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1、 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba 2、如下图，在 RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)：定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A(A为锐角)BAcossin BAsincos 1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A(A为锐角)正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA(A为锐角)BAcottan BAtancot AAcot1tan(倒数)1cottan AA 余切 的对边的邻边AAAcot abAco
2、t 0cotA(A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 21 22 23 1 cos 1 23 22 21 0 tan 0 33 1 3-cot-3 1 33 0 6、正弦、余弦的增减性：当 090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 090时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（
3、两个，其中必有一边）所有未知的边和角。)90cot(tanAA)90tan(cotAA BAcottan BAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAA BAcossinBAsincosA90B90得由BA 对边 邻边 斜边 A C B b a c A90B90得由BA 依据：边的关系：222cba；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般
4、写成1:m的形式，如1:5i 等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向），南偏东 45（东南方向），南偏西 60（西南方向），北偏西 60（西北方向）。要点一：锐角三角函数的基本概念:ihlhl 一、选择题 1.（2009漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A35 B43 C3
5、4 D45【解析】选 C.tan43角的邻边角的对边.2.（2008威海中考）在ABC中，C90，tanA13，则 sinB（）A1010 B23 C34 D 3 1010【解析】选 D.31tanABBCA,设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得,10)3(2222kkkBCACAB3 10sin10ACBAB 3.（2009齐齐哈尔中考）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为32，2AC，则sin B的值是（）A23 B32 C34 D43【解析】选 A.连接 CD,由O的半径为32.得 AD=3.sin B=.32sinADACD 4.（2009湖州中考）如图，在Rt
6、ABC中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A3sin2A B1tan2A C 3cos2B Dtan3B 【解析】选 D在直角三角形 ABC中，1BC，2AB，所以 AC 3；所以1sin2A，3cos2A，3tan3A；3sin2B，1cos2B，tan3B；5.（2008温州中考）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD，3AC，则sin B的值是（）A23 B32 C34 D43 【解析】选 C.由CD是RtABC斜边AB上的中线，得 AB=2CD=4.sin B43ABAC 6.（2007 泰安中考）如图，在ABC中，90ACBo，CDAB于D，若2
7、3AC，3 2AB，则tanBCD的值为（）（A）2 （B）22 （C）63 （D）33 答案：B 二、填空题 7.（2009梧州中考）在ABC中，C90，BC6 cm，53sinA，则AB的长是 cm【解析】,536sinABABBCA解得AB=10cm 答案：10 8.（2009孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 sin 【解析】因为P（3，4），所以 OP 5，所以4sin5；答案：45；9.（2009庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为 10cm，DEAB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2 A C B D 【解析】.5310
8、sinDEADDEA解得 DE=6cm.10 660 LINGSABDEcm2.答案：60 三、解答题 10.(2009 河北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD=24 m，OECD于点E已测得 sinDOE=1213 （1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1）OECD于点E，CD=24（m），ED=12CD=12（m）在 RtDOE中，sin DOE=EDOD=1213，OD=13（m）（2）OE=22ODED=2213125=（m）将水排干需：50.5=10
9、（小时）11.（2009 綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE（1）求证：ABEDFA；A OB E C D （2）如果10ADAB，=6，求sinEDF的值 【解析】（1）在矩形ABCD中，90BCADADBCB，DAFAEB DFAEAEBCQ，90AFDB=AEAD ABEDFA （2）由（1）知ABEDFA 6ABDF 在直角ADF中，22221068AFADDF 2EFAEAFADAF 在直角DFE中，2222622 10DEDFEF 210sin102 10EFEDFDE 12.（2008 宁夏中考）如图，在ABC中，C=90，
10、sinA=54，AB=15，求ABC的周长和tanA的值 【解析】在Rt ABC中,C=90,AB=15 Asin=ABBC=54,12BC 912152222BCABAC 周长为 36,BC124tanA.AC93 13.（2008肇庆中考）在 RtABC中，C=90，a=3，c=5，求 sinA和tanA的值.【解析】在 Rt ABC中，c=5，a=3 22acb2235 4 53sincaA 43tanbaA 14.（2007芜湖中考）如图，在ABC中，AD是BC上的高，tancosBDAC，(1)求证：AC=BD；(2)若12sin13C，BC=12，求AD的长【解析】(1)AD是BC
11、上的高，ADBC ADB=90，ADC=90 在 RtABD和 RtADC中，tan B=ADBD，cosDAC=ADAC 又已知tancosBDAC ADBD=ADACAC=BD (2)在 RtADC中，12sin13C，故可设AD=12k，AC=13k 22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（2009钦州中考）sin30 的值为（）A32 B22 C12 D33 答案：C 2.（2009长春中考）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC，则点B的坐标为（）A(21)，B
12、(12)，C(211)，D(121)，答案：C 3.(2009定西中考)某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米 答案：C 4.（2008宿迁中考）已知为锐角，且23)10sin(，则等于（）50 60 70 80 答案：5.（2008毕节中考）A（cos60，tan30）关于原点对称的点A1的坐标是（）A1323，B3323，C1323，D1322，答案：A 6.（2007襄樊中考）计算：2cos 45tan 60 cos30ooog等于（）（A）1 （B）2 （C
13、）2 （D）3 答案：C 二、填空题 7.（2009荆门中考）104cos30 sin60(2)(20092008)=_【解析】104cos30 sin60(2)(20092008)3314()122213()1232 答案：23 8.（2009百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为 60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米（结果保留根号）答案：4 3 9.（2008江西中考）计算：（1）1sin60 cos302 oog 【解析】1sin60 cos302 oog.412143212323 答案：14 10.
14、（2007济宁中考）计算sin60tan45cos30的值是 。答案：0 三、解答题 11.（2009黄石中考）计算：31+(21)033tan30 tan45 【解析】31+(21)033tan30 tan45 1111330 12.（2009崇左中考）计算：0200912sin 603tan30(1)3 【解析】原式=33231 123 =0 13.（2008义乌中考）计算：33sin 602cos 458oo【解析】33sin602cos458oo3232222=2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题 1.（2009白银中考）某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的
15、倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米【解析】选 C.梯子的长至少为33860sin40（米）.2.（2009衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角的正切值是（）A14 B4 C117 D417 答案：A 3.（2009益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.cos5 B.cos5 C.sin5 D.sin5 答案：B 4.（2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要
16、求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m 如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A5m B6m C7m D8m 【解析】选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间的水平距离为 4m，相邻两树间的垂直距离为 h，则0.754h，则 h3m，所以坡面距离为 5m；5.(2009 潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30BAD，在C点测得60BCD，又测得50AC 米，则小岛B到公路l的距离为（）米 5A B A25 B25 3 C100 33 D 2525 3 【解析】选 B 过点 B作 BE AD 于点 E，在直角三角
17、形 BAE中，0tan30,BEAE 则0,tan30BEAE 在直角三角形 BCE中，0tan60,BECE则0tan60BECE。所以 AE-CE=AC=50,即0050,tan30tan60BEBE解得 BE25 3；二、填空题 6.（2009沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的正弦值为 3 5，则坡面AC的长度为 m 【解析】因为 sin ACB=536ACACAB,所以 AC=10 答案：10.7.（2009衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_.答案：
18、1:2 8.（2009南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 _海里（结果保留根号）【解析】402224045sin0APPCAC,340334030tan0PCBC 40340ACBCAB 答案：40 340 9(2009 安徽中考)长为 4m的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m 【解析】当梯子与地面夹角为045时，梯子顶端高为04sin 452 2()m；当梯子与地面夹角为060时，梯子顶端高为04sin 6
19、02 3()m，所以梯子顶端升高了2(32);m 答案：2(32)；10.(2008庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3 米，3cos4BAC，则梯子长 AB=米.答案：4 11.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75，如果拖把的总长为 1.80m，则小明拓宽了行路通道_m（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 26，cos15 0.97）答案：1.28 三、解答题 12.（2009庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定如（2）是
20、如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45，OAB=30，OA=60cm，求点B到OA边的距离（31.7，结果精确到整数）【解析】如图，过点B作BCOA于点C AOB=45，CBO=45，BC=OC 设BC=OC=x，OAB=30，AC=BCtan60=3x OC+CA=OA，x+3x=60，x=316022（cm）即点B到OA 边的距离是 22 cm 13.（2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点B到电灯杆底端N的距离BN为 10 米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732
21、，结果保留 两位小数）【解析】在直角三角形MPA中，30 ，10AP=米 MP=10 tan300 =10 335.773 米 因为1.5AB=米 所以 MN=1.5+5.77=7.27米 答：路灯的高度为 7.27 米 14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A处看见灯塔B在海船的北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C处，发现此时灯塔 B在海船的北偏西 45 方向，求此时灯塔 B到 C处的距离。【解析】如图，过 B点作 BD AC于 D DAB 906030，DCB 904545 设 BD x，在 RtABD中，AD xtan30 3x 在 RtBDC中，
22、BD DC x BC2x 又 AC 5210 310 xx，得5(31)x，2 5(31)5(62)BC （海里）答：灯塔 B距 C处5(62)海里 15.（2009 常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为 i=1 0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数）【解析】设山高BC=x，则AB=12x，tan3012002BCxBDxo，得(2 31)400 x，解得400400(2 31)162112 31x米 16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45降为 30，已知原滑滑板AB的长为 5 米，点D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：21.414,31.732,62.449)【解析】（1）在RtABC中，5sin452(m)2ACABog 5cos 452(m)2BCABog RtADC中 5 2(m)sin30ACAD o 56(m)tan302ACCD o 2.07(m)ADAB 改善后的滑滑板会加长 2.07m（2）这样改造能行 因为2.59(m)CDBC，而632.59