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1、word 执信中学 2012届高三模拟考试 数学（理科）一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 1已知集合3555Mx|x,Nx|x,x,或则MN（）A53x|xx ，或 B55x|x C35x|x D35x|xx，或 2复数31()ii等于（）A8i B8i C8 D8 3与直线 l1：012ymmx垂直于点 P（2，1）的直线 l2的方程为（）A01 yx B03 yx C01 yx D03 yx 4函数xxayx(01)a 的图象的大致形状是（）5个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A12 B15 C24 D36 6有七名同学站成一排照毕业纪念照
2、，其中甲必须站在正中间，并且 乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A240 种 B192 种 C96 种 D48 种 7下列四个判断：某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n，某次测试数学平均分分别是,a b，则这两 个班的数学平均分为2ab；10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有bac；从总体中抽取的样本11221111(,),(,),(,),nnnniiiix yxyxyxx yynn若记，则回归直线y=bxa必过点（,x y）已知服从正态分布(0N,2)，且(20)0.4P
3、，则(2)0.2P 其中正确的个数有：（）word A3个 B 2 个 C1 个 D0个 8设实数yx,满足：0201053xyxyx，则yxz42 的最小值是（）A41 B21 C1 D8 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答 9不等式|3|3|3xx 的解集是 103121()xx的展开式中常数项是_.(用数字作答）11公差不为零的等差数列na的前n项和为nS，若4a是3a与7a的等比中项，832S，则10S等于_.12已知向量(,1)ax与(4,)bx，且a与b的
4、夹角为，则x .13由 5 个元素构成的集合4,3,1,0,1M，记M的所有非空子集为1M，2M，31M，每一个(1,2,31)iM i 中所有元素的积为im，则1231mmm .（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能从中选做一题 14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2与cossin0（0 ）的交点的极坐标为 15（几何证明选讲选做题）如图，AB 的延长线上任取一 点 C，过 C 作圆的切线 CD，切点为 D，ACD的平分线 交 AD 于 E,则CED 三、解答题：16(本题满分 12 分)已知函数2()2 3sincos2sin333xxxf x.（）求函数()f x
5、的值域；（）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若()1f C，且2bac，求sin A的值.17(本题满分 12 分)李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有1L、2L两条路线（如图），1L路线上有1A、2A、3A三个路口，各路口遇到红 灯的概率均为12；2L路线上有1B、2B两个路口，各 路口遇到红灯的概率依次为34，35.（）若走1L路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数
6、为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word（）若走2L路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.2AB，18（本题满分 14 分）如图（1），矩形ABCD中，已知2 2AD,MN分别为AD和BC的中点，对 角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60，如图（2）（）求证：BODO；（）求AO与平面BOD所成角的正弦
7、值.19（本题满分 14 分）已知正数数列na的前n项和为nS，满足233312nnSaaa ；（I）求证：数列na为等差数列，并求出通项公式；（II）设211(1)(1)nnnbaaa，若1nnbb对任意*nN恒成立，求实数a的取值范围。20（本题满分 14 分）如图，已知1F、2F分别为椭圆22122:1(0)yxCabab 的 上、下焦点，其中1F也是抛物线22:4Cxy的焦点，点 M 是1C与2C在第二象限的交点，且153MF （I）求椭圆1C的方程；（II）已知点(1,3)P和圆222:O xyb，过点 P 的动直线l与圆 O 相交于不同的两点 A，B，在线段 AB 上取一点 Q，满
8、足：APPB，AQQB（0且1），求证：点 Q 总在某条定直线上。21（本题满分 14 分）已知函数()ln(1)f xxmx，当0 x 时，函数()f x取得极大值.（）求实数m的值；（）已知结论：若函数()ln(1)f xxmx 在区间(,)a b内导数都存在，且1a，则存在 0(,)xa b，使得0()()()f bf afxba。试用这个结论证明：若121xx，函数 121112()()()()()f xf xg xxxf xxx，则对任意12(,)xx x，都有()()f xg x；O x y F1 F2 M 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站
9、法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word（）已知正数12,nL，满足121n L，求证：当2n，nN时，对任意大于1，且互不相等的实数12,nx xxL，都有1 12 2()n nf xxx L1122()()()nnf xf xf xL.成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样
10、本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word 参考答案 一、选择题：ABDDCBCB 二、填空题：9、3|2x x；10、220；11、60；12、2；13、1 14、32,4；15、45 16、解：（1）22()3sincos133xxf x 22sin()136x 3 分 xR，21sin()136x 4 分 232sin()1136x 5 分 函数()f x的值域为 3,1 6 分（2）2()2sin()1136Cf C，7 分 2sin()136C，而(0,)C，2C.8 分
11、在Rt ABC中，2bac，222cab，9 分 22caac，得2()10aacc 10 分 解得152ac 11 分 0sin1A，51sin2aAc.12 分 17、解：（）设“走1L路线最多遇到 1 次红灯”为事件A，1 分 则 0312331111()=()()2222P ACC，3 分 所以走1L路线，最多遇到 1 次红灯的概率为12.4 分（）依题意，X的可能取值为 0，1，2.5 分 331(=0)=(1)(1)4510P X，33339(=1)=(1)(1)454520P X ，339(=2)=4520P X.8 分 随机变量X的分布列为：X 0 1 2 P 110 920
12、920 所以1992701210202020EX .10 分 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word A B D C M N O P Q（）设选择1L路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，1(3,)2YB，所以13322EY .因为EXEY，所以选择2L路线上班最好.12 分 18、解：（1）由题设，M，N 是矩形
13、的边 AD 和 BC 的中点，所以 AMMN,BCMN,折叠垂直关系不变，所以AMD 是平面A B N与平面MNCD的平面角，依题意，所以AMD=60o，分 由 AM=DM，可知MAD 是正三角形，所以 AD=2，在矩形 ABCD 中，AB=2,AD=2 2,所以，BD=6，由题 可 知BO=OD=3，由 勾 股 定 理 可 知 三 角 形BOD是 直 角 三 角 形，所 以BO DO 5 分 解（）设 E，F 是 BD，CD 的中点，则 EFCD,OFCD,所以，CD面 OEF,OECD 又 BO=OD，所以OEBD,OE面 ABCD,OE面BOD,平面 BOD平面 ABCD 过 A作 AH
14、 BD，由面面垂直的性质定理,可得 AH 平面 BOD，连结 OH，8 分 所以 OH是 AO在平面 BOD 的投影，所以AOH 为所求的角,即 AO 与平面 BOD 所成角。11 分 AH 是 RTABD斜边上的高，所以 AH=2 33，BO=OD=3，所以 sinAOH=23（14 分）方法二：空间向量：取 MD，NC 中点 P，Q，如图建系，Q（0，0，0），B（62，0，0），D（0，22，2），O（0，22，1）所以BO（62，22，1），DO（0，2，1)所以BO DO 0，即 BODO（5 分）（2）设平面 BOD 的法向量是(,)nx y z，可得62x22y+z=0 2yz=
15、0，令2y 可得6,2xz 所以(6,2,2)n 又AO（62，22，1)，设 AO 与平面 BOD 所成角为 sincos,AO n=23（14 分）19.（本题满分 14 分）解：（I）由332312nnaaaS，得31323121nnaaaS，A B D C M N O H 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word 两
16、式相减得)()(1112123nnnnnnnnnnSSaSSSSSSa，因为0na，所以)2(12nSSannn 3 分 所以)3(2121nSSannn，两式相减得12212nnnnnnaaSSaa，所以)3(11naann.又312121aaS，且 a10，所以 a1=1，323122122)(aaaaS，所以32221)1(aa，所以0222232aaa 由 a20，得 a2=2，所以)2(11naann，数列na为等差数列，通项公式 an=n.7 分（注：猜对通项公式 an=n，给 4 分）（II）法一：anannanbn121)11()11(22 令atatbntn1)2(,12则，
17、atattg1)2()(2 当4322 a时，即21a时，g(t)在43,0(上为减函数，且)1()21(gg，所以321bbb 当4322 a时，即21a时，)1()21(gg，从而12bb，不合题意.所以实数 a 的取值范围为21a.14 分 法二：0)2111)(111(1annnnbbnn 所以02111ann，即nna1112对任意*Nn成立 所以实数 a 的取值范围为21a.14 分 20、（1）解法一：令 M 为00(,)xy，因为 M 在抛物线2C上，故2004xy，又153MF，则0513y 由解得02 63x ，023y 椭圆1C的两个焦点为1(0,1)F，2(0,1)F，
18、点 M 在椭圆上，由椭圆定义，得122aMFMF 22222 622 62(0)(1)(0)(1)43333 2a，又1c，2223bac 椭圆1C的方程为22143yx 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word 解法二：同上求得 M，而点 M 在椭圆上，故有222222 6()()331ab，即2248193ab 又1c，
19、即221ba，解得224,3ab 椭圆1C的方程为22143yx（2）证明：设11(,)A x y，22(,)B xy，(,)Q x y 由APPB，可得1122(1,3)(1,3)xyxy 即121213(1)xxyy 由AQQB，可得1122(,)(,)xx yyxx yy 即1212(1)(1)xxxyyy 得222212(1)xxx，得2222123(1)yyy 两式相加，得2222221122()()(1)(3)xyxyxy 又点 A，B 在圆223xy上，222211223,3xyxy，且1 即33xy，故点 Q 总在直线33xy上 方法二：由APPB，可得1122(1,3)(1,
20、3)xyxy，所以1121xx 由AQQB，可得1122(,)(,)xx yyxx yy，所以xxxx21 所以112121xxxxxx，所以22212121xxxxxxx（*）当斜率不存在时，由特殊情况得到)32,1(Q 当斜率存在时，设直线为3)1(xky 066)3(2)1(3322222kkkxkxkyxkkxy 2221221166,1)3(2kkkxxkkkxx 代入（*）得1363kkx，而3)1(xky，消去k，得33 yx 而)32,1(Q满足方程，所以 Q 在直线33 yx上 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断
21、某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word 21(本题满分 14 分)解：（）1()1fxmx.由(0)0f ，得1m，此时()1xfxx .当(1,0)x时，()0fx，函数()f x在区间(1,0)上单调递增；当(0,)x时，()0fx，函数()f x在区间(0,)上单调递减.函数()f x在0 x 处取得极大值，故1m.3 分（）令121112()()()()()()()()f xf xh xf xg xf xxxf
22、 xxx，4 分 则1212()()()()f xf xh xfxxx.Q函数()f x在12(,)xx x上可导，存在012(,)xx x，使得12012()()()f xf xfxxx.1()11fxx Q，000011()()()11(1)(1)xxh xfxfxxxxx Q当10(,)xx x时，()0h x，()h x单调递增，1()()0h xh x；Q当02(,)xx x时，()0h x，()h x单调递减，2()()0h xh x；故对任意12(,)xx x，都有()()f xg x.8 分（）用数学归纳法证明.当2n 时，121 Q，且10，20，1 12212(,)xxx
23、x，由（）得()()f xg x，即 121 1221 12211112212()()()()()()()f xf xfxxxxxf xf xf xxx，当2n 时，结论成立.9 分 假设当(2nkk时结论成立，即当121k L时，11221122()()()()kkkkfxxxfxfxfxLL.当1nk 时，设正数121,kL满足1211k L，令12km L，1212,kkmmmL，则11knm，且121k L.1 12211()kkkkfxxxx L 1 111()kkkkf mxxx L 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断
24、某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项word 1 111()()kkkkmfxxf x L 1111()()()kkkkmf xmf xf x L 1111()()()kkkkf xf xf x L 13 分 当1nk 时，结论也成立.综上由，对任意2n，nN，结论恒成立.14 分 成一排照毕业纪念照其中甲必须站在正中间并且乙丙两位同学要站在一起则不同的站法有种种种种下列四个判断某校生产的件数是设其平均数为中位数为众数为则有从总体中抽取的样本若记则回归直线必过点已知服从正态分布且则其第题为必做题每道试题考生都必须作答不等式的解集是的展开式中常数项是用数字作答公差不为零的等差数列的前项