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1、 数学难题 一填空题（共2 小题）1如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=，BC=第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD 交于点O1；O1D 的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点 B 与点 D1重合，折痕与 BD 交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D2重合，折痕与 BD 交于点 O3，按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On，则 BO1=_，BOn=_ 2如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A（3，0），B（0，1），形状相同的抛物线 Cn（n=1，2，3，4，）的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标
2、依次为 2，3，5，8，13，根据上述规律，抛物线 C2的顶点坐标为 _；抛物线 C8的顶点坐标为 _ 二解答题（共 28 小题）3已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+2k=0（k 1）（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当 k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数 4已知：关于 x 的方程 kx2+（2k3）x+k3=0（1）求证：方程总有实数根；（2）当 k 取哪些整数时，关于 x 的方程 kx2+（2k3）x+k3=0 的两个实数根均为负整数？5在平面直角坐标系中，将直线 l：沿 x 轴翻折，得到一条新直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将抛物线 C1：沿 x
3、轴平移，得到一条新抛物线 C2与 y 轴交于点 D，与直线 AB 交于点 E、点 F（1）求直线 AB 的解析式；（2）若线段 DFx 轴，求抛物线 C2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点 F 在 y 轴右侧，过 F 作 FHx 轴于点 G，与直线 l 交于点 H，一条直线 m（m 不过AFH的顶点）与 AF 交于点 M，与 FH 交于点 N，如果直线 m 既平分AFH 的面积，又平分AFH 的周长，求直线 m的解析式 6已知：关于 x 的一元二次方程x2+（m+4）x4m=0，其中 0m4（1）求此方程的两个实数根（用含 m 的代数式表示）；（2）设抛物线 y=x2+（m+4）x4m 与
4、 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），若点 D 的坐标为（0，2），且AD BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点 E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有 y1、y2、y3，且与 a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由 7点 P 为抛物线 y=x22mx+m2（m 为常数，m0）上任一点，将抛物线绕顶点 G 逆时针旋转 90 后得到的新图象与 y 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的上方），点 Q 为点 P 旋转后的对应点（1）当 m=2，点 P 横坐标为 4 时，求 Q 点的坐标；（2）设点
5、 Q（a，b），用含 m、b 的代数式表示 a；（3）如图，点 Q 在第一象限内，点 D 在 x 轴的正半轴上，点 C 为 OD 的中点，QO 平分AQC，AQ=2QC，当 QD=m时，求 m 的值 8关于 x 的一元二次方程 x24x+c=0 有实数根，且 c 为正整数（1）求 c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x24x+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C点 P 为对称轴上一点，且四边形 OBPC 为直角梯形，求 PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点 D 的坐标为（m，n），当抛
6、物线与（2）中的直角梯形 OBPC只有两个交点，且一个交点在 PC 边上时，直接写出 m 的取值范围 9如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FD2=FB FC 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 10如图，AD 是ABC 的角平分线，EF 是 AD 的垂直平分线 求证：（1）EAD=EDA
7、（2）DFAC（3）EAC=B 11已知：关于 x 的一元二次方程（m1）x2+（m2）x1=0（m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y=（m1）x2+（m2）x1 总过 x 轴上的一个固定点；（3）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+（m2）x1=0 有两个不相等的整数根，把抛物线 y=（m1）x2+（m2）x1 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式 12已知ABC，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD，其中 AC=AD （1）如图 1，若DAC=2ABC，AC=BC，四边形 ABCD 是平行四边
8、形，则ABC=_；（2）如图 2，若ABC=30 ，ACD 是等边三角形，AB=3，BC=4求 BD 的长；（3）如图 3，若ACD 为锐角，作 AHBC 于 H当 BD2=4AH2+BC2时，DAC=2ABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论 13已知关于 x 的方程 mx2+（32m）x+（m3）=0，其中 m0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，其中 x1x2，若，求 y 与 m 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式 y m 成立的 m 的取值范围 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标
9、系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 14已知：关于 x 的一元二次方程 x2+（n2m）x+m2mn=0 （1）求证：方程 有两个实数根；（2）若 mn1=0，求证：方程 有一个实数根为 1；（3）在（2）的条件下，设方程 的另一个根为 a当 x=2 时，关于 m 的函数 y1=nx+am 与 y2=x2+a（n2m）x+m2mn 的图象交于点 A、B（点 A
10、 在点 B 的左侧），平行于 y 轴的直线 L 与 y1、y2的图象分别交于点 C、D当 L 沿AB 由点 A 平移到点 B 时，求线段 CD 的最大值 15如图，已知抛物线 y=（3m）x2+2（m3）x+4mm2的顶点 A 在双曲线 y=上，直线 y=mx+b 经过点 A，与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C（1）确定直线 AB 的解析式；（2）将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，求 sinBDE 的值；（3）过点 B 作 x 轴的平行线与双曲线交于点 G，点 M 在直线 BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为 6设点 N 在直线 BG
11、 上，请直接写出使得AMB+ANB=45 的点 N 的坐标 16如图，AB 为O 的直径，AB=4，点 C 在O 上，CFOC，且 CF=BF 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 （1）证明 BF 是O 的切线；（2）设 AC 与 BF 的延长线交于点 M，若 MC=6，求MCF 的大小 17如图 1，已知等边ABC 的边长为
12、 1，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的点（均不与点 A、B、C 重合），记DEF 的周长为 p（1）若 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的中点，则 p=_；（2）若 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上任意点，则 p 的取值范围是 _ 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC 以 AC 边为轴翻折一次得AB1C，再将AB1C 以 B1C 为轴翻折一次得A1B1C，如图 2 所示则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得 p DD2老师听了后说：“你的想法很好，但 DD2的长度会因点 D 的位置变化
13、而变化，所以还得不出我们想要的结果”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折 3 次就可以了”请参考他们的想法，写出你的答案 18已知关于 x 的方程 x2（m3）x+m4=0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于 4 且小于 8，求 m 的取值范围；（3）设抛物线 y=x2（m3）x+m4 与 y 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 y=x 的对称点恰好是点 M，求 m 的值 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些
14、整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 19在 RtABC 中，ACB=90，tanBAC=点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连接 BD，F 为 BD 中点（1）若过点 D 作 DEAB 于 E，连接 CF、EF、CE，如图 1 设 CF=kEF，则 k=_；（2）若将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示求证：BEDE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中
15、点，求线段 CF 长度的最大值 20我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点例如：如图 1，平行四边形 ABCD 中，可证点 A、C 到 BD 的距离相等，所以点 A、C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点，同理可知点 B、D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点（1）如图 2，已知平行四边形 ABCD，请你在图 2 中画出一个只有一对等高点的四边形 ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点（不与 B、D 点重合），请分别探究图 3、图 4 中 S1，S2，S3，S
16、4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示ABP，CBP，CDP，ADP 的面积）：如图 3，当四边形 ABCD 只有一对等高点 A、C 时，你得到的一个结论是 _；如图 4，当四边形 ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是 _ 21已知：关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数，二次函数 y=ax2bx+kc（c 0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1（1）若方程 的根为正整数，求整数 k 的值；（2）求代数式的值；（3）求证：关于 x 的一元二次方程 ax2bx+c=0 必有两个不相等的实数根 22已知抛物线经过点 A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与
17、 x 轴正半轴交于点 D（1）求此抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）在 x 轴上求一点 E，使得BCE 是以 BC 为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段 ED 上动点 P 作直线 PFBC，与 BE、CE 分别交于点 F、G，将EFG 沿 FG 翻折得到E FG设 P（x，0），E FG 与四边形 FGCB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于
18、的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 23已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（0，3），（3，0），（2，5）求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与 x 轴交于点 C，D（点 C 在点 D 的左侧），且点 A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点 B，使ACB 是等腰三角形，求出点 B 的坐标 24根据所给的图形解答下列问题：（1）如图 1，ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，ADBC 于 D，把ABD 绕点 A 旋转，并拼接成一个与
19、ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图 2，ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图 3 中的矩形 ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形 ABCD 的面积的结论 25例如图，平面直角坐标系 xOy 中有点 B（2，3）和 C（5，4），求OBC 的面积 解：过点 B 作 BDx 轴于 D，过点 C 作 CEx 轴于 E依题意，可得 SOBC=S梯形BDEC+SOB
20、DSOCE=（3+4）（52）+2 3 5 4=3.5 OBC 的面积为 3.5（1）如图，若 B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C 三点不在同一条直线上仿照例题的解法，求OBC 的面积（用含 x1、x2、y1、y2的代数式表示）；（2）如图，若三个点的坐标分别为 A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形 OABC 的面积 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直
21、线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 26阅读：按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像 如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换 问题 1：我们学习过的平移、_、_ 变换都是正交变换 如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转 n （0n 360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的 n 度旋转变换特别地，具有 180 旋转变换的图形称为中心对称图形 例如，图 A 中奔驰车标示意图具有
22、120，240，360 的旋转变换 图 B 的几何图形具有 180 的旋转变换，所以它是中心对称图形 问题 2：图 C 和图 D 中的两个几何图形具有 n 度旋转变换，请分别写出 n 的最小值 答：（图 C）_；答：（图 D）_ 问题 3：如果将图 C 和图 D 的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有 n 度旋转变换，则 n 的最小值为 _ 问题 4：请你在图 E 中画出一个具有 180 旋转变换的正多边形（要求以 O 为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）27 已知：点 P 为线段 AB 上的动点（与 A、B 两点不重合）在同一平面内，把线段 AP、BP 分别折成CDP、EFP，其中C
23、DP=EFP=90，且 D、P、F 三点共线，如图所示（1）若CDP、EFP 均为等腰三角形，且 DF=2，求 AB 的长；（2）若 AB=12，tanC=，且以 C、D、P 为顶点的三角形和以 E、F、P 为顶点的三角形相似，求四边形 CDFE的面积的最小值 28在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=x+交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 A等腰直角三角板 OBD 的顶点 D 与点 C 重合，如图 A 所示把三角板绕着点 O 顺时针旋转，旋转角度为 （0 180），使 B 点恰好落在 AC 上的 B处，如图 B 所示（1）求图 A 中的点 B 的坐标；（2）求 的值；（3）若二次函数
24、y=mx2+3x 的图象经过（1）中的点 B，判断点 B 是否在这条抛物线上，并说明理由 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 29已知：如图，AC 是O 的直径，AB 是弦，MN 是过点 A 的直线，AB 等于半径长（1）若BAC=2BAN，求证：MN 是O 的切线（2）在（1）成立的条件下，当点 E 是的中点时，在 AN 上
25、截取 AD=AB，连接 BD、BE、DE，求证：BED是等边三角形 30 在一个夹角为 120 的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于 B、C 两点 如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够（1）写出此图中相等的线段（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法（写出主要解题过程）的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段
26、轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 2012 年初中难题数学组卷 参考答案与试题解析 一填空题（共 2 小题）1如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=，BC=第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD 交于点O1；O1D 的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点 B 与点 D1重合，折痕与 BD 交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D2重合，折痕与 BD 交于点 O3，按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On，则 BO1=2，BOn=考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。专题：规律型。分析：（1）结合图形和已知条件，可以推
27、出 BD 的长度，根据轴对称的性质，即可得出 O1点为 BD 的中点，很容易就可推出 O1B=2；（2）依据第二次将纸片折叠使点 B 与点 D1重合，折痕与 BD 交于点 O2，O1D 的中点为 D1，可以推出O2D1=BO2=；以此类推，即可推出：BOn=解答：解：矩形纸片 ABCD 中，BD=4，（1）当 n=1 时，第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD 交于点 O1，O1D=O1B=2，BO1=2=；（2）当 n=2 时，第二次将纸片折叠使点 B 与点 D1重合，折痕与 BD 交于点 O2，O1D 的中点为 D1，O2D1=BO2=，设 O2D1的中点为 D2，第三次
28、将纸片折叠使点 B 与点 D2重合，折痕与 BD 交于点 O3，的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 O3D2=O3B=，以此类推，当 n 次折叠后，BOn=点评：本题考查图形的翻折变换，解直角三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质推出结论 2如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A（
29、3，0），B（0，1），形状相同的抛物线 Cn（n=1，2，3，4，）的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2，3，5，8，13，根据上述规律，抛物线 C2的顶点坐标为（3，2）；抛物线 C8的顶点坐标为（55，）考点：二次函数的性质。专题：规律型。分析：根据 A（3，0），B（0，1）的坐标求直线 AB 的解析式为 y=x+1，因为顶点 C2的在直线 AB 上，C2坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为 55，代入直线 AB 的解析式 y=x+1 中，可求纵坐标 解答：解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b 则 解得 k=，b=1 直线 AB 的解析
30、式为 y=x+1 抛物线 C2的顶点坐标的横坐标为 3，且顶点在直线 AB 上 抛物线 C2的顶点坐标为（3，2）对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2，3，5，8，13，每个数都是前两个数的和 抛物线 C8的顶点坐标的横坐标为 55 抛物线 C8的顶点坐标为（55，）点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力 二解答题（共 28 小题）3已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+2k=0（k 1）（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当 k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的
31、抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法。专题：计算题；证明题。分析：（1）先由 k 0，确定此方程为一元二次方程要证明方程总有两个实数根，只有证明 0，通过代数式变形即可证明；（2）先利用求根公式求出两根，x1=1，只要 2 被 k 整除，并且有 k 1 的整数，即可得到 k的值 解答：证明：（1）k 1，k 0，此方程为一元二次方程，
32、=44k（2k）=48k+4k2=4（k1）2，而 4（k1）2 0，0，方程恒有两个实数根（2）解：方程的根为，k 1，x1=1，k 1，若 k 为整数，当 k=1 或 k=2 时，方程的两个实数根均为整数 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根同时考查了解方程的方法和整数的整除性质 4已知：关于 x 的方程 kx2+（2k3）x+k3=0（1）求证：方程总有实数根；（2）当 k 取哪些整数时，关于 x 的方程 kx2+（2k3）x+k3=0 的
33、两个实数根均为负整数？考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法。专题：证明题；分类讨论。分析：（1）分两种情况讨论，当 k=0 时为一元一次方程，方程有一个实数根；当 k 0 时，利用根的判别式计算出0，得到方程总有实数根；（2）先判断出方程为一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的两个根，再根据方程两根均为负数得出k 的取值范围，从而求出 k 的值 解答：解：（1）分类讨论：若 k=0，则此方程为一元一次方程，即3x3=0，x=1 有根，（1 分）若 k 0，则此方程为一元二次方程，=（2k3）24k（k3）=90，（2 分）方程有两个不相等的实数根，（3 分）综上所述，方程总有实数根（2）
34、方程有两个实数根，方程为一元二次方程 利用求根公式，（4 分）的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 得；x2=1，（5 分）方程有两个负整数根，是负整数，即 k 是 3 的约数 k=1，3 但 k=1、3 时根不是负整数，k=1、3（7 分）点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要明确：（1）0方程有两个不相等的实数根；（
35、2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根；同时要加以灵活运用 5在平面直角坐标系中，将直线 l：沿 x 轴翻折，得到一条新直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将抛物线 C1：沿 x 轴平移，得到一条新抛物线 C2与 y 轴交于点 D，与直线 AB 交于点 E、点 F（1）求直线 AB 的解析式；（2）若线段 DFx 轴，求抛物线 C2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点 F 在 y 轴右侧，过 F 作 FHx 轴于点 G，与直线 l 交于点 H，一条直线 m（m 不过AFH的顶点）与 AF 交于点 M，与 FH 交于点 N，如果直线 m 既平分AFH 的面积，又平分
36、AFH 的周长，求直线 m的解析式 考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。专题：综合题。分析：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将直线与 x 轴、y 轴交点求出，沿 x 轴翻折，则直线、直线 AB 交同一 A 点，与 y 轴的交点（0，）与点 B 关于 x 轴对称，求出 K 和 b；（2）设平移后的抛物线 C2的顶点为 P（h，0），则抛物线 C2解析式为：，求出 D 点坐标，由 DFx 轴，又点 F 在直线 AB 上，解得 h 的值，就能抛物线 C2的解析式；（3）过 M 作 MTFH 于 T，可证三角形相似，得 FT：TM：FM
37、=FG：GA：FA，设 FT=3k，TM=4k，FM=5k，求得 FN，又由，求得 k，故能求得直线 m 的解析式 解答：解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将直线与 x 轴、y 轴交点分别为（2，0），（0，），的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 沿 x 轴翻折，则直线、直线 AB 与 x 轴交于同一点（2，0
38、），A（2，0），与 y 轴的交点（0，）与点 B 关于 x 轴对称，B（0，），解得，直线 AB 的解析式为；（2）设平移后的抛物线 C2的顶点为 P（h，0），则抛物线 C2解析式为：=，D（0，），DFx 轴，点 F（2h，），又点 F 在直线 AB 上，解得 h1=3，抛物线 C2的解析式为或；（3）过 M 作 MTFH 于 T，MP 交 FH 于 N 的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与
39、直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 RtMTFRtAGF FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设 FT=3k，TM=4k，FM=5k 则 FN=FM=165k，=48，又 解得或 k=2（舍去）FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=M（，）、N（6，4）直线 MN 的解析式为：点评：本题二次函数的综合题，涉及的知识有求直线的解析式和抛物线关系式，三角形相似等 6已知：关于 x 的一元二次方程x2+（m+4）x4m=0，其中 0m4（1）求此方程的两个实数根（用含 m 的代数式表示）；（2）设抛物线 y=x2+（m+4）x4m 与 x 轴交于
40、A、B 两点（A 在 B 的左侧），若点 D 的坐标为（0，2），且AD BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点 E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有 y1、y2、y3，且与 a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由 考点：二次函数综合题。专题：开放型。分析：（1）在 0 的前提下，用求根公式进行计算即可（2）根据（1）的结果可得出 A、B 的坐标，然后求出 AD、BD 的长，代入 AD DB=10 中，即可求得 m的值，也就得出了抛物线的解析式（2）分别将 E、F、G 的坐标代入抛物线的解析式中，可得出含 a
41、 的 y1、y2、y3的表达式，进而判断出 y1、的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 y2、y3的等量关系 解答：解：（1）将原方程整理，得 x2（m+4）x+4m=0，=b24ac=（m+4）24（4m）=m28m+16=（m4）20；x=m 或 x=4；（2 分）（2）由（1）知，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的交
42、点分别为（m，0）、（4，0），A 在 B 的左侧，0m4，A（m，0），B（4，0）则 AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4，BD2=OB2+OD2=42+22=20；AD BD=10，AD2 BD2=100；20（m2+4）=100；（3 分）解得 m=1；（4 分）0m4，m=1 b=m+1=5，c=4m=4；抛物线的解析式为 y=x2+5x4；（5 分）（3）答：存在含有 y1、y2、y3，且与 a 无关的等式，如：y3=3（y1y2）4（答案不唯一）；（6 分）证明：由题意可得 y1=a2+5a4，y2=4a2+10a4，y3=9a2+15a4；左边=y3=9a2+15a4；
43、右边=3（y1y2）4=3（a2+5a4）（4a2+10a4）4=9a2+15a4；左边=右边；y3=3（y1y2）4 成立（7 分）点评：此题主要考查了一元二次方程的解法、二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数解析式的确定等知识 7点 P 为抛物线 y=x22mx+m2（m 为常数，m0）上任一点，将抛物线绕顶点 G 逆时针旋转 90 后得到的新图象与 y 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的上方），点 Q 为点 P 旋转后的对应点（1）当 m=2，点 P 横坐标为 4 时，求 Q 点的坐标；（2）设点 Q（a，b），用含 m、b 的代数式表示 a；（3）如图，点 Q 在第一象限内，点
44、D 在 x 轴的正半轴上，点 C 为 OD 的中点，QO 平分AQC，AQ=2QC，当 QD=m时，求 m 的值 考点：二次函数综合题。的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 专题：综合题。分析：（1）首先根据 m 的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得 P、G 的坐标，过 P 作 PEx 轴于 E，过 Q作 QFx 轴于 F，根
45、据旋转的性质知：GQFPGE，则 QF=GE、PE=GF，可据此求得点 Q 的坐标（2）已知了 Q 点坐标，即可得到 QF、FG 的长，仿照（1）的方法可求出点 P 的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得 a、b、m 的关系式（3）延长 QC 到 E，使得 QC=CE，那么 AQ=QE；由于 OD、QE 互相平分，即四边形 OEDQ 是平行四边形（或证QCDECO），那么 QD=OE=m，而 AQ=QE，且 QO 平分AQC，易证得AQOEQO，则 OA=OE=m，即 A 点坐标为（0，m），然后将点 A 的坐标代入（2）的关系式中，即可求得 m 的值 解答：解：（1）当 m=2 时，y=
46、（x2）2，则 G（2，0），点 P 的横坐标为 4，且 P 在抛物线上，将 x=4 代入抛物线解析式得：y=（42）2=4，P（4，4），（1 分）如图，连接 QG、PG，过点 Q 作 QFx 轴于 F，过点 P 作 PEx 轴于 E，依题意，可得GQFPGE；则 FQ=EG=2，FG=EP=4，FO=2 Q（2，2）（2 分）（2）已知 Q（a，b），则 GE=QF=b，FG=ma；由（1）知：PE=FG=ma，GE=QF=a，即 P（m+b，ma），代入原抛物线的解析式中，得：ma=（m+b）22m（m+b）+m2 ma=m2+b2+2mb2m22mb+m2 a=mb2，故用含 m，b
47、的代数式表示 a：a=mb2（4 分）（3）如图，延长 QC 到点 E，使 CE=CQ，连接 OE；C 为 OD 中点，OC=CD，ECO=QCD，ECOQCD，OE=DQ=m；（5 分）AQ=2QC，AQ=QE，QO 平分AQC，1=2，AQOEQO，（6 分）AO=EO=m，的折痕与交于点则如图在平面直角坐标系中形状相同的抛物线的顶点在直线上其对称轴与轴的交点的横坐标依次为根实数根当取哪些整数时方程的两个实数根均为整数已知关于的方程求证方程总有实数根当取哪些整数时关于的方程的平移得到一条新抛物线与轴交于点与直线交于点点求直线的解析式若线段轴求抛物线的解析式在的条件下若点在轴右 A（0，m）
48、，（7 分）A（0，m）在新的函数图象上，0=mm2 m1=1，m2=0（舍），m=1（8 分）点评：此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大 8关于 x 的一元二次方程 x24x+c=0 有实数根，且 c 为正整数（1）求 c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x24x+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C点 P 为对称轴上一点，且四边形 OBPC 为直角梯形，求 PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点 D 的坐标为（m，n），当抛物线
49、与（2）中的直角梯形 OBPC只有两个交点，且一个交点在 PC 边上时，直接写出 m 的取值范围 考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）若关于 x 的一元二次方程有实数根，那么根的判别式必大于等于 0，可据此求出 c 的取值范围，由于c 为正整数，即可求出符合条件的 c 值（2）首先根据方程有两个整数根以及抛物线与 x 轴有两个不同的交点，确定 c 的值，从而得到抛物线的解析式和对称轴方程；由于四边形 OBPC 是直角梯形，且 CPOB，P 在抛物线的对称轴上，那么 PC 的长正好与抛物线对称轴的值相同，由此得解（3）首先将（2）所得抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到此时顶点 D
50、 的坐标；抛物线向左平移，可先设出平移后抛物线的解析式；当点 P 位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，可将点 P 坐标代入抛物线的解析式中，即可求得平移的距离；当点 O 位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，将点 O 的坐标代入抛物线的解析式中，同样能求出此时平移的距离；根据上面两种情况所得的 m 值，即可得到 m 的取值范围 抛物线向右平移，方法同 解答：解：（1）关于 x 的一元二次方程 x24x+c=0 有实数根，=164c 0，c 4（1 分）又c 为正整数，c=1，2，3，4（2 分）（2）方程两根均为整数，c=3，4；（3 分）又抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，c=3；抛物线的解