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1、word 第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmPnm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m n 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（
2、4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，
3、为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不
4、相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C word 分配率：(AB)C=(AC)(BC)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA （7）概率的公理化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（8）古典概型 1 n21,，2 nPPPn1)()()(2
5、1。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，)()()(LALAP。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P(B)=1
6、-P(B)（12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事
7、件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP word 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，2niiBA1，
8、则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，则 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试
9、验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。第二章 随机变量及其分布 word（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(
10、2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。（2）连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 0)(xf。2 1)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实
11、数，则函数)()(xXPxF 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x 内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5 )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q w
12、ord 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布 设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkX
13、PnNknMNkM 随机变量X服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 ,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当ax1x2b时，X落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP1221)(。0，xb。axb word 指数分布 其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 记住积
14、分公式：!0ndxexxn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt222)(21)(。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex，x，分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0
15、(N。1221)(xxxXxP。)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。word（6）分位数 下分位表：)(XP；上分位表：)(XP。（7）函数分布 离散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY 的分布列（)(iixgy 互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合
16、分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 ijp 这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1ijijp word 连续型 对于二维随机向量),(YX，如果存在非负
17、函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x 和y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，.（4）离散型与连续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijj
18、ii；Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型 X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY word（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP 连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp 有零不独立 连
19、续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 0 随机变量的函数 若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g 为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。word（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）
20、U（D）。例如图3.1、图3.2 和图3.3。y 1 D1 O 1 x 图3.1 y 1 O 2 x 图3.2 y d c O a b x 图3.3 （9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X N（).(),22,2211NY 但是若X N（)(),22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。D2 1 D3 wor
21、d（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型，fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222 Z=max,min(X1,X2,Xn)若nXXX21,相互独立，其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx 2分布 设n个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，
22、可以证明它们的平方和 niiXW12 的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量W 服从自由度为n的2分布，记为W)(2n，其中.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ word t 分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf).(t 我们称随机变量T服从自由度为n的t 分布，记为Tt(n)。)()(1ntnt F分布 设)(),
23、(2212nYnX，且X与Y独立，可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P(kxX)pk，k=1,2,n，nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，dxxxfXE)()(（要求绝对收敛）函数的期望 Y=g(
24、X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差 D(X)=EX-E(X)2，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2 word 矩 对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 k=E(Xk)=iikipx,k=1,2,.对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=iikipXEx)(，k=1,2,.对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 k=E(Xk)=,)(dxxfxk k=1,2,.对于正整数
25、k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=,)()(dxxfXExk k=1,2,.切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率)(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质 1）E(C)=C 2）E(CX)=CE(X)3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质 1）D(C
26、)=0；E(C)=C 2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b 4）D(X)=E(X2)-E2(X)5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和 期望 方差 0-1分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp word 方差 超几何分布),(NMnH NnM 11
27、NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n t 分布 0 2nn(n2)（5）二维随机变量的数字特征 期望 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2 dyyfYEyYDY)()()(2 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩
28、，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY 与记号XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为XX与YY。相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）0,D(Y)0，则称)()(YDXDXY 为X与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。|1，当|=1 时，称X与Y完全相关：1)(baYXP 完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa 而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX word 混
29、合矩 对于随机变量X与Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为kl；k+l阶混合中心矩记为：.)()(lkklYEYXEXEu（6）协方差的性质)cov(X,Y)=cov(Y,X);i)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);ii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);v)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关 若随机变量X与Y相互独立，则0XY；反之不真。）若（X，Y）N（,222121），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设
30、随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为.11lim1niinXnP 伯努利大数定律 设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1limpnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列
31、，且E（Xn）=，则对于任意的正数有.11lim1niinXnP word（2）中心极限定理),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX为具有参数n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有 xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22（3）二项定理 若当),(,不变时k
32、npNMN，则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当0,npn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本 我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是
33、n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。word 样本函数和统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称 （nxxx,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。常见统计量及其性质 样本均值 .11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112niixxnS 样本k阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1 样本k阶
34、中心矩 nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(/Nnxudef t 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(/ntnsxtdef 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。分布2 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1()1(222nSnwdef 其中)1(2n表示自由度为n-1的2分布。word F分布
35、设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(/2122222121 nnFSSFdef 其中,)(11211211niixxnS ;)(11212222niiyynS)1,1(21 nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的F分布。（3）正态总体下分布的性质 X与2S独立。第七章 参数估计（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数m,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF它的k阶原点矩),2,1)(mkXEvkk中也包含了未知参数m,21，即),(21mkkvv。又设nxxx,21为总
36、体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 nikixn11).,2,1(mk 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由上面的m个方程中，解出的m个未知参数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)(g为)(g的矩估计。word 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(21mxf，其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122nimimxfL 为样本的
37、似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为),;(21mxpxXP，则称),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，则称m,21分别为m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,2,1,0ln 若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)(g为)(g的极大似然估计。（2）估计量的评选标准 无偏性 设),(21nxxx为未知参数的估计量。若E（）=，则称 为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性 设),(2111nxxx和),(21
38、22nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。一致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且),(0)(nD则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,121P 那么称区间,21为的置信区间，1为该
39、区间的置信度（或置信水平）。word 单正态总体的期望和方差的区间估计 设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间,21。已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间 nxnx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(/ntnSxt (ii)查表找分位数 .1/nSxP（iii）导出置信区间 nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1()1(222nSnw（ii）查
40、表找分位数 .1)1(2221SnP （iii）导出的置信区间 SnSn121,1 第八章 假设检验 word 基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件RK，其概率就是检验水平，通常我们取=0.05，有时也取0.01 或0.10。基本步骤 假设检验的
41、基本步骤如下：)提出零假设H0；i)选择统计量K；ii)对于检验水平查表找分位数；v)由样本值nxxx,21计算统计量之值K；将与K进行比较，作出判断：当)(|KK或时否定H0，否则认为H0相容。两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P否定H0|H0为真=；此处的恰好为检验水平。第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H
42、0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P接受H0|H1为真=。两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把取得大些。word 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2 00:H nxU/00 N（0，1）21|uu 00:H 1uu 00:H 1uu 未知2 00:H nSxT/0)1(nt)1(|21ntt 00:H)1(1ntt 00:H)1(1ntt 未知2 220:H 202)1(Snw)1(2n)1()1(22122nwnw或 2020:H)1(21nw 2020:H)1(2nw