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1、二次根式的性质与运算练习题温故而知新：1.二次根式的概念定义：一般地，我们把形如 _a_（a 0）的式子叫做二次根式，符号“”称为二次根号.2.二次根式的性质（1）a（a 0）是一个非负数；（2）（a）2a（a 0）；（3）2(0)(0)a aaaa a3?=-0).5.积的算术平方根的性质ab=_abg_(a 0，b 0).6.商的算术平方根的性质ab=_ab_(a 0，b0).7.最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.8.二次根式的加减二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相
2、同的二次根式进行合并.例 1 （2013娄底）使式子211xx有意义的 x 取值范围是 ()A.x-12，且 x 1 B.x 1 C.x-12 D.x-12，且 x 1解析：根据二次根式有意义的条件可得2x+1 0，解得 x-12；由分式有意义的条件可知 x-10，即 x1；综上可知 x-12，且 x 1.答案：A 小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为 0.举一反三：1.（2012 南充）在函数y=1212xx中，自变量x 的取值范围是()A.x 12 B.12x C.12x D.12x解析：由二次根式有意义的条件可知1
3、-2x 0，解得12x；由分式有意义的条件可知12x0，即 x 12；所以 x 的取值范围是12x.最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最行合并例娄底使式子有意义的取值范围是且且解析根据二次根式有意义的条件可得解得由分式有意义的条件可知即综不为举一反三南充在函数中自变量的取值范围是解析由二次根式有意义的条件可知解得由分式有意义的条件可知即所例 2 （2012 全国竞赛）如果实数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22()aabcabc 可以化简为 ()A.2c-a B.2a-2bC.-a D.a解析：观察数轴可知ba 0
4、c，bc；a+b 0，b+c0，化简二次根式 x2yx-的正确结果为 ()A.y B.y-C.-y D.-y-解析：由 x y0 可知 x 0 且 y 0 或 x 0 且 y，又 x20，所以-y 0，即 y 0，所以 x0 且 y0；方法一：x2yx-=x2yx-=x yx-=xyx-=y-；方法二：x2yx-=-（-x）2yx-=-2x 2yx-=-22yxx-g=y-.答案：D 最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最行合并例娄底使式子有意义的取值范围是且且解析根据二次根式有意义的条件可得解得由分式有意义的条件可知即综不为举一
5、反三南充在函数中自变量的取值范围是解析由二次根式有意义的条件可知解得由分式有意义的条件可知即所举一反三：4.已知 x1，则221xx-+化简的结果是（）A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.1-x解析：221xx-+=2(1)x-=1x-=1-x.5.若整数 m 满足条件2(1)1mm+=+且25m，则 m 的值是 _.解析：由2(1)1mm+=+得 m+1，m-1，所以-125m 0，即 2-a 0，所以（a-2）12a-=-（2-a）12a-=-2(2)a-12a-=-21(2)2aa-g=-2a-.最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件
6、的二次根式叫做最行合并例娄底使式子有意义的取值范围是且且解析根据二次根式有意义的条件可得解得由分式有意义的条件可知即综不为举一反三南充在函数中自变量的取值范围是解析由二次根式有意义的条件可知解得由分式有意义的条件可知即所例 4 若211()xxxy-=+，则 x-y 的值为（）A.-1 B.1 C.2 D.3 解析：根据二次根式有意义的条件可得x-1 0 且 1-x 0，解得 x=1；所以11xx-=0-0=0，所以（1+y）2=0，y=-1；x-y=1-（-1）=2.答案：C 小结：非负数有如下几个性质:(1)有限个非负数的和为非负数；(2)非负数与正数之和为正数；(3)有限个非负数的和为
7、0,则每个非负数都为 0.例 5 已知实数 a 满足 20142015aaa，则 a-20142的值为_.解析：根据二次根式有意义的条件可得a-2015 0，解得 a 2015；所以 20142015aaa 可化为20142015aaa，整理得20152014a；两边同时平方，整理可得a-20142=2015.答案：2015 小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时，要谨记：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用.最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个
8、条件的二次根式叫做最行合并例娄底使式子有意义的取值范围是且且解析根据二次根式有意义的条件可得解得由分式有意义的条件可知即综不为举一反三南充在函数中自变量的取值范围是解析由二次根式有意义的条件可知解得由分式有意义的条件可知即所例 6 已知非零实数 a，b 满足2242(3)42ababa-+-+=，则 a+b 等于（）A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：由2242(3)42ababa-+-+=得2242(3)24ababa-+-=-0，所以 24a-=2a-4，所以2242(3)24ababa-+-=-，即22(3)0bab+-=；由几个非负数的和为0 则这几个数都为0 可知20b+=且2(
9、3)0ab-=，所以 b+2=0，b=-2；（a-3）b2=0，a=3；a+b=3+（-2）=1.答案：C 小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于要能够想到将所给等式进行简单变形后，我们可以得到条件 2a-4 0，将等式化简为我们常见的几个非负数之和为零的形式，进而可分别求出a，b 的值，进一步得到正确答案.常见的非负数有三种形式：a、a2、a（a 0）.例 7 已知 ABC 的三边长a，b，c 满足 a2+b+12c-=10a+24b-22，则 ABC 为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析：将 a2+b+12c-=10a+24b-22 的右边移到左边整理
10、得（a-5）2+（4b-1）2+12c-=0；由几个非负数的和为0 则这几个数都为 0 可知50a-=，4b-1=0，12c-=0，解得 a=5，b=5，c=5；所以 a=b=c，故ABC 为等边三角形.最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最行合并例娄底使式子有意义的取值范围是且且解析根据二次根式有意义的条件可得解得由分式有意义的条件可知即综不为举一反三南充在函数中自变量的取值范围是解析由二次根式有意义的条件可知解得由分式有意义的条件可知即所答案：B 小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a2 2ab+b2=(a b)2对所给等式
11、进行变形，变形后再根据几个非负数的和为0 则这几个非负数均为0 分别求出 a，b，c 的值，进而判断出三角形的形状.举一反三：2.若220 xyy-+=，则 x y 的值为()A.8 B.2 C.5 D.-6 解析：根据220 xyy-+=可得 x-2y=0，y+2=0，解得 x=-4，y=-2，所以x y=8.3.若 a，b 为实数，且满足220ab-+-=，则 b-a 的值为（）A.2 B.0 C.-2 D.以上都不对解析：由220ab-+-=可得 a-2=0，-b2=0，所以 a=2，b=0，所以 b-a=0-2=-2.7.已知 a，b，c 满足285(3 2)0abc.（1）求 a，b，c 的值；（2）试问以 a，b，c 为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.解析：（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解；（2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最行合并例娄底使式子有意义的取值范围是且且解析根据二次根式有意义的条件可得解得由分式有意义的条件可知即综不为举一反三南充在函数中自变量的取值范围是解析由二次根式有意义的条件可知解得由分式有意义的条件可知即所