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1、现代数值计算方法公式 一、插值法 1.拉格朗日Lagrange 插值法 a)两点一次：1()=1010+0101 1()=()1()=()2!(0)(1)(0 1)b)三点二次：2()=(1)(x 2)(01)(02)0+(0)(2)(10)(12)1+(0)(1)(20)(21)2 2()=()2()=3()3!(0)(1)(2)(0 2)2.牛顿Newton 插值 a)n 次牛顿法多项式：()=(0)+0,1(0)+0,1,(0)(1)()=()()=(+1)()(+1)!+1()(0 )其中+1()=(0)(1)(1)()一 阶 差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 ()0,1 1,2 2
2、,3 3,4 0,1,2,3 1,2,3,4 ()0,1,2 ()1,2,3 0,1,2,3,4 ()2,3,4 ()0,1=(1)(0)10 0,1,2=1,2 0,120 b)向前差分：(0+)=0+0+(1)(2)(+1)!0 (0+)=(1)(2)()(+1)!+1(+1)()(0 )=+=+下减上 c)向后差分：(+)=+(+1)(+1)!(+)=(+1)(+2)(+)(+1)!+1(+1)()(0 )=2=上减下 3.三次埃米尔特Hermite 插值 ()=()+()+()+()()=(+)()()=(+)()()=()()()=()()()=()()!()()(0 1)二、拟合曲
3、线最小二乘 (x)=a0+a1x+a22 S(a0,a1,a2)=()2=1=(a0+a1+a22)2=1 0=01=02=0 三、数值积分 1.牛顿-柯特思Newton-Cotes公式 梯形求积公式2 节点 I T1=()2()()RT1=()312()复化梯形求积公式 I 2()+2 ()1=1+()n RT=12()2=(2)辛普生求积公式3 节点 I S1=6()+4(+2)+()RS1=()52880(4)()复化辛普生求积公式 I 6()+4 (+12)1=0+2 ()1=1+()R=28804(4)()=(4)2.高斯Gauss 公式 高斯-勒让德求积公式 1.先用勒让德公式求解
4、 xi()=12!(21)2.利用“高斯积分公式具有 2n+1 次代数精度”将 xi带入求 Ai 3.将 xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。()11 ()=0 =22+3(+1)!4(2+3)(2+2)!3(2+2)()普通积分化标准形式：=()积分区间a,b变换=2 +2 ()=2(2+2)11 3.代数精度 假设求积公式对 f(x)=1,x,x2,xm时精确成立，而对 f(x)=xm+1时不成立，则称此求积公式具有 m 次代数精确度 四、解线性代数方程组的直接方法 三角形分解法 求解=，先将 A 分解为=，则原式变为=，那么问题就变为了求解 =五、解线性代数方程的迭代法 1.范数 向
5、量范数 定义：设()其中 R 为实数域、C 为复数域，假设某实值函数N(x)|x|满足条件 1）非负性|x|0，|x|=0 当且仅当 x=0 成立 2）其次行|=|3）三角不等式|x+y|x|+|y|称N(x)|x|为()域上的一个向量范数 常见范数：|x|=max1|x|1=|=1|x|2=|2=11/2 矩阵范数 定义：设()其中 R 为实数域、C 为复数域，假设某实值函数N(A)|A|满足条件 1）非负性|A|0，|A|=0 当且仅当 A=0 成立 2）其次行|=|3）三角不等式|A+B|A|+|B|4）乘积性质|AB|A|称N(A)|A|为()域上的一个矩阵范数 常见范数：|A|=ma
6、x1|=1(行范数)|A|1=max1|=1(列范数)|A|2=1,1为 的最大按模特征值|A|=2,=11/2 2.谱半径 (A)=max1|3.雅可比迭代 向量：用第 i个方程解出 xi的方程，分量通式如下：+1=1()=1)矩阵：对于 Ax=b，先将 A 拆分成对角线矩阵 D 减去下三角矩阵 L，再减去上三角矩阵 U。(+1)=()+其中=1(+),=1 4.高斯-塞德尔迭代 向量：用第 i 个方程解出 xi 的方程，并将上式得到的(+1)带入下边的公式，分量通式如下：+1=1(+1)1j=1()=+1)矩阵：对于 Ax=b，先将 A 拆分成对角线矩阵 D 减去下三角矩阵 L，再减去上三
7、角矩阵 U。(+1)=()+其中=()1,=()1 5.松弛迭代 雅可比松弛JOR：(+1)=(1)()+1 注：当0 2时，收敛 雅可比方法收敛时，0 1收敛 逐次超松弛SOR：+1=(+1)1j=1()=+1)注：系数矩阵 A 对称正定，0 2时收敛 六、方程求根 1.大范围收敛定理 a)(x)在a,b上连续；b)当 x a,b时，(x)a,b；c)(x)存在，且对任意 x a,b有|(x)|L 1 2.牛顿迭代法+1=()()牛顿下山法+1=()()，其中1 3.割线法+1=x1()(1)()七、矩阵特征问题求解 1.标准化乘幂法()=()/max()(+1)=()2.原点位移乘幂法 取一个0，用 B=A-I*0替代 A，则得到的特征值 ui=i-0，特征向量不变 八、常微分方程的数值解法 1.欧拉公式+1=+(,)(0)=0 2.向后欧拉公式+1=+(+1,+1)(0)=0 3.梯形公式+1=+2(,)+(+1,+1)(0)=0 4.改良欧拉公式+1=+2(,)+(+1,+(,)