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1、 方程和不等式 一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c 是常数，a0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：1直接开平方法；2配方法；3公式法；4因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x=(b2-4ac0)。注意符号问题 2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：1去分母法；2换元法。3.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的根的判别式=b2-4ac。当0 时，方程有两个不相等的实数根 x1=,x2=；当=0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=-；当0 时，方程没有实数根。4.假设一元二次方
2、程 ax2+bx+c=0(a 0)的两个实数根为 x1,x2,则 x1+x2=-,x1x2=。注意两根的和是 的相反数。以 x1,x2为根的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0。5.不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：不等式组(a2x，得 x-2 解不等式 x-,得 x-1。所以不等式组的解集是-24x+2,得 x1。解不等式 ，得 x-2。所以不等式组的解集是：-2x1。所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。例 3
3、.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0 是关于 x 的一元二次方程。求 m的值，并求此方程的两根。分析：根据一元二次方程的定义，未知数 x 的最高次数是 2，而且二次项的系数不能为 0，所以 m2-2=2，且 m-2 0。于是可求 m的值,进而求得方程的解。解：1依题意，得 m2-2=2,且 m-2 0。m=2,且 m 2。m=-2。2把 m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1 x-5=1,x1=4,x2=6。例 4.已知 x 是实数，且-(x2+3x)=2，那么 x2+3x 的值为 A、1 B、-3 或 1 C、3 D、-1 或 3 误解：设 x2+3x=y,则原方程可变为-y=2,
4、即 y2+2y-3=0。y1=-3,y2=1。x2+3x=-3或 1。故选 B。剖析：因为 x 为实数，所以要求 x2+3x=-3和 x2+3x=1 有实数解。当 x2+3x=-3时，即是 x2+3x+3=0，此时=32-4130，方程有实数解，即x 是实数，符合题设，故 x2+3x=1。正确答案：选 A。说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误时机，解题时，假设无视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。例 5.解以下方程：1=1，2x2+x-+1=0。分析1宜用去分母法解；2宜用换元法，可设 x2+x=y，将原方程变为 y-+1=0，先求出 y，再求出 x。解1
5、原方程即为+-=1 去分母，得 x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。整理，得 x2-3x+2=0。x1=1,x2=2。经检验 x=1 是原方程的根，x=2 是增根，原方程的根是 x=1。2设 x2+x=y,则原方程可变为 y-+1=0。y2+y-6=0,y1=-3,y2=2 当 y=-3 时，x2+x=-3,x2+x+3=0,此方程无实数根，当 y=2 时，x2+x=2,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1。经检验,x1=-2,x2=1 都是原方程的根。原方程的根是 x1=-2,x2=1。例 6.假设方程组 的解 x 与 y 相等，则 a 的值等于。A、4 B、10 C、11
6、D、12 分析：先解方程组 再将求得的解代入方程 ax+(a-1)y=3中，便可求得 a 的值。解：解方程组，得 把 代入 ax+(a-1)y=3,得 a+(a-1)=3，解之，得 a=11。故选 C。例 7.已知关于 x 的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且 k3。(1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于 4 时，k 的值等于多少？分析：此题没有指明关于 x 的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。(1)证明 当 k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根；当 k2 时，方程为一元二次方程，且=-2(k-1)
7、2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),k3,3-k0。即0，此时一元二次方程有实数根。综合、知，原方程总有实数根。(2)设方程的两实根为 x1,x2，则 x1+x2=，x1x2=。由题设，x12+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4。2-2=4。整理，得 k2-5k+4=0,k1=1,k2=4。k 3,k=1。例 8.商场出售的 A型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B型节能冰箱每台售价虽比 A型冰箱高出 10%，但每日耗电费却为 0.55 度。现将 A型冰箱打折出售打一折后的售价为原价的，问商场至少打几折，消费者购买才合算按使用期为 10 年，每年 365
8、天，每度电 0.40 元计算？说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。此题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于此题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。得到不等关系。解:设商场将 A型冰箱打 x 折出售，则消费者购买 A型冰箱需耗资 2190+3651010.4(元)，购买 B型冰箱需耗资 2190(1+10%)+365100.55 0
9、.4(元)。依题意，得 2190+3651010.4 2190(1+10%)+365100.55 0.4。解不等式，得 x8。因此，商场应将 A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。例 9.某园林的门票每张 10 元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法个人年票从购买日起，可供持票者使用一年。年票分 A、B、C、三类：A类年票每张 120 元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C类年票每张 40 元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次
10、 3 元。1 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。2求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A类年票比较合算。析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。1因为 8030。所以，一年中进入该园林至少超过 30 次时，购买 A类年票比较合算。例 10.某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元；乙、丙两队合作 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共9500 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共 5500 元。1求
11、甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？2假设工期要求不超过 15 天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。分析：本例属工作量为 1 的工程问题，要注意以下三个关系式：1工作效率工作时间=1；2工作效率=；3工作时间=。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。解：1设甲队单独做 x 天完成，乙队单独做 y 天完成，丙队单独做 z 天完成，则 解之，得 2设甲队做一天应付给 a 元，乙队做一天应付 b 元，丙队做一天应付给 c 元，则有 解方程组，得 10a=8000(元),15b=9750(元)由甲队单独完成此工程花钱最少。答：1甲队单独做 10 天完成，乙队单独做
12、 15 天完成，丙队单独做 30 天完成；2由甲队单独完成此项工程花钱最少。测试 选择题 1假设一元二次方程 x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则 k 的值为 。A、4 B、5 C、8 D、6 2不解方程，判断方程 2x2+3x-4=0的根的情况是 。A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 3以下方程中有两个不相等的实数根的是 。A、2x2+4x+35=0 B、x2+1=2x C、(x-1)2=-1 D、5x2+4x=1 4一元二次方程 x2-2x+m=0的两个实数根的条件是 。A、m1 D、m 1 5假设关于 x 的方程 2x(mx-4)=x
13、2-6 没有实数根，则 m所取的最小整数是 。A、2 B、1 C、-1 D、不存在 6已知方程 x2+3x+m=0的两个根的差的平方是 25，则 m的值 。A、4 B、-4 C、13 D、8 7以 5 和-3 为根的一元二次方程是 。A、x2-2x-15=0 B、x2+2x-15=0 C、x2+2x+15=0 D、x2-2x+15=0 8 以方程 x2+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是 。A、y2+5y-6=0 B、y2+5y+6=0 C、y2-5y+6=0 D、y2-5y-6=0 参考答案 答案：1、A 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B 7、A 8、B 解析：1.分
14、析：已知方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式可得：=42-41k=0，k=4。2.分析：对于方程 2x2+3x-4=0来说，=32-42(-4)=9+320。3.分析：题目要求有两个不相等的实数根，0。A.2x2+4x+35=0，=42-42350。4.分析：根据题意，得=(-2)2-41m 0，m 1。5.分析：原方程可变形为：(2m-1)x2-8x+6=0根据题意，得=(-8)2-4(2m-1)6，m 的最小整数为 2。6.分析：此题的解题关键是利用根与系数关系建立关于 m的方程，设方程的两根分别为 x1，x2，根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=m，(x1-x2)2 =
15、x12+x22-2x1x2 =x12+x22+2x1x2-2x1x2-2x1x2 =(x1+x2)2-4x1x2 =(-3)2-4m=25，m=-4。7.分析：以两个数 x1，x2为根的一元二次方程二次项系数为 1是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 此题先计算两数之和、两数之积再代入上式写出方程 x1+x2=5-3=2x1x2=5(-3)=-15，以 5，-3为根的一元二次方程为 x2-2x-15=0。8.分析：此题在解答时，应先根据根与系数关系计算出原方程的两根之和、两根之积，从而写出方程。根据题意两根之和为-2，两根之积为-3，所以，以-2 和-3 为根的方程为：y2+5y+6=0。