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1、必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)平面向量的实际背景及基本概念 学习目标 1、能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别、2、会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量、3、理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.知识点一 向量的概念 数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量,而把那些只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量.注意:向量的两个要素:大小与方向,缺一不可.解题时,注意从两个要素出发考虑问题.数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.
2、思考 已知下列各量:力;功;速度;质量;温度;位移;加速度;重力;路程;密度.其中就是数量的有_,就是向量的有_.答案 知识点二 向量的表示方法(1)向量的几何表示:向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.以 A为起点、B 为终点的有向线段记作AB、(2)向量的字母表示:向量可以用字母 a,b,c,表示(印刷用黑体 a,b,c,书写时用 a,b,c).(3)向量AB的大小:也就就是向量AB的长度(或称模),即有向线段AB的长度,记作|AB|、长度为 0的向量叫做零向量,记作 0;长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量.必修四平面向量
3、的实际背景及基本概念(附答案)思考 在同一平面内,把所有长度为 1 的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹就是_.答案 单位圆 知识点三 相等向量与共线向量(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法:向量 a 平行于 b,记作 ab、规定:零向量与任一向量平行.(3)共线向量:由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.也就就是说,平行向量与共线向量就是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行与共线相混淆.思考 向量平行具备传递性不？答案 向量的平行不具备传递性
4、,即若 ab,bc,则未必有 ac,这就是因为,当 b0 时,a、c可以就是任意向量,但若 b0,必有 ab,bcac、因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性,解答问题时,一定要瞧清题目中就是“零向量”还就是“非零向量”.题型一 向量的基本概念 例 1 判断下列命题就是否正确,并说明理由.若 ab,则 a 一定不与 b 共线;若ABDC,则 A、B、C、D 四点就是平行四边形的四个顶点;在平行四边形 ABCD 中,一定有ABDC;若向量 a 与任一向量 b 平行,则 a0;若 ab,bc,则 ac;若 ab,bc,则 ac、用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等
5、概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)解 两个向量不相等,可能就是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故不正确.ABDC,A、B、C、D 四点可能在同一条直线上,故不正确.在平行四边形 ABCD中,|AB|DC|,AB与DC平行且方向相同,故ABDC,正确.零向量的方向就是任意的,与任一向量平行,正确.ab,则|a|b|且 a 与 b
6、方向相同;bc,则|b|c|且 b 与 c 方向相同,则 a与 c 方向相同且模相等,故 ac,正确.若 b0,由于 a 的方向与 c 的方向都就是任意的,ac可能不成立;b0 时,ac 成立,故不正确.跟踪训练 1 下列说法正确的有_.(1)若|a|b|,则 ab 或 ab;(2)向量AB与CD就是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上;(3)向量AB与BA就是平行向量;(4)任何两个单位向量都就是相等向量.答案(3)解析(1)错误.由|a|b|仅说明 a 与 b 模相等,但不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量AB、CD必须
7、在同一直线上,因此点 A、B、C、D 不一定在同一条直线上.(3)正确.向量AB与BA就是长度相等,方向相反的两个向量.(4)错误.单位向量不仅有长度,而且有方向;单位向量的方向不一定相同,而相等向量要求长度相等,方向相同.题型二 向量的表示及应用 例 2 一辆汽车从 A点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点,然后又改变方向向西偏北 50 走了200 km 到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100 km 到达 D 点.(1)作出向量AB、BC、CD;(2)求|AD|、用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意
8、向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)解(1)向量AB、BC、CD如图所示.(2)由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线,又|AB|CD|,在四边形 ABCD 中,AB綊 CD、四边形 ABCD 为平行四边形.ADBC,|AD|BC|200 km、跟踪训练 2 在如图的方格纸上,已知向量 a,每个小正方形的边长为 1、(1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 ba;(2)在图中画一个以 A
9、为起点的向量 c,使|c|5,并说出向量 c 的终点的轨迹就是什么？解(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量 a 平行,且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹就是以A为圆心,半径为 5的圆(作图略).题型三 平行向量与共线向量 例 3 如图所示,ABC 的三边均不相等,E、F、D 分别就是 AC、AB、BC 的中点.(1)写出与EF共线的向量;(2)写出与EF的模大小相等的向量;(3)写出与EF相等的向量.解(1)因为 E、F 分别就是 AC、AB 的中点,用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知
10、识称为数量注意向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)所以 EF 綊12BC、又因为 D 就是 BC 的中点,所以与EF共线的向量有:FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB、(2)与EF模相等的向量有:FE,BD,DB,DC,CD、(3)与EF相等的向量有:DB与CD、跟踪训练 3 如图,已知四边形 ABCD 为 ABCD,则(1)与OA的模相等的向量有多少个？(2)与OA的模相等,方向相反的向量有
11、哪些？(3)写出与AB共线的向量.解(1)与OA的模相等的向量有AO,OC,CO三个向量.(2)与OA的模相等且方向相反的向量为OC,AO、(3)与AB共线的向量有DC,CD,BA、对向量的有关概念理解不清致误 例 4 下列说法正确的个数就是()向量 a,b 共线,向量 b,c 共线,则 a 与 c 也共线;任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合;向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都就是非零向量;有相同起点的两个非零向量不平行.A.1 B.2 C.3 D.4 用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两
12、个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)错解 向量共线具有传递性,相等向量的各要素相同(包括起点、终点),同起点共线向量不就是平行向量.答案 B 或 C 或 D 错因分析 对共线向量的概念理解不清,零向量与任一向量都就是共线向量,共线向量也就是平行向量,它与平面几何中的共线与平行不同.正解 事实上,对于,由于零向量与任意向量都共线,因此不正确;对于,由于向量都就是自由向量,则两个相等向量的始点与终点不一定重合
13、,故不正确;对于,向量的平行只与方向有关,而与起点就是否相同无关,故不正确;a 与 b 不共线,则 a 与 b 都就是非零向量,否则,不妨设 a 为零向量,则 a 与 b 共线,与 a 与 b 不共线矛盾,从而正确.答案 A 1.下列说法错误的就是()A.若 a0,则|a|0 B.零向量就是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向就是任意的 2.下列说法正确的就是()A.若|a|b|,则 ab B.若|a|b|,则 ab C.若 ab,则 a 与 b 共线 D.若 ab,则 a 一定不与 b 共线 3.如图所示,梯形 ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB与DC的关系就是()A
14、、ABDC B.|AB|DC|C、ABDC D、AB|b|,则 ab;若向量|a|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反;对于任意|a|b|,且 a 与 b 的方向相同,则 ab;向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 方向相同或相反.A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.若对任意向量 b,均有 ab,则 a 为_.8.给出以下 5 个条件:ab;|a|b|;a 与 b 的方向相反;|a|0 或|b|0;a 与 b 都就是单位向量.其中能使ab 成立的就是_.(填序号)9.在四边形 ABCD 中,ABDC且|AB|AD|,则四边形的形状为_.10.已知在边长为 2
15、的菱形 ABCD 中,ABC60,则|BD|_、三、解答题 11.一辆消防车从 A地去 B 地执行任务,先从 A地向北偏东 30 方向行驶 2 千米到 D 地,然后从D 地沿北偏东 60 方向行驶 6 千米到达 C 地,从 C 地又向南偏西 30 方向行驶 2 千米才到达 B地.(1)画出AD,DC,CB,AB;(2)求 B 地相对于 A地的位置向量.12.如图,已知AABBCC、求证:(1)ABCABC;用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以
16、比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)(2)ABAB,ACAC、13.O 就是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都就是正方形,在如图所示的向量中:(1)分别找出与AO,BO相等的向量;(2)找出与AO共线的向量;(3)找出与AO模相等的向量;(4)向量AO与CO就是否相等？当堂检测答案 1.答案 B 解析 零向量的长度为 0,方向就是任意的,它与任何向量都平行,所以 B 就是错误的.2.答案 C 解析 A 中,向量的模可以比较大小,因为向量的模就是非负
17、实数,虽然|a|b|,但 a 与 b 的方向不确定,不能说 ab,A 不正确;同理 B 错误;D 中,ab,a 可与 b 共线.故选 C、3.答案 B 解析|AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度,故相等.4、解(1)AFBECD,AEBD、(2)DA,CF,FC、5.证明 ABDC,四边形 ABCD 为平行四边形,AD,BC 平行且相等.又CNMA,四边形 CNAM 为平行四边形,AN,MC 平行且相等,DN,MB 平行且相等,四边形 DNBM 就是平行四边形.用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两个要素大小
18、与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)当堂检测答案 一、选择题 1.答案 D 2.答案 D 3.答案 C 解析 当 b0 时,不一定成立,因为零向量与任何向量都平行.4.答案 D 解析 ABDC,四边形 ABCD 就是平行四边形,AC、BD 互相平分,AOOC、5.答案 B 解析 a 为任一非零向量,故|a|0、6.答案 C 解析 不正确.因为向量就是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量
19、不能比较大小,故不正确.不正确.由|a|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.正确.|a|b|,且 a 与 b 同向.由两向量相等的条件可得 ab、不正确.因为向量 a 与向量 b 若有一个就是零向量,则其方向不确定.二、填空题 7.答案 零向量 8.答案 解析 相等向量一定就是共线向量,能使 ab;方向相同或相反的向量一定就是共线向量,能使 ab;零向量与任一向量平行,成立.9.答案 菱形 解析 ABDC,AB綊 DC 用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出
20、发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)四边形 ABCD 就是平行四边形,|AB|AD|,四边形 ABCD 就是菱形.10.答案 2 3 解析 易知 ACBD,且ABD30,设 AC 与 BD 交于点 O,则 AO12AB1、在 RtABO 中,易得|BO|3,|BD|2|BO|2 3、三、解答题 11.解(1)向量AD,DC,CB,AB如图所示.(2)由题意知ADBC,AD 綊 BC,则四边形 ABCD 为平行四边形,ABDC,则 B 地相对于 A地的
21、位置向量为“北偏东 60,6 千米”.12.证明(1)AABB,|AA|BB|,且AABB、又A不在BB上,AABB、四边形 AABB 就是平行四边形.|AB|AB|、同理|AC|AC|,|BC|BC|、ABCABC、(2)四边形 AABB 就是平行四边形,ABAB,且|AB|AB|、ABAB、同理可证ACAC、用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)13.解(1)AOBF,BOAE、(2)与AO共线的向量有BF,CO,DE、(3)与AO模相等的向量有:CO,DO,BO,BF,CF,AE,DE、(4)向量AO与CO不相等,因此它们的方向不相同.用字母表示向量理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念会辨识图形中这些相关的概念知识称为数量注意向量的两个要素大小与方向缺一不可解题时注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小而两个案知识点二向量的表示方法向量的几何表示向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要