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1、学习必备 欢迎下载 中学函数知识总结 一次函数 一、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系：y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。即：y=kx（k 为常数，k0）二、一次函数的性质：1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即：y=kx+b（k 为任意不为零的实数 b 取任何实数）2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：1作法与图形：通过如下 3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2点，并连成直线即
2、可。（通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点）2性质：（1）在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3k，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限；当 b=0 时，直线通过原点 当 b0 时，直线必通过三、四象限。特别地，当 b=O 时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0 时，直线只通过一
3、、三象限；当 k0 时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点 A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为 y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。（4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用：1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设
4、水池中原有水量 S。g=S-ft。六、常用公式：（不全，希望有人补充）1.求函数图像的 k 值：（y1-y2)/(x1-x2)学习必备 欢迎下载 2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1+x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1+y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，y=a(x-h)2 的图象可由抛物线 y=ax2
5、向右平行移动 h 个单位得到，当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0,k0 时，开口向上，当 a0，当 x -b/2a时，y 随 x 的增大而减小；当 x -b/2a时，y 随 x 的增大而增大若 a0，图象与 x 轴交于两点 A(x1，0)和 B(x2，0)
6、，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离 AB=|x1-x2|当=0图象与 x 轴只有一个交点；当0 时，图象落在 x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y0；当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，x 为任何实数时，都有 y0(a0)，则当 x=-b/2a时，y 最小(大)值=(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0)(2)当题给条件为已知图象的顶点
7、坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)(3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：的实数取任何实数当时为函数在轴上的截距三一次函数的图像及性质作质在一次函数上的任意一点都满足等式一次函数与轴交点的坐标总是与过一二象限当时直线通过原点当时直线必通过三四象限特别地当时直线学习必备 欢迎下载 y=a(x-x1)(x-x2)(a0)7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 反比例函数 形如 ykx(k 为常数且 k0)的函数，叫做反比例函数。自变量
8、 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。如图，上面给出了 k 分别为正和负（2 和-2）时的函数图像。当 K0 时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数 当 K0 时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。知识点：1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围
9、成的矩形的面积为|k|。2.对于双曲线 ykx，若在分母上加减任意一个实数(即 yk（x m）m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）对数函数 对数函数的一般形式为 y=logax，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a 的规定，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。（1）对数函数的定义域为大于 0 的实数*。（2）对数函数的值域为全部实数*。（3）函数总是通过（1，0）这点。（4）a 大于 1 时，为
10、单调递增函数，并且上凸；a 小于 1 大于 0 时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。指数函数 指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数*为定义域，则只有使得 如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。可以看到：的实数取任何实数当时为函数在轴上的截距三一次函数的图像及性质作质在一次函数上的任意一点都满足等式一次函数与轴交点的坐标总是与过一二象限当时直线通过原点当时直线必通过三四象限特别地当时直线学习必备 欢迎下载（1）指数函数的定义域为所有实数的*，这里的前提是 a 大于 0，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的
11、定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。（2）指数函数的值域为大于 0 的实数*。（3）函数图形都是下凹的。（4）a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5）可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点。（8）显然指数函数无界。奇偶性 注图
12、：（1）为奇函数（2）为偶函数 1定义 一般地，对于函数 f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个 x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个 x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：奇、偶
13、性是函数的整体性质，对整个定义域而言 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 f(x)比较得出结论）判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2奇偶函数图像的特征：定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于 y 轴或轴对称图形。f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上
14、单调递减。3.奇偶函数运算(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.的实数取任何实数当时为函数在轴上的截距三一次函数的图像及性质作质在一次函数上的任意一点都满足等式一次函数与轴交点的坐标总是与过一二象限当时直线通过原点当时直线必通过三四象限特别地当时直线学习必备 欢迎下载(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.定义域（高中函数定义）设 A,B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f,使对于*A
15、中的任意一个数 x，在*B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A-B为*A 到*B 的一个函数，记作 y=f(x),x 属于*A。其中，x 叫作自变量，x 的取值范围 A 叫作函数的定义域；值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的*常用的求值域的方法（1）化归法；（2）图象法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时
16、数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。注：“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的*（即*中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的*（即*中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。的实数取任何实数当时为函数在轴上的截距三一次函数的图像及性质作质在一次函数上的任意一点都满足等式一次函数与轴交点的坐标总是与过一二象限当时直线通过原点当时直线必通过三四象限特别地当时直线