《2023年八年级数学上册14整式的乘法与因式分解精品讲义新版新人教版2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年八年级数学上册14整式的乘法与因式分解精品讲义新版新人教版2.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决
2、问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减
3、轻不必要的记忆负担.4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.【重点】1.理解和掌握幂的运算性质.2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,
4、自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从
5、已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上
6、,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.14.1 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法(1 课时)14.1.2幂的乘方(1 课时)14.1.3积的乘方(1 课时)14.1.4整式的乘法(4 课时)7 课时14.2乘法公式14.2.1平方差公式(1 课时)14.2.2完全平方公式(1 课时)2 课时14.3因式分解14.3.1提公因式法(1 课时)14.3.2公式法(2 课时)3 课时单元复习1 课时14.1整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式
7、、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.2.整式的乘法法则.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.
8、理解同底数幂的乘法法则.2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】多媒体课件(1,2,3).【学生准备】复习幂的意义.导入一:复习an的意义:an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子计算机每秒可进行1 千万亿(1015)次运算,它工作 103秒可进
9、行多少次运算?【师】能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】运算次数=运算速度工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:1015103.【师】1015103如何计算呢?【生】根据乘方的意义可知:1015103=(10 1010)=1018.【师】很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算同底数幂的乘法.设计意图 首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1 让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前
10、一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为3105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】可以列出算式:3 1055102=15105102=15“?”.(引入课题)设计意图 从远古到现代,让学生感受传说,极大
11、地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108105)【师】108,105我们称之为什么?(幂)【师】我们再来观察底数有什么特点?【生 1】都是 10.【生 2】是一样的.【师】像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.(揭示课题)设计意图 利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教
12、育,增强学生的环保意识.过渡语 刚才我们通过计算知道1015103=1018,下面我们再来观察几道题.问题 1【课件 1】计算下列各式:(1)252;(2)a3a2;(3)5m5n(m,n都是正整数).你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.【生】252=(2 2222)(2 2)=27=25+2.25表示 5 个 2 相乘,22表示 2 个 2 相乘,根据乘方的意义:a3a2=(aaa)(aa)=a5=a3+2.5m5n=5m+n.(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述)【生】我们可以
13、发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.【师生共析】aman表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:aman=am+n.于是有aman=am+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.知识拓展 同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如an的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而an中的n只能是正整数.(2)35与 155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是 15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们
14、的指数是否相同毫无关系.(3)53与 515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是 5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.问题 2(针对导入三)1.探索 108105等于多少.(鼓励学生大胆猜想)学生可能会出现以下几种情况:10013;1040;10040;1013.设计意图 猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108 105=1013.即 108 105=108+5.设计意图 师给出适当
15、的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.2.出示问题:(学生口答,课件显示过程)a6a9=a15.即a6a9=a6+9.3.观察以上两个式子,你有什么发现?【师】这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?aman怎么计算?设计意图 a6a9和aman的推导过程由于108105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过
16、程.【板书】aman=am+n(m,n都是正整数).师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.设计意图 全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.问题 3 过渡语 刚才通过探究,我们知道了同底数幂的乘法法则,现在我们就可以利用这个法则进行同底数幂的乘法计算.【课件 2】(教材例 1)计算:(1)x2x5;(2)aa6;(3)(-2)（-2)4（-2)3;(4)xmx3m+1.计算amanap后,能找到什么规律?【师】我们先来看例1,是不是
17、可以用同底数幂的乘法法则呢?【生 1】(1)(2)(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.【生 2】(3)也可以,先算 2 个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.【师】同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2x5=x2+5=x7.(2)解:aa6=a1+6=a7.(3)解:(-2)（-2)4（-2)3=(-2)5（-2)3=(-2)8=256.(4)解:xmx3m+1=xm+3m+1=x4m+1.【师】接下来我们来看例2.受例 1 中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一
18、下解题方法.解法 1:amanap=(aman)ap=am+nap=am+n+p.解法 2:amanap=am(anap)=aman+p=am+n+p.解法 3:amanap=am+n+p.【归纳】解法 1 与解法 2 都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法 3 是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】.【师】(鼓励学生)那么例 1 中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.(-2)（-2)4（-2)3=(
19、-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即aman=am+n(m,n都是正整数).2.推广:amanap=am+n+p.3.(课件 3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如 23与 25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式,也可以是多项式.(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6a3的结果是()A.a9B.a2C.a18D.a
20、3解析:原式=a6+3=a9.故选 A.2.下列计算正确的是()A.xx2=x2B.x2x2=2x2C.x2+x3=x5 D.x2x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故 A 错误;B.底数不变,指数相加,故 B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故 C 错误;D.底数不变,指数相加,故 D 正确.故选 D.3.计算(-a)3(-a)2的正确结果是()A.a5B.-a5C.a6D.-a6解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.故选 B.4.计算.(1)(-5)（-5)2（-5)3;(2)(-a)(-a)3;(3)-a3(-a)2;(4)(a-b)2(a-b)3;(5)(a+1)
21、2(1+a)(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)（-5)2（-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3(-a)2=-a3a2=-a5.(4)(a-b)2(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2(1+a)(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法则2.公式例题讲解例 1 例 2 一、教材作业【必做题】教材第 96 页练习.【选做题】教材第 104 页习题 14.1 第 9,10 题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)x3的结果是()A.x5B
22、.-x5C.x6D.-x62.下列计算正确的是()A.a3a2=a6 B.b4b4=2b4C.x5+x5=x10D.y7y=y83.下列运算正确的是()A.a5a5=2a5 B.a5+a5=a10 C.a5a5=2a10 D.a5a5=a104.a2014可以写成()A.a2010+a4B.a2010a4C.a2014aD.a2007a20075.下列运算错误的是()A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32(-3)4=(-3)6C.(-a)3(-a)2=(-a)5D.(-a)3(-a)3=a6【能力提升】6.设am=8,an=16,则am+n等于()A.24 B.32 C.64 D.128
23、7.下列各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4 D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读材料:求 1+2+22+23+24+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+22012+22013,将等式两边同时乘以2 得:2S=2+22+23+24+25+22013+22014,将下式减去上式得2S-S=22014-1,即S=22014-1,即 1+2+22+23+24+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+210;(2)1+3
24、+32+33+34+3n(其中n为正整数).【答案与解析】1.B(解析:(-x2)x3=-x2+3=-x5.故选 B.)2.D(解析:A.应为a3a2=a5,故本选项错误;B.应为b4b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7y=y8,正确.故选 D.)3.D(解析:A.应为a5a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5a5=a10,故本选项错误;D.a5a5=a10,正确.故选 D.)4.B(解析:A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010a4=a2014;C.a2014a=a2015;D.a2007a2007=
25、a4014,故选 B.)5.B(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;B.-32(-3)4=-32 34=-36,故本选项错误;C.(-a)3(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.故选 B.)6.D(解析:am=8,an=16,am+n=aman=816=128.故选 D.)7.D(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y
26、)6,故本选项正确.故选 D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+210,将等式两边同时乘以2 得 2S=2+22+23+24+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则 1+2+22+23+24+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+3n,两边同时乘以3 得3S=3+32+33+34+3n+3n+1,-得 3S-S=3n+1-1,即S=(3n+1-1),则 1+3+32+33+34+3n=(3n+1-1).在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察类比抽象概括等过程,归纳
27、出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例 2 的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂
28、的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的amanap=am+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.练习(教材第 96 页)解:(1)原式=b5+1=b6.(2)原式=-1+2+3=-6=.(3)原式=a2+6=a8.(4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型 1一般的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2x3;(2)(-2)4(-2)3;(3)(a-1)4(a-1)2.解析(1)可以直接得到x5;(2)中将(-2)看作相同的底数,由法则可
29、得(-2)7;(3)中将(a-1)看作一个整体作为相同的底数.解:(1)x2x3=x5.(2)(-2)4(-2)3=(-2)7=-27.(3)(a-1)4(a-1)2=(a-1)6.题型 2间接运用同底数幂的乘法法则计算:(1)-t3(-t)4(-t)5;(2)(z-y)3(z-y)(y-z)2.解析虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.解:(1)-t3(-t)4(-t)5=-t3t4(-t5)=t3t4t5=t12.(2)(z-y)3(z-y)(y-z)2=(z-y)3(z-y)(z-y)2=(z-y)6.方法提示对于不能直接运用同底数
30、幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.题型 3同底数幂乘法法则的逆用计算:(-2)2007+(-2)2008.解析若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将(-2)2008化成(-2)2007（-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007（-2)=(-2)2007(1-2)=(-2)2007（-1)=22007.(2014 温州中考)计算m6m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m2解析根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6m3=m9.故选 B.
31、14.1.2幂的乘方1.知道幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方法则的总结及运用.【教师准备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生准备】复习同底数幂的乘法法则.导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示.(2)计算:a2a5a3;a4a4a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算:aman=am+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应
32、该如何进行呢?设计意图 通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容,为探索幂的乘方做好准备.导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102102102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.设计意图 在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.一、法则的探究 过渡语
33、 我们知道表示几个相同因数积的运算叫做乘方.根据乘方的意义,请同学们解决以下问题.思路一1.思考.【课件 1】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=3222=3();(2)(a2)3=a2a2a2=a();(3)(am)3=amamam=a()(m是正整数).【师】教师要加强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你认为(am)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】小组互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.幂的乘方法则:(am)n=amn.字母表示:(am)n=amn(m,n是正整数).
34、语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.知识拓展 理解法则注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂;(2)法则可推广到(am)nk=amnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3a2=a3+2=a5.设计意图 在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的过程,让学生学会了归纳,同时培
35、养学生的合作意识.思路二探索练习1.32表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=(根据aman=am+n)=;(a2)3=(根据aman=am+n)=.引导学生观察、猜测(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(am)3=(根据aman=am+n)=;(am)n=(根据aman=am+n)=.通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n是正整数).【说明】在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化),并运用自己的语言进行描述,然
36、后再让学生回顾这一性质的得出过程,进一步体会幂的意义.设计意图 学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂的乘方的来历.思路三1.x3表示什么意义?2.如果把x换成a4,那么(a4)3表示什么意义?3.怎样把a2a2a2a2=a2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:(1)(53)2=533=5();(2)(52)3=()（)（)=5();(3)(a3)5=a3（)（)（)（)=a().6.用同样的方法计算(a3)4,(a11)9,
37、(b3)n(n为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a11)9=a11a11a11=a99.(b3)n=b3b3=b3n.教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2=23=26;(32)3=32=36;(a11)9=a11=a99;(b3)n=b3n=b3n.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(am)n=(乘方的意义)=(同底数幂的乘法)=amn(乘法定义
38、),即(am)n=amn(m,n是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘.设计意图 通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.二、例题讲解 过渡语 刚才通过探究我们了解了幂的乘方法则,利用幂的乘方法则,我们可以直接计算幂的乘方.(教材例 2)计算:(1)(103)5;(2)(a4)4;(3)(am)2;(4)-(x4)3.解析要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.启发学生共同完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.解:(1)(103)5=103
39、=1015.(2)(a4)4=a4=a16.(3)(am)2=am=a2m.(4)-(x4)3=-x4=-x12.想一想:amn等于(am)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出amn=(am)n(m,n是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知xm=4,xn=5,试求代数式x3m+2n的值.解析x3m+2nx3mx2n整体代入,即可求解.解:x3m+2n=x3mx2n=(xm)3(xn)2=432=1600.1.(am)n=amn(m,n
40、都是正整数)的使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.下列运算正确的是()A.2a2+3a=5a3B.a2a3=a6C.(a3)2=a6 D.a3-a3=a解析:A.2a2+3a,不是同类项不能相加,故 A 选项错误;B.a2a3=a5,故 B 选项错误;C.(a3)2=a6,故 C选项正确;D.a3-a3=0,故 D 选项错误.故选 C.2.下列运算中,计算结果正确的是()A.3x-2x=1 B.2x+2x=x2C.xx=x2 D.(a
41、3)2=a4解析:A.3x-2x=x,所以 A 选项不正确;B.2x+2x=4x,所以 B 选项不正确;C.xx=x2,所以 C 选项正确;D.(a3)2=a6,所以 D 选项不正确.故选 C.3.计算.(1)xn-2xn+2;(n是大于 2 的整数)(2)-(x3)5;(3)(-2)23;(4)(-a)32.解析:(1)根据同底数幂的乘法法则求解;(2)(3)(4)根据幂的乘方的法则求解.解:(1)原式=xn-2+n+2=x2 n.(2)原式=-x15.(3)原式=43=64.(4)原式=a6.14.1.2幂的乘方一、法则的探究推理过程:(am)n=amn.公式:(am)n=amn(m,n都
42、是正整数).法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第 97 页练习.【选做题】教材第 104 页习题 14.1 第 1 题(1)(4).二、课后作业【基础巩固】1.计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.a8D.-a82.计算:(a3)2a3=.3.若 9x=3x+2,则x=.4.已知 2m=3,2n=22,则 22m+n=.5.若 28m=42m,则m=.【能力提升】6.若m,n都是正整数,且a1,则(an)m和(am)n是否一定相等?若一定相等,请给予证明;若不一定相等,请举出反例.7.已知am=2,an=3,m,n是正整数且mn.求下列各式的
43、值:(1)am+1;(2)a3m+2n.【拓展探究】8.试比较 35555,44444,53333三个数的大小.【答案与解析】1.A(解析:(-a3)2=a3=a6.故选 A.)2.a9(解析:先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘法.所以原式=a6a3=a9.)3.2(解析:9x=32x=3x+2,2x=2+x,解得x=2,故答案为 2.)4.36(解析:m=3,2n=22,2m+n=22m2n=(2m)22n=32 22=94=36.)5.1(解析:2 8m=42m,23m=24m,1+3m=4m,解得m=1.)6.解:(an)m和(am)n一定相等,理由为(an)m=(am)n=amn.7.
44、解:(1)am=2,am+1=ama=2a.(2)am=2,an=3,a3m+2n=(am)3（an)2=89=72.8.解:5555=(35)1111,44444=(44)1111,53333=(53)1111,35=243,44=256,53=125,43553,44443555553333.在教学过程中,始终以学生自主探索为主,通过复习提问的形式导入新课,通过学生的探索交流,让学生总结出幂的乘方法则,提高了学生对幂的乘方法则的记忆和理解,设置的引入性题目激发了学生的求知欲望,通过对例题的讲解,加深了学生对幂的乘方法则的理解,提高了学生运用幂的乘方法则解决数学问题的能力,通过练习题和课堂小
45、结可以巩固学生对应用法则解题的能力.在教学过程中,对于课堂练习的设计难度有点大,不适合学生对问题的理解和掌握.而对于补充的例题也太难,虽然教师能指导到位,但从解题策略上看,它体现了两步:一是逆用同底数幂的乘法法则;二是逆用幂的乘方法则,学生对于例题的理解有点困难.在练习题的设计上,教师要遵循层层深入的原则,不要太难,但允许有一定的拓展;在对例题的补充上,可以先逆用幂的乘方设计一道题,然后再出现原来补充的例题比较合适,这样学生容易接受和理解.在练习的讲解上也要细致,对于有难度的要鼓励学生小组合作,共同解决问题,这样可以充分发挥小组合作学习的优越性.练习(教材第 97 页)解:(1)原式=103=
46、109.(2)原式=x3=x6.(3)原式=-x5m.(4)原式=a6a5=a6+5=a11.一个正方体的棱长是103 cm,那么:(1)它的表面积是多少?(2)它的体积是多少?解析(1)根据正方体的表面积=6棱长2进行解答.(2)根据正方体的体积=棱长3进行解答.解:(1)正方体的棱长是103cm,它的表面积=6103103=6106(cm2).(2)正方体的棱长是103cm,它的体积=(103)3=109(cm3).已知 2a=3,2b=6,2c=12,试判断a,b,c之间的数量关系.解析由 62=312,可得(2b)2=2ac=2a+c,即可求得a,b,c之间的关系.解:a=3,2b=6
47、,2c=12,且 66=62=312,(2b)2=2ac=2a+c,b=a+c.14.1.3积的乘方1.经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解积的运算性质,并能解决一些实际问题.1.体会数学的价值及在解决问题的过程中与他人合作的重要性.2.在探究过程中体会由特殊到一般的辩证规律,积累解决数学问题的经验和方法.调动学生参与数学学习的积极性,培养学生对学习数学的良好的情感态度,主动参与、合作、交流的意识.【重点】理解并正确运用积的乘方的运算性质.【难点】积的乘方的运算性质的探究过程及应用方法.【教师准备】预设学生理解积的乘方易错的地方.【学生准备】复习同底数幂的乘法、幂的乘方法则.导入一: