC=EAF ADCAEF（3）在BEC 与BDF 中BEC=BDF=90EBC=DBF BECBDF.（4）在BDF 和AEF 中BDF=AEF=90，BFD=AFEBDFAEF.（5）由BECADC 得DBF=DACBDF=ADC=90BDFADC（6）由BECADC，得EBC=EAFAEF=BECAEFBEC 高 4 m的旗杆在水平地面上的影子长 6 m，此
4、时测得附近一个建筑物的影子长 24 m，求该建筑物的高度 4.8 相似多边形的性质 一、教学目标 1 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.2.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.高 4 m的旗杆在水平地面上的影子长 6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长 24 m，它们形成的三角形的周长比，面积比？被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 鲁八年级数学第二章整章水平测试 一、试试你的身手（每小
5、题 3 分，共 30 分）1把一个长为 2 的矩形剪去一个正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽为 2已知23acebdf，则3abf 3已知两数 4 和 8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只需写出一个即可)4ABC的三边长分别为5，10，15，AB C的两边长分别为 1 和 2，如果ABCAB C，那么AB C的第三边长为 5把一个多边形的面积扩大为原来的 3 倍，且与原来的多边形相似，则其周长扩大为原来的 倍 6有同一个地块的甲、乙两张地图，比例尺分别为 13000 和 15000，则甲地图和乙地图的相似比是 7 在ABC中，90BA
6、C，ADBC于D，3BD，9AD，则22:ABAC 8如图 1，RtABC中，有三个正方形，9cmDF，6cmGK，则第三个正方形的边长PQ 9电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处？如果她向B点再走 m，也处在比较得体的位置？（52.236，结果精确到 0.1m）10已知：如图 3，ABCD中，:=1:2AE EB，如果 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结
7、 优秀知识点 26cmAEFS，则CDFS 二、相信你的选择（每小题 3 分，共 30 分）1已知xymn，则把它改写成比例式后，错误的是（）Axmny Bynmx Cxymn Dxnmy 2一个运动场的实际面积是26400m，那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是（）A26.4m B2640cm C264cm D28cm 3下列四组线段中，不能成比例的是（）A3624abcd，B1263abcd，C46510abcd，D25152 3abcd，4如图 4，在正方形网格上有 6 个三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK 其中中，与三角形相似的是（）A B C D 5两个相似
8、多边形面积之比为 51，周长之比为m1，则5m（）A1 B55 C5 D5 6如图 5，在ABC中，如果30cmAB，24cmBC，27cmCA，AEEFFB，EGDFBC，FMENAC，图中阴影部分三个三角形周长的和 为（）A70cm B75cm C80cm D81cm 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 7下列说法正确的是（）A分别在ABC的边AB，AC的反向延长线上取点DE，使DEBC，则ADE是ABC放大后的图形 B
9、两位似图形的面积比等于位似比 C位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D位似图形的周长之比等于位似比的平方 8如图 6，已知DEBC，EFAB，则下列 比例式中错误的是（）AADAEABAC BCEEACFFB CDEADBCBD DEFCFABCB 9如图 7，将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点 连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的 长与宽的比应为（）A21 B31 C21 D11 10某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为 94，其中一块草坪的周长是 36 米，则另一块草坪的周长是（）A24 米 B54 米 C24 米或 54 米 D36 米或 54 米 三、挑战
10、你的技能（本大题共 36 分）1（9 分）三角形的顶点坐标分别是(2 2)A，(4 2)B，(6 4)C，试将ABC缩小，使缩小后的DEF与ABC对应边比为 12 2（9 分）已知：如图 8，在ABC中，ADBC于D，=24BC，=18AD，矩形EFGH内接于ABC，且=2EHEF，求矩形EFGH的周长 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 3（9 分）如图 9，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约 30 米的地方
11、，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约 60 厘米 求电线杆的高 4（9 分）某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似（如图 10 所示），以给人一种和谐的感觉，那么这样的两个矩形是怎样画出来的呢?四、拓广探索（本大题 24 分）1（12 分）在ABC中，4AB （1）如图 11（1）所示，DEBC，DE把ABC分成面积相等的两部分，即IIISS，求AD的长（2）如图 11（2）所示，DEFGBC，DEFG，把ABC分成面积相等的三部分，即IIIIIISSS，求AD的长（3）如图 11（3）所示，DEF
12、GHKBC，DEFGHK，把ABC分被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 成面积相等的n部分，IIIIIISSS，请直接写出AD的长 2（12 分）如图 12，在矩形ABCD中，12AB 厘米，6BC 厘米点P沿AB边从A开始向点B以 2 厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以 1 厘米/秒速度移动如果PQ，同时出发，用t（秒）表示移动的时间（06t），那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边
13、形QPAC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点QAP，为顶点的三角形与ABC相似？被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 八年级数学第二章整章水平测试参考答案 一、151 223 32 或 16 或4 2 43 53 653 719 84cm 976,4 7 1054cm2 二、1C 2C 3C 4B 5C 6D 7D 8C 9C 10C 三、1略 2EFGH的周长为2165 3电线杆的高为 6 米 4
14、略 四、1(1)2 2AD（2）4 33AD（3）4 nADn 2（1）当2t 秒时，QAP为等腰直角三角形（2）36QAPCS四边形（厘米2）由计算结果发现：在PQ，两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变（也可提出：PQ，两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）当1.2t 秒或 3 秒时，以点QAP，为顶点的三角形与ABC相似 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 1、如图,在等腰梯形 ABCD中,ADBC,A
15、D=3，BC=7，B=60，P为下底 BC上一点（不与 B、C重合），连结 AP,过 P点作 PE交 DC于 E,使得APE=B.（1）求证：ABP PCE；（2）求等腰梯形的腰 AB的长；（3）在底边 BC上是否存在一点 P,使得 DE EC=5 3?如果存在,求出 BP的长,如果不存在,请说明理由.2、如图,已知ABC中，ACB=90，AC=BC,点 E、F在 AB上,ECF=45.（1）求证:ACF BEC；（2）设ABC的面积为 S，求证:AFBE=2S.3、如图，在ABCD中,过点 B作 BECD,垂足为 E,连结 AE,F 为 AE上一点,且BFE=C.（1）求证:ABF EAD；
16、（2）若 AB=4,BAE=30，求 AE的长；（3）在（1）（2）的条件下,若 AD=3,求 BF的长.4、如图,在 RtABC中,ACB=90，AD平分CAB交于点 D,过点 C 作 CE AD于 E,CE的延长线交 AB于点 F,过点 E作 EG BC交 AB于 G,AEAD=16,AB=4 5.（1）求证:CE=EF；（2）求 EG的长.60 A E 第 1 题图 P D C B 45 A E 第 2 题图 F B C A C E F D 第 3 题图 B A B E D F G 第 4 题图 C 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有
17、什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 5、将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A与 CD边上的点 M重合,折线交 AD于 E,交 BC于F,边 AB折叠后与 BC交于点 G,（1）如果 M为 CD的中点,求证:DEDM EM=3 45.（2）如果 M为 CD上任一点,设 AB=2a，问CMG 的周长是否与点 M的位置有关?若有关,请把CMG 的周长用含 DM的长 x（即 DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由.6、某生活小区的居民筹集资金 1600 元,计划在一块上、下底分别为 10 米,20 米的梯形空地上种
18、植花木如图，（1）他们在AMD 和BMC地带上种植太阳花,单价为 8 元/，当AMD 地带种满花后（图中阴影部分）共花了 160 元,请计算种满BMC 地带所需费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为 12 元/和 10 元/，应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形 ABCD 为等腰梯形,面积不变（如图）请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点 P,使得APB DPC,且 SAPD=SBPC，并说明你的理由.7、如图,正方形 ABCD的边长为 2,AE=EB,MN=1,线段 MN的两端在 BC、CD上,若AED与以 M、N、C为顶点的三角形相似,求 CM
19、的长.A F E M C D G B 第 5 题图 A D C M 第 6 题图 B A D C 第 6 题图 B B C D M 第 7 题图 N E A 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 8、如图,已知ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P点在 AC上（与 A、C不重合），Q在 BC上.（1）当PQC的面积与四边形 PABQ 的面积相等时,求 CP的长.（2）当PQC的周长与四边形 PABQ 的周长相等时
20、,求 CP的长.（3）试问:在 AB上是否存在一点 M,使得PQM 为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出 PQ的长.10、如图,在ABC中,AB=AC,AD BC,DE AC,M为 DE的中点,AM与BE相交于N,AD与 BE相交于 F.求证:（1）DECE=ADCD；（2）BCE ADM；（3）AM与 BE互相垂直.11、如图,在矩形 ABCD中,AB=12，BC=6,点 P 沿 AB边从点 A开始向点 B以2/s 的速度移动；点 Q沿 DA边从点 D开始向点 A以 1/s 的速度移动.如果 P、Q同时出发,用 t（s）表示移动的时间（0t 6）,那么（1）当 t 为何
21、值时,QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形 QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当 t 为何值时,以点 Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似?A P Q B 第 8 题图 C A P Q B 第 8 题图 C M A D B F E N M C 第 10 题图 A Q P 第 11 题图 D C B 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 12、如图,已知点 E 是四边形 ABCD的对角线 BD上一点,且BAC
22、=BDC=DAE.（1）求证:BEAD=CD AE；（2）根据图形特点,猜想BCDE 可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论.13、如图,在 RtABC中,ACB=90,CDAB,M是 CD上的点,DHBM于 H,DH的延长线交 AC的延长线于 E.求证:（1）AED CBM；（2）AE CM=AC CD.14、如图,等腰三角形 ABC中,AB=AC,D为 CB延长线上一点,E 为 BC延长线上点,且满足 AB2=DB CE.（1）求证:ADB EAC；（2）若BAC=40，求DAE的度数.15、如图,P 为正方形 ABCD 的边 BC上的点,BP=3PC
23、,Q 是 CD中点,（1）求证:ADQQCP；（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论.A D C 第 12 题图 E B A B C E 第 13 题图 D M H K A B C E 第 14 题图 D A B P D Q 第 15 题图 C 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 16、如图,在ABC中,BAC=90 D为 BC的中点,AEAD,AE交 CB的延长线于点E.（1）求证:EAB ECA；（2）ABE和ADC
24、 是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件,ABE和ADC 一定相似.17、已知,如图,在ABC中,D 是 BC的中点,且 AD=AC,DE BC交 AB于点 E,EC与AD相交于点 F.（1）求证:ABC FCD；（2）若 SFCD=5,BC=10,求 DE的长.18、已知,梯形 ABCD 中,ADBC,ADBC,且 AD=5,AB=DC=2.（1）P为 AD上一点,满足BPC=A,求证:ABP DPC；（2）如果点 P在 AD边上 移动（P与点 A、D不重合），且满足BPE=A,PE交直线 BC于点 E,同时交直线 DC于点 Q,那么,当点 Q在线段 DC的延长
25、线上时,设 AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.19、已知,如图,等边三角形 ABC中,AB=2,点 P 是 AB边上的任意一点（点 P 与点A重合,但不与点 B重合），过点 P 作 PEBC于 E,过点 E作 EFAC于 F,过点 F作 FQ AB于点 Q,设 BP=x，AQ=y.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式：（2）当BP的长等于多少时,点 P与点 Q重合；（3）当线段 PE、FQ相交时,写出线段 PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围.A B D E 第16 题图 C A B D E 第 16 题图 C F B C D A P 第 18 题图 B
26、C D A P E Q A Q B E P F C 第 19 题图 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对名师总结 优秀知识点 20、如图,在ABC中,AC=BC,F为边 AB上的一点,BFAF=m n（m、n0），取CF的中点 D，连结 AD并延长交 BC于点 E。（1）求 BE EC的值；（2）若 BE=2EC，那么 CF所在的直线与边 AB有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）E 点能否成为 BC中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论。
27、21、如图,已知，在ABC中,BA=BC=20，AC=30,点 P从 A点出发,沿 AB以 4/s 的速度向点 B运动；同时点 Q从 C点出发,沿 CA以 3/s 的速度向 A点运动,设运动时间为 x，（1）当 x 为何值时,PQBC；（2）当 SBCQSABC=13 时,求 SBPQSABC的值；（3）APQ能否与CQB相似,若能,求出 AP的长,若不能,请说明理由.22、如图,ABC中,D 为 AC上一点,CD=2DA,BAC=45,BDC=60，CEBD于E,连结 AE.（1）写出图中所有相等的线段,并加以说明；（2）图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比.A F B C D E 第 20 题图 B P A C Q 第 21 题图 B E A C D 第 22 题图 被点黄金分割点叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比相似三角形一应角哪些边是对应边对应角有什么关系对应边呢由前面相似多边形的性夹角相等两个角对应相等三边对应成比例两个角和一边对应相等三边对