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1、（第1页，共18页）试卷一：一、单项选择题（3 分5=15 分）1、1、下列各式正确的是（）（A）1limnknnk nAA;（B）1limnknk nnAA;（C）1limnknnk nAA;（D）1limnknk nnAA;2、设 P为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)0mP (C)PP (D)PP 3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C)开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设()nfx是E上的.a e有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若()()nfxf x,则()()nfxf x (
2、B)sup()nnfx是可测函数 （C）inf()nnfx是可测函数;（D）若()()nfxf x,则()f x可测 5、设 f(x)是,ba上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A)(xf在,ba上有界 (B)(xf在,ba上几乎处处存在导数（C）)(xf在,ba上 L可积 (D)baafbfdxxf)()()(二.填空题(3 分5=15 分)1、()()ssC AC BAAB_ 2、设E是0,1上有理点全体，则E=_,oE=_,E=_.3、设E是nR中 点 集，如 果 对 任 一 点 集T都 有得 分 得 分 （第2页，共18页）_，则称E是L可测的 4、)(xf可测的_条件是它可以表成一
3、列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x为,a b上 的 有 限 函 数，如 果 对 于,a b的 一 切 分 划，使_,则 称()f x为 ,a b上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5 分4=20 分)1、设1ER，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若0mE，则E一定是可数集.3、若|()|f x是可测函数，则()f x必是可测函数。4设()f x在可测集E上可积分，若,()0 xE f x，则()0Ef x 得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几
4、乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第3页，共18页）四、解答题（8 分2=16 分）.1、（8分）设2,()1,xxf xx为无理数为有理数，则()f x在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn 得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充
5、分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第4页，共18页）五、证明题（6 分4+10=34分）.1、（6 分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.2、（6 分）设()f x是,上 的 实 值连 续函 数，则 对 于任 意常 数,|()a Ex f xa是闭集。3、（6 分）在,a b上的任一有界变差函数()f x都可以表示为两个增函数之差。得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一
6、列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第5页，共18页）4、（6 分）设,()mEf x 在E上可积，(|)neEfn，则lim0nnn me.5、（10分）设()f x是E上.a e有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()f x在F上连续，且()m EF，证明：()f x是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的
7、极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第6页，共18页）试卷一 答案：试卷一 （参考答案及评分标准）一、1.C 2 D 3.B 4.A 5.D 二、1 2、0,1；0,1 3、*()()m Tm TEm TCE 4、充要 5、11|()()|niiif xf x成一有界数集。三、1错误 2 分 例如：设E是0,1上有理点全体，则E和CE都在0,1中稠密 .5 分 2错误 2 分 例如：设E是Cantor集，则0mE，但E c，故其为不可数集 .5 分 3错误
8、2 分 例如：设E是,a b上的不可测集，,;(),;x xEf xx xa bE 则|()|f x是,a b上 的 可 测 函 数，但()f x不 是,a b上 的 可 测 函数.5 分 4错误2 分 0mE 时，对E上任意的实函数()f x 都有()0Ef x dx 5 分 四、1()f x在0,1上不是R可积的，因为()f x仅在1x 处连续，即不连续点为正测度集.3 分 因为()f x是有界可测函数，()f x在0,1上是L可积的6 分 因为()f x与2x.a e相等，进一步，120,101()3f x dxx dx8 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数
9、则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第7页，共18页）2解：设ln()()cosxnxnfxexn，则易知当n 时，()0nfx .2 分 又因2ln1 ln0tttt，(3t)，所以当3,0nx时，ln()ln()ln3ln3(1)33xnnxxnnxxnnxnn 4 分 从而使得ln3|()|(1)3xnfxx e6 分 但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的，故有 00lim(
10、)lim()0nnnnfx dxfx dx8 分 五、1设0,1,E,().AEQ BEEQ BMBQ是无限集，可数子集 2 分.AAMM Q:是可数集，.3 分(),(),()(),(),BMB MEABAMB MAMB MMB M Q且.5 分,.EBBc:6 分 2,limnnnxEExxx 则存在 中的互异点列使.2 分,()nnxEf xa Q.3 分()()lim()nnf xxf xf xaQ在 点连续，xE 5 分 E 是闭集.6 分 3.对1，0，使对任意互不相交的有限个(,)(,)iia ba b 当1()niiiba时，有1()()1niiif bf a2 分 不成立的是
11、若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第8页，共18页）将,a bm等 分，使11niiixx，对:T101ixzzkizxL，有11()()1kiiif zf z，所以()f x在1,iixx上是有界变差函数.5 分 所 以1()1,iixxfV从 而()bafmV，因 此，()f x是,a b上 的 有 界 变 差 函数.6 分 4、
12、()f x在E上可积lim(|)(|)0nmEfnmEf 2 分 据积分的绝对连续性，0,0,eE me ，有|()|ef xdx.4 分 对 上 述0,(|)knk mEfn ，从 而|()|nnen mef xdx，即lim0nnn me6 分 5,nN 存在闭集1,()2nnnFE m EFf x在nF连续 2 分 令1nkn kFFUI，则,()nnn kxFk xFnk xFf x 在F连续 4 分 又对任意k,()()nnn kn km EFm EFmEF 1()2nkn km EF.6 分 故()0,()m EFf x在FE连续.8 分 又()0,m EF所以()f x是EF上的
13、可测函数，从而是E上的 可测函数.10 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第9页，共18页）试卷二：实变函数试卷二 专业_班级_姓名 学号 注 意 事 项 1、本试卷共 6 页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一.单项选择题（3 分5=15 分）1设,M N是两集合，则()MMN=（）
14、(A)M (B)N (C)MN (D)2.下列说法不正确的是()(A)0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点 (B)0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点 (C)存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点 (D)内点必是聚点 3.下列断言()是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4.下列断言中()是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；题号 一 二 三 四 五 总分 得分 得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在
15、上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第10页，共18页）（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；5.若()f x 是可测函数，则下列断言（）是正确的(A)()f x在,a bL可积|()|f x在,a b L可积；(B)(),|()|,f xa b Rf xa b R在可积在可积(C)(),|()|,f xa b Lf xa b R在可积在可积;(D)(),()f xaRf xL
16、 在广义可积在 a,+可积 二.填空题(3 分5=15 分)1、设11,2,1,2,nAnnnL，则nnAlim_。2、设P为 Cantor集，则 P ，mP _，oP=_。3、设iS是一列可测集，则11_iiiimSmS 4、鲁津定理：_ _ 5、设()F x为,a b上的有限函数，如果_ _ 则称()F x为,a b上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5 分4=20 分)1、由于 0,10,10,1，故不存在使 0,101和，之间1 1对应的映射。得 分 得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立
17、的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第11页，共18页）2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、.a e收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题(8 分2=16 分)1、设,()1,x xf xx为无理数为有理数，则()f x在0,1上是否R可积，是否L可积，得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导
18、条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第12页，共18页）若可积，求出积分值。2、求极限 13220limsin1nnxnxdxn x.五.证明题(6 分3+8 2=34 分)1.(6分)1、设 f(x)是),(上的实值连续函数，则对任意常数 c，)(|cxfxE 是一开集.得 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必
19、要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第13页，共18页）2.(6 分)设0,GE 开集使*()m GE，则 E 是可测集。3.（6 分）在,a b上的任一有界变差函数()f x都可以表示为两个增函数之差。4.（8 分）设函数列()nfx(1,2,)n L在有界集E上“基本上”一致收敛于()f x，证明：().nfx a e收敛于()f x。不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极
20、限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第14页，共18页）5.（8 分）设()f x在,Ea b上可积，则对任何0，必存在E上的连续函数()x，使|()()|baf xxdx.试卷二（参考答案及评分标准）一、1，C 2,C 3,B 4,C 5,A 二、1，0,2 2，c；0；3，4，设()f x是E上.a e有限的可测函数，则对任意0，存在闭子集EE，使得()f x在E上是连续函数，且()m E E。5，对 任 意0,0 ，使 对,a b中 互 不 相 交 的
21、 任 意 有 限 个 开 区 间,1,2,iia binL只要1niiiba，就有1|()()|niiiF bF a 三、1错误 2 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第15页，共18页）记(0,1)中有理数全体12,Rr rL122(0)(1)(),1,2(),0 1nnrrrrnxx xL为，中无理数，显然0 10
22、11 1是，到（，）上的映射。5 分 2正确 2 分 设iE为零测度集，*110()0iiimEm EU，所以，*1()0iimEU 因此，1iiEU是零测度集。5 分 3错误 2 分 例如：取(0,),E 作函数列：1,(0,()1,2,0,(,)nxnfxnxnL 显然()1,nfx 当xE。但当01 时，|1|(,)nEfn 且(,)m n 这说明()nfx不测度收敛到 1.5 分 4错误 2 分 例如：cos,01,()20,0.xxf xxx 显然是0,1的连续函数。如果对0,1取分划1111:0122132Tnn L，则容易证明 21111|()()|nniiiif xf xi，从
23、而得到10()V f 5 分 四、1()f x在0,1上不是R可积的，因为()f x仅在1x 处连续，即不连续点为正测度集 3 分 因 为()f x是 有 界 可 测 函 数，所 以()f x在0,1上 是L可 积的.6 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第16页，共18页）因为()f x与x.a e相等,进一步，10,
24、101()2f x dxxdx8 分 2设322()sin1nnxfxnxdxn x，则易知当n 时，()0nfx 2 分 又22|()|1nnxfxn x4 分 但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的6 分 故有00lim()lim()0nnnnfx dxfx dx8 分 五、1,()xE f xc.1 分 Q()f x在x点连续，对()0,(,),f xcU x 当(,)yU x时，有()()f yf x 3 分 ()()()()f xcf yf xf xc()f yc，yE 5 分 因此(,)U xE，从而E为开集.6分 2对任何正整数n，由条件存在开集,nGE使*1()nm GEn1
25、 分 令1nnGGI，则G是可测集 3 分 又因*()m GE*1()nm GEn对一切正整数n成立，因而*()0m GE，即MGE 是一零测度集，所以也可测.5 分 由()EGGE 知，E可测。6 分 3、易知()()xag xfV是,a b上的增函数 2 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第17页，共18页）令()(
26、)()h xg xf x,则对于12axxb 有 21212121212121()()()()()()()()()|()()|()()0 xxh xh xg xg xf xf xV ff xf xf xf xf xf x 所以()h x是,a b上的增函数4 分 因 此()()()f xg xh x，其 中()g x与()h x均 为,a b上 的 有 限 增 函数.6 分 4、因为()nfx在E上“基本上”一致收敛于()f x，所以对于任意的kZ，存在可测集kEE，()nfx在kE上一致收敛于()f x，且1()km E Ek3 分 令*1kkEEU，则()nfx在*E上处处收敛到()f x
27、5 分*11()()()kkkm E Em EEm E EkU，k=1,2L 所以*()m E E08 分 5、证 明：设|,neEfn由 于()f x在E上.a e有 限，故0,()nmen .2 分 由积分的绝对连续性，对任何0,N ，使|()|4NNeN mef xdx4 分 令NNBE e，在NB上利用鲁津定理，存在闭集NNFB和在1R上的连续函数()x使（1）();4NNm BFN（2）NxF时，()()f xx，且不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如
28、果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理（第18页，共18页）1sup|()|sup|()|Nx Fx Rxf xN6 分 所以|()()|()()|()()|()|()|()()|244442NNNNNNbaeBeeBFNf xxdxf xxdxf xxdxf xdxxdxf xxdxN meNN .8 分 不成立的是若则是可测函数是可测函数若则可测设是上有界变差函数则下面不成立的是在上有界在上几乎处处存在导条件是它可以表成一列简单函数的极限函数填充分必要充要为上的有限函数如果对于的一切分划使设则称为上的有界一定是可数集若是可测函数则必是可测函数设在可测集上可积分若则第页共页得分四解答题分分分设为无理数为有理